Два стрелка стреляют по трём мишеням. Найти вероятность, что будет поражена только одна мишень

Добрый день.
Помогите, пожалуйста решить задачу.
Два стрелка стреляют по трём мишеням. Мишень поражена, если в неё попал хотя бы один из стрелков. Каждый стрелок выбирает мишень наугад и стреляет в неё один раз. Найти вероятность того, что будет поражена только одна мишень, если первый стрелок попадает в мишень с вероятностью 0.9, а второй – с вероятностью 0.8.

0

Берём любую мишень.
Р{только эта мишень поражена}=Р{в неё попал 1-й стрелок, а 2-й промахнулся, стреляя по любой мишени}+Р{в неё попал 2-й стрелок, а 1-й промахнулся, стреляя по любой мишени}+Р{в неё попали оба стрелка}. Это равно
В первых двух слагаемых нет вероятности 1/3 выбора конкретной мишени, потому что в них первый стрелок должен попасть куда-то, и второй помахнуться, тоже стреляя куда-то, или наоборот - первый промахнулся куда-то, а второй попал куда-то. В третьем слагаемом есть множитель 1/3, потому что если первый стрелок попал куда-то, то второй должен попасть туда-же, а не куда-то (иначе будут поражены одна или две мишени, а второй случай нас не устраивает).
Для контроля можно посчитать вероятность поражения двух мишеней тем же методом: Р{поражены две какие-то мишени}=Р{1-й стрелок попал куда-то, а 2-й попал в другую мишень}=0,9*(2/3)*0,8=0,48
Верятность поражения 0 мишеней: Р{1-й стрелок промахнулся, стреляя куда-то, 2-й тоже}=(1-0,9)*(1-0,8)=0,02
Суммарная вероятность для всех трёх случаев 0,5+0,48+0,02=1 , как и должно быть.

1

Вероятность того, что оба выбрали одну мишень 0.5. Вероятность того, что оба промазали 0.8*0.9. Значит вероятность того, что попал хотя бы один, или оба сразу 1-0.8*0.9. Значит при условии выбора одной мишени вероятность того, что попал хотя бы один, или оба сразу 0.5*(1-0.8*0.9). Это первое интересующее нас составное событие. Вероятность того, что выбраны разные мишени тоже 0.5. При этом условии нам нужна вероятность того, что попал только один. Вероятность того, что попал первый, но промазал второй 0.9*(1-0.8). Вероятность того, что попал второй, но промазал первый 0.8*(1-0.9). Вероятность того, что эти события не наступили (1-0.9*(1-0.8)) и (1-0.8*(1-0.9)), а оба не наступили (1-0.9*(1-0.8))*(1-0.8*(1-0.9)), тогда вероятность того, что попал один, но не оба 1-(1-0.9*(1-0.8))*(1-0.8*(1-0.9)). Вероятность того, что при этом они ещё и выбрали разные мишени, 0.5*(1-(1-0.9*(1-0.8))*(1-0.8*(1-0.9))). Это второе интересующее нас составное событие. Вероятность того, что не наступило первое составное событие 1-0.5*(1-0.8*0.9), вероятность того, что не наступило второе, 1-(1-0.8))*(1-0.8*(1-0.9))). Вероятность того, что не наступили оба, (1-0.5*(1-0.8*0.9))*(1-(1-0.8))*(1-0.8*(1-0.9)))). Тогда искомая вероятность 1-(1-0.5*(1-0.8*0.9))*(1-(1-0.8))*(1-0.8*(1-0.9)))).

Добавлено через 2 минуты
Надеюсь, стреляют они не отдельными квантами? Фотонами, например? А то законы квантовых вероятностей отличаются от классических.

1

Сообщение от taras atavin Вероятность того, что оба выбрали одну мишень 0.5.

Может, 1/3? Мишеней же три, а не две.

Сообщение от taras atavin Вероятность того, что оба промазали 0.8*0.9

Оба попали. А оба промазали 0,2*0,1.

0

Сообщение от jogano Может, 1/3? Мишеней же три, а не две.

