Интерполяционная формула Ньютона

@VictorVAlduin · Регистрация: 15.12.2020

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Задана таблица значений функции
y=exp^x

Пользуясь одной из линейных интерполяционных формул Ньютона, вычислить из
точностью до 10-4
значение у для указанного значения аргумента х и произвести оценку
остаточного члена R

Python
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
plt.style.use('seaborn-poster')
 
 
def table(x_, y):
    """
         Получить таблицу интерполяции Ньютона
         : param x_: значение списка x
         : param y: значение списка y
         : return: вернуть таблицу интерполяции
    """
    quotient = [[0] * len(x_) for _ in range(len(x_))]
    for n_ in range(len(x_)):
        quotient[n_][0] = y[n_]
    for i in range(1, len(x_)):
        for j in range(i, len(x_)):
            # j-i определяет диагональные элементы
            quotient[j][i] = (quotient[j][i - 1] - quotient[j - 1][i - 1]) / (x_[j] - x_[j - i])
    return quotient
 
 
def get_corner(result):
    """
         Получить диагональные элементы через таблицу интерполяции
         : param result: результат таблицы интерполяции
         : return: диагональный элемент
    """
    link = []
    for i in range(len(result)):
        link.append(result[i][i])
    return link
 
 
def newton(data_set, x_p, x_7):
    """
         Результат интерполяции Ньютона
         : param data_set: диагональ решаемой задачи
         : param x_p: входное значение
         : param x_7: исходное значение списка x
         : return: результат интерполяции Ньютона
    """
    result = data_set[0]
    for i in range(1, len(data_set)):
        p = data_set[i]
        for j in range(i):
            p *= (x_p - x_7[j])
        result += p
    return result
 
 
# ====================================================== ============= Нарисуйте картинку ================================== =================
def draw_picture(x_list, y_list, node):
    plt.title("newton")
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")
    # plt.plot(x_list, y_list, color="red")
    for i in range(len(x_list)):
        plt.scatter(x_list[i], y_list[i], color="purple", linewidths=2)
    plt.scatter(node[0], node[1], color="blue", linewidth=2)
    plt.show()
 
 
if __name__ == '__main__':
    x = 0.518
    x_1 = [0.50, 0.51, 0.52, 0.53]
    y_1 = [1.6487, 1.6653, 1.6820, 1.6989]
    middle = table(x_1, y_1)
    n = get_corner(middle)
    newton = newton(n, x, x_1)
    print("«Истинное значение: {}»".format(np.exp(x)))
    print("«Интерполяция Ньютона: {}»".format(newton))
    # Рисование
    draw_picture(x_1, y_1, (x, newton))

Подскажите все ли правильно делаю в строке:

Python
1
    print("«Истинное значение: {}»".format(np.exp(x)))

Верно ли я делаю вывод?
Буду благодарен за помощь!

@u235 · 18.10.2022, 08:23

Без импортов даже смотреть не буду, т.к. считаю неуважением выкладывать заведомо нерабочий код.
Хорошо хоть код не скриншотом.

@VictorVAlduin · 18.10.2022, 10:09 **[ТС]**

Python
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.style.use('seaborn-poster')
 
 
def table(x_, y):
    """
         Получить таблицу интерполяции Ньютона
         : param x_: значение списка x
         : param y: значение списка y
         : return: вернуть таблицу интерполяции
    """
    quotient = [[0] * len(x_) for _ in range(len(x_))]
    for n_ in range(len(x_)):
        quotient[n_][0] = y[n_]
    for i in range(1, len(x_)):
        for j in range(i, len(x_)):
            # j-i определяет диагональные элементы
            quotient[j][i] = (quotient[j][i - 1] - quotient[j - 1][i - 1]) / (x_[j] - x_[j - i])
    return quotient
 
 
def get_corner(result):
    """
         Получить диагональные элементы через таблицу интерполяции
         : param result: результат таблицы интерполяции
         : return: диагональный элемент
    """
    link = []
    for i in range(len(result)):
        link.append(result[i][i])
    return link
 
 
def newton(data_set, x_p, x_7):
    """
         Результат интерполяции Ньютона
         : param data_set: диагональ решаемой задачи
         : param x_p: входное значение
         : param x_7: исходное значение списка x
         : return: результат интерполяции Ньютона
    """
    result = data_set[0]
    for i in range(1, len(data_set)):
        p = data_set[i]
        for j in range(i):
            p *= (x_p - x_7[j])
        result += p
    return result
 
