Какова вероятность, что в образованном тремя точками треугольнике все углы меньше K?

@MatrixDeity · Регистрация: 20.04.2011

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте!

Возникла проблема с решением задачи по теории вероятностей:

На окружности наудачу ставят три точки. Какова вероятность, что в образованном ими треугольнике все углы меньше K?

Подскажите, пожалуйста, каков примерный алгоритм решения подобного рода задач?

@palva · 13.07.2017, 15:47

Одну точку можно взять за начало координат, а угловую координату отсчитывать вдоль окружности в одну сторону с плюсом, в другую сторону с минусом. Если откладывать координату второй и третьей точки по осям x и y обычной декартовой системы координат, то все возможности будут внутри квадрата от -пи до +пи по x и y. Это пространство элементарных событий. Дальше нужно внутри квадрата выделить множество, которое удовлетворяет условию задачи на углы. Доля площади этого подмножества в площади всего квадрата будет вероятностью.

@MatrixDeity · 13.07.2017, 17:39 **[ТС]**

palva, большое спасибо Вам за ответ!

Если я Вас правильно понял, то решение может выглядеть следующим образом (см. вложения); для k, заданного в градусах. Скажите, пожалуйста, оно правильное?

@jogano · 13.07.2017, 19:09

MatrixDeity, я хоть и не palva, но всё равно не правильно.
Множество пар (x;y), удовлетворяющих вашему условию, будет гораздо сложнее, чем вы нарисовали. А неправильность ответа легко доказать (а значит, проверить самому, прежде чем выкладывать): сумма внутренних углов треугольника
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi=\alpha +\beta +\gamma <3K \: \Rightarrow \: K>\frac{\pi}{3}$
А у вас при K=60^o есть вероятность 1/9 вместо 0 (функция распределения F(k) при ваших k в градусах $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k \in \left[60^\circ; \: 180^\circ \right]$ должна монотонно возрастать от 0 до 1).
Ответ (в радианах):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F\left(K \right)=\left[\begin{matrix}0 , \: K\leq \frac{\pi}{3}\\ \left(\frac{3K}{\pi}-1 \right)^2 , \: K \in \left(\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2} \right)\\ 1-3\left(1-\frac{K}{\pi} \right)^2, \: K \in \left[ \frac{\pi}{2}; \: \pi\right)\\ 1, \: K \geq \pi\end{matrix} \right.$

@jogano · 13.07.2017, 21:14

Если обе точки на окружности (и ещё одна - начало отсчёта) находятся в пределах [0;2П], то дуги окружности имеют размеры или x, y-x, 2П-y, или y, x-y, 2П-x в зависимости то того, что больше - х или y. И тогда для разных К получаются разные области внутри квадрата для внутренних углов треугольника (а внутренний угол треугольника с точки зрения окружности это вписанный угол, который в 2 раза меньше центрального). Оба варианта на рисунках.
Нужны области закрашены оранжевым. Для удобства сторона квадрата взята 1 вместо П.

@MatrixDeity · 15.07.2017, 21:44 **[ТС]**

jogano, благодарю Вас! Весьма исчерпывающе

@murom2013 · 16.07.2017, 00:35

а это не разновидность парадокса Бертрана?

@eropegov · 19.07.2017, 11:52

Сообщение от murom2013

а это не разновидность парадокса Бертрана?

Нет. Здесь вероятностное пространство определяется вполне однозначно.

@evaf · 12.10.2017, 20:03

Добрый день, уважаемые форумчане Разрешите поднять тему.
У меня похожая задача, но точно указано
На окружности наудачу ставят три точки. Какова вероятность, что в образованном ими треугольнике все углы меньше 80 градусов?
Сутки решаю, у меня получается вероятность 49/324.. в ответе 1/9
Кто прав?

@jogano · 12.10.2017, 21:31

Сообщение от evaf

У меня похожая задача, но точно указано

А какая разница, указан параметр или конкретное число? Метод решения один и тот же.
Прав учебник.