Да, тогда 1/3. А что разные 2/3. Тогда вероятность первого составного события (1-(1-0.8)*(1-0.9))/3, а второго 2*(1-(1-0.9*(1-0.8))*(1-0.8*(1-0.9)))/3, вероятность не наступления первого 1-(1-0.8*0.9)/3, вероятность не наступления второго 1-2*(1-(1-0.9*(1-0.8))*(1-0.8*(1-0.9)))/3. Вероятность не наступления обоих (1-(1-(1-0.8)*(1-0.9))/3)*(1-2*(1-(1-0.9*(1-0.8))*(1-0.8*(1-0.9)))/3). И того 1-(1-(1-(1-0.8)*(1-0.9))/3)*(1-2*(1-(1-0.9*(1-0.8))*(1-0.8*(1-0.9)))/3).

Добавлено через 1 минуту

Сообщение от jogano Оба попали. А оба промазали 0,2*0,1.

По идее да. Но также (1-0.8)*(1-0.9) - промах обоих, а 1-(1-0.8)*(1-0.9) - что хотябы один попал.

0

Огромное вам спасибо.
Taras atavin, вашего решения честно говоря не понял. Но это нормально, для меня ТВ вообще сложный предмет =)
Надеюсь по этому примеру с остальным разберусь))

0

RedBull89, даны вероятности двух событий. С какой вероятностью наступят оба? Вероятность равна произведению. А с какой вероятностью хотябы одно? Складывать нельзя. Значит переходим к обратным событиям, считаем вероятность наступления обоих обратных, а потом берем вероятность обратного события от события наступления обоих обратных. Вероятность попадания одним стрелком 0.9, другим 0.8. Обратные события - промахи. То есть события не (первый попал) и не (второй попал). Но они оба стреляли. Стрелял, но не попал, то есть промазал. Вероятность того, что промазал первый стрелок 1-0.9. Событие обратное, значит его вероятность равна разности единицы и вероятности прямого события, прямое у нас - попадание. Вероятность того, что промазал второй, 1-0.8. А что оба промазали? (1-0.9)*(1-0.8). Теперь это событие прямое, а нам нужно обратное. Прямое - оба промазали, обратное - не (оба промазали). То есть хотябы один попал. Вероятность этого 1-(1-0.9)*(1-0.8). Вероятность эта нам нужна при условии, что выбрана одна и та же мишень. Каждый выбирает каждую мишень с вероятностью 1/3. Значит вероятность того, что оба выбрали первую мишень, 1/9, вероятность того, что оба выбрали вторую мишень, 1/9 и вероятность того, что оба выбрали треть. мишень, 1/9. Любые два из этих событий, либо все три сразу не могут наступить одновременно, поэтому вероятность того, что наступило хотыбы одно из них равно сумме вероятностей наступления каждого. При независимых событиях можно только умножать и вычитать из единицы, а при взаимоисключающих событиях можно только складывать, а вероятность одновременного наступления равна нолю. Например, вероятность того, что первый стрелок или попал, или не попал равна 0.9+(1-0.9)=1. Вероятность того, что первый стрелок выбрал первую, вторую, или третью мишень, равна 1/3+1/3+1/3=1. А что он выбрал одну из первых двух 1/3+1/3=2/3. Выбрали одну и ту же мишень и попал хотябы один. Вероятность этого (1-(1-0.9)*(1-0.8))/3. Теперь нам нужна вероятность поражения одной мишени при условии, что выбраны разные мишени. Выбрали разные мишени, то есть не (выбрали одну мишень). Это обратное событие от события выбрали одну мишень. Вероятность 1-1/3=2/3. Вероятность того, что один попал, а другой промазал, это вероятность того, что или первый попал, а второй промазал, или первый промазал, а второй попал. Эти события взаимоисключющие, значит вероятности будем складывать. Вероятность того, что первый попал, а второй промазал, 0.9*(1-0.8). Вероятность того, что второй попал, а первый промазал, 0.8*(1-0.9). Значит вероятность того, что попал один, 0.9*(1-0.8)+0.8*(1-0.9). Нам нужна вероятность того, что это произошло при условии, что выбраны разные мишени, она равна 2*(0.9*(1-0.8)+0.8*(1-0.9))/3. Событие выбрана одна мишень и попал хотябы один не может наступить одновременно с событием выбрали разные мишени и попал один, потому что в первое входит событие выбрана одна мишень, а во второе входит событие выбраны разные мишени, а эти события взаимоисключающие и даже взаимообратные. Значит искомая вероятность равна сумме вероятностей этих двух событий. И того (1-(1-0.9)*(1-0.8))/3+2*(0.9*(1-0.8)+0.8*(1-0.9))/3.