 
# ====================================================== ============= Нарисуйте картинку ================================== =================
def draw_picture(x_list, y_list, node):
    plt.title("newton")
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")
    # plt.plot(x_list, y_list, color="red")
    for i in range(len(x_list)):
        plt.scatter(x_list[i], y_list[i], color="purple", linewidths=2)
    plt.scatter(node[0], node[1], color="blue", linewidth=2)
    plt.show()
 
 
if __name__ == '__main__':
    x = 0.518
    x_1 = [0.50, 0.51, 0.52, 0.53]
    y_1 = [1.6487, 1.6653, 1.6820, 1.6989]
    middle = table(x_1, y_1)
    n = get_corner(middle)
    newton = newton(n, x, x_1)
    print("«Истинное значение: {}»".format(np.exp(x)))
    print("«Интерполяция Ньютона: {}»".format(newton))
    # Рисование
    draw_picture(x_1, y_1, (x, newton))

@VictorVAlduin · 27.10.2022, 16:29 **[ТС]**

Нужна помощь!пж!
Подскажите как к этому коду реализовать функцию которая будет делать оценку
остаточного члена Rn

@Red white socks · 28.10.2022, 10:59

Сообщение от VictorVAlduin

Подскажите как к этому коду реализовать функцию которая будет делать оценку
остаточного члена Rn

Окей гугл, остаточный член в формуле Ньютона.

@VictorVAlduin · 29.10.2022, 20:50 **[ТС]**

Я и без гугла знаю математически как это все считается у меня проблема в реализации.
Не понимаю как оценку в коде прописать и сам реализовать остаточный член тут

@Red white socks · 29.10.2022, 22:43

Сообщение от VictorVAlduin

Я и без гугла знаю математически как это все считается

Ну напишите здесь.
Я не понимаю, в чем проблема реализации простенькой формулы

@VictorVAlduin · 30.10.2022, 12:23 **[ТС]**

Python
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import mplcyberpunk
plt.style.use("cyberpunk")
 
 
# plt.style.use('seaborn-poster')
 
 
def table(x_, y):
    """
         Получить таблицу интерполяции Ньютона
         : param x_: значение списка x
         : param y: значение списка y
         : return: вернуть таблицу интерполяции
    """
    quotient = [[0] * len(x_) for _ in range(len(x_))]
    for n_ in range(len(x_)):
        quotient[n_][0] = y[n_]
    for i in range(1, len(x_)):
        for j in range(i, len(x_)):
            # j-i определяет диагональные элементы
            quotient[j][i] = (quotient[j][i - 1] - quotient[j - 1][i - 1]) / (x_[j] - x_[j - i])
    return quotient
 
 
def get_corner(result):
    """
         Получить диагональные элементы через таблицу интерполяции
         : param result: результат таблицы интерполяции
         : return: диагональный элемент
    """
    link = []
    for i in range(len(result)):
        link.append(result[i][i])
    return link
 
 
def newton(data_set, x_p, x_7):
    """
         Результат интерполяции Ньютона
         : param data_set: диагональ решаемой задачи
         : param x_p: входное значение
         : param x_7: исходное значение списка x
         : return: результат интерполяции Ньютона
    """
    result = data_set[0]
    for i in range(1, len(data_set)):
        p = data_set[i]
        for j in range(i):
            p *= (x_p - x_7[j])
        result += p
    return result
 
 
def draw_picture(x_list, y_list, node):
    fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))
    plt.grid(which='both', linewidth=1.5, linestyle='-', color='gray')
    ax.tick_params(which='major', length=8, width=2)
    ax.tick_params(which='minor', length=8, width=2)
    ax.minorticks_on()
    ax.grid(which='major',
            linewidth=2)
    ax.grid(which='minor',
            linestyle=':')
    plt.title("Newton")
    plt.xlabel("x")
    plt.ylabel("y")
    plt.plot(x_list, y_list, marker='D')
    # for i in range(len(x_list)):
    #     plt.scatter(x_list[i], y_list[i], color="purple", linewidths=2)
    plt.scatter(node[0], node[1], color="blue", edgecolors='red', linewidth=2, s=60)
    legend = plt.legend(["Інтерполяційна формула Ньютона", "Задана точка"], title='Legend',
                        loc='upper left', shadow=True, fontsize='x-large',
                        frameon=True, title_fontsize=15, framealpha=1)
    frame = legend.get_frame()
    frame.set_facecolor('black')
    frame.set_edgecolor('red')
    mplcyberpunk.add_glow_effects()
    mplcyberpunk.add_gradient_fill(alpha_gradientglow=0.5)
    plt.show()
    fig.savefig('newton_.png', dpi=300, bbox_inches='tight')
 
 
if __name__ == '__main__':
    x = 0.518
    x_1 = [0.50, 0.51, 0.52, 0.53]
    y_1 = [1.6487, 1.6653, 1.6820, 1.6989]
    middle = table(x_1, y_1)
    n = get_corner(middle)
    newton = newton(n, x, x_1)
    print("«True value: {}»".format(np.exp(x)))
    print("«Interpolation Newton: {}»".format(newton))
    numb = 1
    h = x_1[1] - x_1[0]
    for i in range(1, len(x_1)):
        q = x_1[i] - x_1[0]
        R_n = h*(q * (q - 1) * (q - 2) / 6) * np.exp(x_1[i+1])
        print(R_n)
    # Рисование
    draw_picture(x_1, y_1, (x, newton))

