Задача про квадрат

@Senarist · Регистрация: 14.03.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

В квадрат со стороной L бросаются наудачу независимо друг от друга 2 квадрата со стороной l<L/2. Стороны всех квадратов параллельны. Найти вероятность перекрытия.
Уже дофига всяких глупых вариантов перепробовал, но так и не могу придумать общего решения. Подскажите что нибудь по этой задаче

Добавлено через 4 часа 43 минуты
Самый нормальный из моих вариантов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?l^2*l^2/L^2$

zer0mail · 12.04.2015, 17:51

Лень считать правильный ответ, но из размерности очевидно, что этот ответ 100% неверный.

@Senarist · 13.04.2015, 07:51 **[ТС]**

zer0mail Да я это уже тоже прикинул, в отдельных случаях вероятность больше единицы или совсем маленькая в очевидных случаях

Добавлено через 10 часов 58 минут
Еще 1 из вариантов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2*l^2/L^2$

Добавлено через 28 минут
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4*l^2/L^2$

@jogano · 13.04.2015, 19:59

Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{l^2 \left(2L-3l \right)^2}{\left(L-l \right)^4}$
Задача сводится к классической задаче о встрече.
1) Для того, чтобы малые квадраты накладывались, необходимо, чтобы расстояния между центрами по обоим координатам было меньше l.
2) Поэтому можно свести всё к одномерной задаче - рассмотреть только первые координаты центров на отрезке, получить вероятность и в самом конце возвести её в квадрат.
3) Технически гораздо проще решать, если обозначить абсциссы не центров за $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1,x_2$ , а левых концов двух отрезков длиной по l каждый, причём оба этих конца должны быть в пределах $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[0;L-l \right]$ .
4) Чтобы два таких отрезка пересекались, необходимо выполнение условия $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left|x_2-x_1 \right|<l$ . Получаем задачу о встрече с интервалом ожидания l, только встреча запланирована на интервале, правый конец которого зависит от времени ожидания, а не как в классике - интервал $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[0;T \right]$ , а время ожидания $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\tau$ .
5) Такая задача решается графически в системе координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_1OX_2$ - рисуется квадрат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[0;L-l \right]\times \left[0;L-l \right]$ и полоса между двумя параллельными прямыми $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1-l<x_2<x_1+l$ и ищется отношение площадей пересечения полосы с этим квадратом (в пересечении выйдет 6-угольник) и площади самого квадрата, получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\left(L-l \right)^2-\left(L-2l \right)^2}{\left(L-l \right)^2}=\frac{l\left(2L-3l \right)}{\left(L-l \right)^2}$ . Это вероятность того, что пересекаются отрезки.
6) Возвели в квадрат и получили ответ.

@Senarist · 14.04.2015, 15:18 **[ТС]**

jogano Большое спасибо за такое подробное решение и потраченное на это время!

Добавлено через 19 часов 5 минут
jogano А покажите пожалуйста графически пункт 5. Что то шестиугольник никакой не получается

@jogano · 14.04.2015, 16:01

Будет так:

@Senarist · 14.04.2015, 16:07 **[ТС]**

jogano спасибо, немного не так заштрихованную область рисовал.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .
Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка библиотек: SDL3, Box2D, FreeType, SDL3_ttf, SDL3_mixer и SDL3_image из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .

@Senarist 58 / 62 / 34 Регистрация: 14.03.2014 Сообщений: 933

	Задача про квадрат 12.04.2015, 16:54. Показов 3065. Ответов 6 Метки нет (Все метки) В квадрат со стороной L бросаются наудачу независимо друг от друга 2 квадрата со стороной l<L/2. Стороны всех квадратов параллельны. Найти вероятность перекрытия. Уже дофига всяких глупых вариантов перепробовал, но так и не могу придумать общего решения. Подскажите что нибудь по этой задаче Добавлено через 4 часа 43 минуты Самый нормальный из моих вариантов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?l^2*l^2/L^2$ 0

zer0mail 2688 / 2260 / 244 Регистрация: 03.07.2012 Сообщений: 8,231 Записей в блоге: 1
	12.04.2015, 17:51
	Лень считать правильный ответ, но из размерности очевидно, что этот ответ 100% неверный. 0

@Senarist 58 / 62 / 34 Регистрация: 14.03.2014 Сообщений: 933
	13.04.2015, 07:51 [ТС]
	zer0mail Да я это уже тоже прикинул, в отдельных случаях вероятность больше единицы или совсем маленькая в очевидных случаях Добавлено через 10 часов 58 минут Еще 1 из вариантов $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2l^2/L^2$ Добавлено через 28 минут* $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4*l^2/L^2$ 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	13.04.2015, 19:59
	Сообщение было отмечено Senarist как решение Решение Ответ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{l^2 \left(2L-3l \right)^2}{\left(L-l \right)^4}$ Задача сводится к классической задаче о встрече. 1) Для того, чтобы малые квадраты накладывались, необходимо, чтобы расстояния между центрами по обоим координатам было меньше l. 2) Поэтому можно свести всё к одномерной задаче - рассмотреть только первые координаты центров на отрезке, получить вероятность и в самом конце возвести её в квадрат. 3) Технически гораздо проще решать, если обозначить абсциссы не центров за $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1,x_2$ , а левых концов двух отрезков длиной по l каждый, причём оба этих конца должны быть в пределах $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[0;L-l \right]$ . 4) Чтобы два таких отрезка пересекались, необходимо выполнение условия $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\|x_2-x_1 \right\|<l$ . Получаем задачу о встрече с интервалом ожидания l, только встреча запланирована на интервале, правый конец которого зависит от времени ожидания, а не как в классике - интервал $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[0;T \right]$ , а время ожидания $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\tau$ . 5) Такая задача решается графически в системе координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_1OX_2$ - рисуется квадрат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[0;L-l \right]\times \left[0;L-l \right]$ и полоса между двумя параллельными прямыми $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_1-l<x_2<x_1+l$ и ищется отношение площадей пересечения полосы с этим квадратом (в пересечении выйдет 6-угольник) и площади самого квадрата, получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\left(L-l \right)^2-\left(L-2l \right)^2}{\left(L-l \right)^2}=\frac{l\left(2L-3l \right)}{\left(L-l \right)^2}$ . Это вероятность того, что пересекаются отрезки. 6) Возвели в квадрат и получили ответ. 2

@Senarist 58 / 62 / 34 Регистрация: 14.03.2014 Сообщений: 933
	14.04.2015, 15:18 [ТС]
	jogano Большое спасибо за такое подробное решение и потраченное на это время! Добавлено через 19 часов 5 минут jogano А покажите пожалуйста графически пункт 5. Что то шестиугольник никакой не получается 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	14.04.2015, 16:01
	Будет так: Миниатюры 1

@Senarist 58 / 62 / 34 Регистрация: 14.03.2014 Сообщений: 933
	14.04.2015, 16:07 [ТС]
	jogano спасибо, немного не так заштрихованную область рисовал. 0

Задача про квадрат

Решение