Объединение пересекающихся единичных эллипсов распределения двумерной случайной величины

Уважаемые коллеги!
Прошу натолкнуть на мысль или источник знаний.

Дано:
Несколько (в простейшем случае два) единичных (вероятность нахождения случайной величины внутри эллипса равна 0,393) эллипсов распределения двумерной случайной величины, заданных на плоскости координатами центра, длинами большой и малой полуоси и углом наклона большой полуоси.
Эллипсы частично пересекаются.

Требуется найти:
1. Вероятность нахождения случайной величины в области пересечения эллипсов (здесь еще более-менее понятно).
2. Параметры результирующего эллипса, объединяющего пересекающиеся эллипсы, т.е. координаты его центра, длины большой и малой полуоси и угол наклона большой полуоси.

Спасибо.

0

Говорить об эллипсе рассеяния имеет смысл только в случае эллиптически-симметричного распределения с одним максимумом. Классический пример — двумерное нормальное распределение.

Если же вы сложите функции двух нормальных распределений f(Z)=f(X)+f(Y), то получится некое распределение с двумя максимумами, элиптически несимметричное, поэтому говорить об эллипсе рассеяния не имеет смысла.

1

для AdmiralHood:
Спасибо.

А если немного перефразировать условия задачи.
Для вычисления одной и той же искомой двумерной величины проведено N серий измерений. По результатам каждой серии построен единичный эллипс распределения. Неколько эллипсов пересекается. Есть отдельно расположенные эллипсы. Предполагается, что отдельное расположение эллипсов является следствием систематической погрешности измерений.
Необходимо предложить алгоритм расчета фигуры погрешности (в частности эллипса), в пределах которого находится искомая двумерная величина с наибольшей вероятностью.

0

Ежели вы считаете, что все отдельные эллипсы принадлежат к одной нормально распределённой генеральной совокупности, а несовпадение их есть результат погрешности измерений, то вы поступаете просто — считаете все серии измерений одной серией, вычисляете мат. ожидание и дисперсию по каждой координате и строите эллипс.

При этом нужно либо иметь результаты всех замеров в отдельности, либо для каждого эллипса знать объём выборки, МО и дисперсию, тогда результирующее МО и дисперсия будет средневзвешенной величиной по объёмам выборок.

1

Для AdmiralHood:
спасибо, с Вами приятно общаться.

Однако, что если есть только параметры эллипсов (координаты центра, длины большой и малой полуосей, угол наклона большой полуоси, вероятность нахождения искомой величины в пределах при условии отсутствия грубой ошибки измерений).

На приложенной картинке что-то вроде результатов. Как Вы думаете, наколько научно:
- считать искомую величину в пределах области пересечения максимального количества эллипсов;
- отбрасывать эллипсы без пересечений и с меньшим количеством пересечений, считая, что их геометрия есть следствие грубых ошибок измерений?

Вероятность нахождения в области пересечения расчитывал "от обратного" (от ненахождения в пределах) по формуле:
P=1-(1-Pэ)^N, где
Pэ - вероятность нахождения в пределах единичного (среднеквадратического эллипса), 0,393;
N - количество пересекающихся эллипсов.

И возвращаясь к началу.
Если предположение, что искомая величина находится в пределах области пересечения максимального количества эллипсов, можно ли эту область пересечения "огрубить" до эллипса с конкретными параметрами: координаты центра, они же вероятнейшие координаты искомой величины, длины большой и малой полуосей, угол наклона большой полуоси, вероятность нахождения искомой величины. И как?

Еще момент.
Если находить искомую двумерную величину (или координаты искомой точки в геометрической интерпретации) средневзвешенным методом, не огрубляется ли при этом среднеквадратический эллипс погрешности до радиальной среднеквадратической погрешности? Может быть имеет смысл по каждой оси для каждого эллипса рассчитывать его проекцию (погрешность по направлению осей x и y) и далее уже эти погрешности по направлению оси использовать в расчетах весов и соответствующей координаты?

Миниатюры

 

0

Не знаю, решил ли задачу styudent, но многим приходится с ней сталкиваться.
Конкретно я сталкивался с ней при написании утилиты для пост обработки данных позиционирования при постановке буровой платформы.

Прикрепляю файл

0