Проиходит следующая ошибка. Вроде бы все же правильно реализую

@VictorVAlduin · 30.10.2022, 12:25 **[ТС]**

Вот руками посчитано

@VictorVAlduin · 30.10.2022, 13:08 **[ТС]**

Добавлено через 40 минут
Извиняюсь.
Только щас увидел что не добавилась ошибка
Так вот следующая ошибка

Python
1
2
3
4
5
h = x_1[1] - x_1[0]
    for i in range(1, len(x_1)):
        q = (0.518 - x_1[0])/h
        R_n = h*(q * (q - 1) * (q - 2) / 6) * np.exp(x_1[i+1])
        print(R_n)

Python
1
2
 R_n = h*(q * (q - 1) * (q - 2) / 6) * np.exp(x_1[i+1])
IndexError: list index out of range

@Red white socks · 30.10.2022, 14:50

Python
1
for i in range(1, len(x_1)-1):

Только непонятно что вы здесь считаете.
n остаточных членов?

@VictorVAlduin · 30.10.2022, 14:55 **[ТС]**

А можете обьяснить почему так происходит?Почему такая ошибка я читал туториал на stackoverflow но там не с моим случаем связано

Добавлено через 25 секунд
Да я считаю остаточный член

@Red white socks · 30.10.2022, 15:40

VictorVAlduin, пусть в списке n значений. Их индексы от 0 до n-1. i пробегает от 1 до n-1. При i = n-1 вы берете x[i+1], т.е. x[n] а такого индекса нет.

Сообщение от VictorVAlduin

Да я считаю остаточный член

Вы выводите n членов. Я не против демократии и свободы выбора, но здесь кажется чересчур

@VictorVAlduin · 30.10.2022, 15:53 **[ТС]**

Ну можна так чтобы n-ые не выводить если вы это имели ввиду

Python
1
2
3
4
5
6
 
for i in range(1, len(x_1) - 1):
         h = x_1[i + 1] - x_1[i]
         q = (0.518 - x_1[0]) / h
         R_n = h * (q * (q - 1) * (q - 2) / 6) * np.exp(x_1[i + 1])
print(f'{abs(R_n)=}')

@Red white socks · 30.10.2022, 16:27

А цикл зачем тогда?

@VictorVAlduin · 30.10.2022, 16:29 **[ТС]**

Ну вообще нужна была оценка остаточного члена поэтому я и сделал цикл

@Red white socks · 30.10.2022, 17:49

VictorVAlduin, ну и как цикл помог?

@VictorVAlduin · 30.10.2022, 20:41 **[ТС]**

Ну так я без цикла не смог бы пройтись по индексам там та формула остаточного членa:

В моем случае линейная интерполяция

@VictorVAlduin · 30.10.2022, 20:49 **[ТС]**

Хотя знаете я щас увидел допустил ошибку одну

Добавлено через 5 минут

Python
1
2
3
4
5
6
 
for i in range(1, len(x_1) - 1):
        h = x_1[i + 1] - x_1[i]
        q = (0.518 - x_1[0]) / h
        R_n = h**(i+1) * (q * (q - 1) * (q - i) / math.factorial(i+1)) * np.exp(x_1[i + 1])
print(f'{abs(R_n)=}')

По хорошему там где экспонента производная.Скажем если был бы синус то как нужно было бы вот этот индексированный индекс указывать в производной следуя с формулы?

@Red white socks · 30.10.2022, 21:10

Всё - одна сплошная чушь.
Как вы вообще понимаете задачу интерполяции и данную задачу в частности?

