Найти максимальную вероятность попадания в интервал

@NEvOl · Регистрация: 13.08.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помогите пожалуйста решить задачку.
Случайная величина $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X$ распределена по нормальному закону с математическим ожиданием $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=0$ . При каком значении среднего квадратического отклонения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma$ вероятность попадания случайной величины $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X$ в интервал $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1;2)$ достигает максимума ?
Вероятность попадания в интервал для нормальной случайно величины вычисляется так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}(\Phi (2t)-\Phi (t))=?$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1}{\sigma }$ .
т.е. нужно найти такое значение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma$ при котором разность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Phi (2t)-\Phi (t)$ будет максимальна.

Вот дальше не совсем понятно как решать, перебирать значения из таблицы функции Лапласа ?

@EasyHelp SU · 06.10.2016, 17:51

Нужно найти максимум этой разности. Значит, нужно взять производную и приравнять нулю. Производная от функции Лапласа Ф`(t)= $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?exp(-{t}^{2}/2)/\sqrt{2\pi }$

@Таланов · 07.10.2016, 05:20

Ско около 1,471.

@jogano · 07.10.2016, 16:38

NEvOl, можно и без t обойтись, только путает...

Сообщение от NEvOl

Вероятность попадания в интервал для нормальной случайно величины вычисляется так:

без 1/2 перед разностью.
Итак, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Phi \left(\frac{2}{\sigma } \right)-\Phi \left(\frac{1}{\sigma } \right) \to max \: by \: \sigma$ . Берём производную по сигме, приравниваем к 0, получаем:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\frac{2}{\sigma^2 }f\left(\frac{2}{\sigma } \right)+\frac{1}{\sigma^2 }f\left(\frac{1}{\sigma } \right)=0\\f\left(\frac{1}{\sigma } \right)=2f\left(\frac{2}{\sigma } \right)\\\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{1}{2\sigma ^2}}=\frac{2}{\sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{4}{2\sigma ^2}}\\e^{\frac{3}{2\sigma ^2}}=2\\\frac{3}{2\sigma ^2}=\ln 2\\\sigma =\sqrt{\frac{3}{2 \ln 2}}\approx 1,471$

@NEvOl · 07.10.2016, 19:26 **[ТС]**

jogano, получается что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma=1,471$ точка максимума, т.к. производная при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma =1$ больше 0, а при при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma =2$ меньше ?

@jogano · 07.10.2016, 19:31

Так как если поставить с 6-й строки снизу вместо равенства знак >, то в последней строчке ему будет соответствовать знак < (знак изменится с предпоследней к последней строчке), т.е. для сигмы < 1,471 производная >0 , т.е. левее 1,471 сама функция (Лапласа) возрастает, а правее убывает. Т.е. это точка максимума.
Хотя можно проверять как вы написали, если можете быстро посчитать значение 6-й строчки снизу для разных сигм.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11680&d=1772460536 Одним из. . .	Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка библиотек: SDL3, Box2D, FreeType, SDL3_ttf, SDL3_mixer и SDL3_image из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779

	Найти максимальную вероятность попадания в интервал 05.10.2016, 18:33. Показов 4995. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Помогите пожалуйста решить задачку. Случайная величина $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X$ распределена по нормальному закону с математическим ожиданием $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=0$ . При каком значении среднего квадратического отклонения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma$ вероятность попадания случайной величины $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X$ в интервал $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(1;2)$ достигает максимума ? Вероятность попадания в интервал для нормальной случайно величины вычисляется так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}(\Phi (2t)-\Phi (t))=?$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1}{\sigma }$ . т.е. нужно найти такое значение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma$ при котором разность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Phi (2t)-\Phi (t)$ будет максимальна. Вот дальше не совсем понятно как решать, перебирать значения из таблицы функции Лапласа ? 0

@EasyHelp SU 115 / 99 / 30 Регистрация: 15.07.2015 Сообщений: 262
	06.10.2016, 17:51
	Нужно найти максимум этой разности. Значит, нужно взять производную и приравнять нулю. Производная от функции Лапласа Ф`(t)= $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?exp(-{t}^{2}/2)/\sqrt{2\pi }$ 1

@Таланов 1965 / 1073 / 163 Регистрация: 06.12.2012 Сообщений: 4,695
	07.10.2016, 05:20
	Ско около 1,471. 1

@NEvOl 20 / 19 / 1 Регистрация: 13.08.2012 Сообщений: 779
	07.10.2016, 19:26 [ТС]
	jogano, получается что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma=1,471$ точка максимума, т.к. производная при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma =1$ больше 0, а при при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sigma =2$ меньше ? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	07.10.2016, 19:31
	Так как если поставить с 6-й строки снизу вместо равенства знак >, то в последней строчке ему будет соответствовать знак < (знак изменится с предпоследней к последней строчке), т.е. для сигмы < 1,471 производная >0 , т.е. левее 1,471 сама функция (Лапласа) возрастает, а правее убывает. Т.е. это точка максимума. Хотя можно проверять как вы написали, если можете быстро посчитать значение 6-й строчки снизу для разных сигм. 1

Найти максимальную вероятность попадания в интервал

Решение