0

Сообщение от taras atavin Сообщение № 3: "Тогда искомая вероятность 1-(1-0.5*(1-0.8*0.9))*(1-(1-0.8))*(1-0.8*(1-0.9))=0.367040" Сообщение № 5: "И того 1-(1-(1-(1-0.8)*(1-0.9))/3)*(1-2*(1-(1-0.9*(1-0.8))*(1-0.8*(1-0.9)))/3)=0.4369137778" Сообщение № 7: "И того (1-(1-0.9)*(1-0.8))/3+2*(0.9*(1-0.8)+0.8*(1-0.9))/3=0.5000000000"

Уточните, пожалуйста, на каком именно варианте Вашего ответа RedBull89 должен остановиться?

0

Третий, конечно. Я же подробно его разобрал.

0

Что-то так замудрено, зачем делать то и дело обратные события. И почему нельзя складывать? Сложение ведь и есть наступление одного из событий.

Добавлено через 2 минуты
В любом случае спасибо еще раз.
То что написал Jogano точно правильно, преподаватель ответил так) и с вашим, Taras Atavion, ответом сходится.
Правда написал, что можно было использовать формулу полной вероятности.
Гипотезы: 1) стрелки стреляют по одной мишени, 2) стрелки
стреляют по разным мишеням.

0

Сообщение от RedBull89 Что-то так замудрено, зачем делать то и дело обратные события.

Есть событие первый попал. И есть событие второй попал. Оба попали - это второй попал при условии, что первый попал. Зедсь просто, перемножим и всё. А хотябы один попал? Первый попал, второй попал, и оба попали. А оценить вероятность того, что наступило одно из этих событий? Можно первый попал, но второй промазал + первый промазал, но второй попал + оба попали. Промах - это обратное событие от падания. А первый попал+второй попал + оба попали нельзя, так как ни одно событие не противоречит остальным, поэтому вероятность события второй попал учитывает, что при этом мог попасть и первый, а в событие оба попали вообще входят два других со своими вероятностями. И тогда сумма будет больше истинной вероятности наступления одного из событий. Совсем другое дело события оба выбрали первую мишень и оба выбрали вторую мишень. Но если не наступило событие оба промазали, значит заведомом наступило или событие первый попал, или событие второй попал, или оба (а событие оба попали - это и есть одновременное наступление обоих этих). Это событие обратно и вероятность можно вычислить вычитанием из единицы вероятности того, что оба промазали. Это правило такое: если два события не зависимы, то вероятность наступления обоих равна произведению вероятностей, а вероятность наступления хотя бы одного из них вычисляется вычитанием из единицы вероятности не наступления ни одного из них. Ну а вероятность не наступления какого либо события вычисляется вычитанием из единицы вероятности самого события. Но если события исключают друг друга, то вероятность того, что наступит одно из них, равно сумме их вероятностей, а вероятность наступления обоих равна нолю.

Добавлено через 21 минуту
Формулы байесовой логики
A AND B=A*B
A OR B=1-(1-A)*(1-B)
A XOR B=A*(1-B)+B*(1-A)
NOT A=1-A
Здесь нечётко-логические величины A и B есть вероятности истинности неких независимых булевых величин a и b, результат логической операции над нечёткими операндами A и B есть вероятность истинности результата аналогичной операции над булевыми операндами a и b. Результат операции NOT над нечётким операндом A есть вероятность истинности операции NOT над булевым операндом a. Остатётся сказать, что нечёткие величины в этих формулах есть вероятности истинности утверждений о наступлении независимых событий и подставить. Если же события исключают друг друга, то вероятность наступления хотябы одного из них равно сумме, а одновременно нескольких - нолю.

0