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Инструменты COM: Сохранение данный из VARIANT в файл и загрузка из файла в VARIANT bedvit 28.01.2026 Сохранение базовых типов COM и массивов (одномерных или двухмерных) любой вложенности (деревья) в файл, с возможностью выбора алгоритмов сжатия и шифрования. Часть библиотеки BedvitCOM Использованы. . .	Загрузка PNG с альфа-каналом на SDL3 для Android: с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 28.01.2026 Содержание блога SDL3 имеет собственные средства для загрузки и отображения PNG-файлов с альфа-каналом и базовой работы с ними. В этой инструкции используется функция SDL_LoadPNG(), которая. . .	Загрузка PNG с альфа-каналом на SDL3 для Android: с помощью SDL3_image 8Observer8 27.01.2026 Содержание блога SDL3_image - это библиотека для загрузки и работы с изображениями. Эта пошаговая инструкция покажет, как загрузить и вывести на экран смартфона картинку с альфа-каналом, то есть с. . .	влияние грибов на сукцессию anaschu 26.01.2026 Бифуркационные изменения массы гриба происходят тогда, когда мы уменьшаем массу компоста в 10 раз, а скорость прироста биомассы уменьшаем в три раза. Скорость прироста биомассы может уменьшаться за. . .
Воспроизведение звукового файла с помощью SDL3_mixer при касании экрана Android 8Observer8 26.01.2026 Содержание блога SDL3_mixer - это библиотека я для воспроизведения аудио. В отличие от инструкции по добавлению текста код по проигрыванию звука уже содержится в шаблоне примера. Нужно только. . .	Установка Android SDK, NDK, JDK, CMake и т.д. 8Observer8 25.01.2026 Содержание блога Перейдите по ссылке: https:/ / developer. android. com/ studio и в самом низу страницы кликните по архиву "commandlinetools-win-xxxxxx_latest. zip" Извлеките архив и вы увидите. . .	Вывод текста со шрифтом TTF на Android с помощью библиотеки SDL3_ttf 8Observer8 25.01.2026 Содержание блога Если у вас не установлены Android SDK, NDK, JDK, и т. д. то сделайте это по следующей инструкции: Установка Android SDK, NDK, JDK, CMake и т. д. Сборка примера Скачайте. . .	Использование SDL3-callbacks вместо функции main() на Android, Desktop и WebAssembly 8Observer8 24.01.2026 Содержание блога Если вы откроете примеры для начинающих на официальном репозитории SDL3 в папке: examples, то вы увидите, что все примеры используют следующие четыре обязательные функции, а. . .

@u235 5515 / 2868 / 571 Регистрация: 07.11.2019 Сообщений: 4,758
	18.10.2022, 08:23
	Без импортов даже смотреть не буду, т.к. считаю неуважением выкладывать заведомо нерабочий код. Хорошо хоть код не скриншотом. 0

@VictorVAlduin 8 / 5 / 1 Регистрация: 15.12.2020 Сообщений: 349
	27.10.2022, 16:29 [ТС]
	Нужна помощь!пж! Подскажите как к этому коду реализовать функцию которая будет делать оценку остаточного члена Rn 0

@VictorVAlduin 8 / 5 / 1 Регистрация: 15.12.2020 Сообщений: 349
	29.10.2022, 20:50 [ТС]
	Я и без гугла знаю математически как это все считается у меня проблема в реализации. Не понимаю как оценку в коде прописать и сам реализовать остаточный член тут 0

@VictorVAlduin 8 / 5 / 1 Регистрация: 15.12.2020 Сообщений: 349
	30.10.2022, 12:25 [ТС]
	Вот руками посчитано Миниатюры 0

@VictorVAlduin 8 / 5 / 1 Регистрация: 15.12.2020 Сообщений: 349
	30.10.2022, 14:55 [ТС]
	А можете обьяснить почему так происходит?Почему такая ошибка я читал туториал на stackoverflow но там не с моим случаем связано Добавлено через 25 секунд Да я считаю остаточный член 0

@Red white socks 4523 / 1899 / 336 Регистрация: 18.01.2021 Сообщений: 3,489
	30.10.2022, 16:27
	А цикл зачем тогда? 0

@VictorVAlduin 8 / 5 / 1 Регистрация: 15.12.2020 Сообщений: 349
	30.10.2022, 16:29 [ТС]
	Ну вообще нужна была оценка остаточного члена поэтому я и сделал цикл 0

@Red white socks 4523 / 1899 / 336 Регистрация: 18.01.2021 Сообщений: 3,489
	30.10.2022, 17:49
	VictorVAlduin, ну и как цикл помог? 0

@VictorVAlduin 8 / 5 / 1 Регистрация: 15.12.2020 Сообщений: 349
	30.10.2022, 20:41 [ТС]
	Ну так я без цикла не смог бы пройтись по индексам там та формула остаточного членa: В моем случае линейная интерполяция Миниатюры 0

@Red white socks 4523 / 1899 / 336 Регистрация: 18.01.2021 Сообщений: 3,489
	30.10.2022, 21:10
	Всё - одна сплошная чушь. Как вы вообще понимаете задачу интерполяции и данную задачу в частности? 0

Интерполяционная формула Ньютона

Решение