@evaf · 13.10.2017, 09:52

Конкретно эта задача взята мною из учебника 11 класса , автор Пратусевич, Соломин. Дети там точно не изучают функцию распределения.
Можно Вас попросить более подробно описать ограничения для построения геометрической интерпретации благоприятных исходов без использования функции распределения?
Я строила 0<x<=8pi/9 0<=y<=8pi/9 2pi-(x+y)<8pi/9

@palva · 13.10.2017, 16:52

Могу лишь продолжить свой пост #2.
Вторая и третья точки должны отстоять от первой точки не далее чем на 160 градусов, что задает в квадрате 360х360 квадрат меньшего размера 320х320. Если x и y градусов суть координаты 2-й и 3-й точки, то x, y должны иметь разные знаки, иначе один из углов треугольника будет тупым. Теперь нам надо учесть размер угла между 2-й и 3-й точкой. Дуга между ними должна быть не более 160 градусов, причем это ограничение относится к той дуге, которая не проходит через первую точку. |x-y| мера дуги, проходящей через 1-ю точку, 360-|x-y| мера дуги, не проходящей через первую точку. Должно быть 360-|x-y|<160 это бывает, когда x-y > 200 или y-x > 200, то есть y должно быть либо меньше x-200, либо больше x+200. Эти условия отсекают от квадрата 320х320 два прямоугольных треугольника с катетами 120 градусов. Их суммарная площадь 120x120 градусов в квадрате. Разделив на 360x360 получаем 1/9.

@evaf · 13.10.2017, 22:17

Спасибо. Я разобралась.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

@MatrixDeity 7 / 7 / 1 Регистрация: 20.04.2011 Сообщений: 69

	Какова вероятность, что в образованном тремя точками треугольнике все углы меньше K? 13.07.2017, 15:00. Показов 3055. Ответов 12 Метки нет (Все метки) Здравствуйте! Возникла проблема с решением задачи по теории вероятностей: На окружности наудачу ставят три точки. Какова вероятность, что в образованном ими треугольнике все углы меньше K? Подскажите, пожалуйста, каков примерный алгоритм решения подобного рода задач? 0

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,930 Записей в блоге: 5
	13.07.2017, 15:47
	Одну точку можно взять за начало координат, а угловую координату отсчитывать вдоль окружности в одну сторону с плюсом, в другую сторону с минусом. Если откладывать координату второй и третьей точки по осям x и y обычной декартовой системы координат, то все возможности будут внутри квадрата от -пи до +пи по x и y. Это пространство элементарных событий. Дальше нужно внутри квадрата выделить множество, которое удовлетворяет условию задачи на углы. Доля площади этого подмножества в площади всего квадрата будет вероятностью. 1

@MatrixDeity 7 / 7 / 1 Регистрация: 20.04.2011 Сообщений: 69
	13.07.2017, 17:39 [ТС]
	palva, большое спасибо Вам за ответ! Если я Вас правильно понял, то решение может выглядеть следующим образом (см. вложения); для k, заданного в градусах. Скажите, пожалуйста, оно правильное? Миниатюры 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	13.07.2017, 19:09
	Сообщение было отмечено MatrixDeity как решение Решение MatrixDeity, я хоть и не palva, но всё равно не правильно. Множество пар (x;y), удовлетворяющих вашему условию, будет гораздо сложнее, чем вы нарисовали. А неправильность ответа легко доказать (а значит, проверить самому, прежде чем выкладывать): сумма внутренних углов треугольника $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi=\alpha +\beta +\gamma <3K \: \Rightarrow \: K>\frac{\pi}{3}$ А у вас при K=60^o есть вероятность 1/9 вместо 0 (функция распределения F(k) при ваших k в градусах $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?k \in \left[60^\circ; \: 180^\circ \right]$ должна монотонно возрастать от 0 до 1). Ответ (в радианах): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F\left(K \right)=\left[\begin{matrix}0 , \: K\leq \frac{\pi}{3}\\ \left(\frac{3K}{\pi}-1 \right)^2 , \: K \in \left(\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{2} \right)\\ 1-3\left(1-\frac{K}{\pi} \right)^2, \: K \in \left[ \frac{\pi}{2}; \: \pi\right)\\ 1, \: K \geq \pi\end{matrix} \right.$ 1

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	13.07.2017, 21:14
	Если обе точки на окружности (и ещё одна - начало отсчёта) находятся в пределах [0;2П], то дуги окружности имеют размеры или x, y-x, 2П-y, или y, x-y, 2П-x в зависимости то того, что больше - х или y. И тогда для разных К получаются разные области внутри квадрата для внутренних углов треугольника (а внутренний угол треугольника с точки зрения окружности это вписанный угол, который в 2 раза меньше центрального). Оба варианта на рисунках. Нужны области закрашены оранжевым. Для удобства сторона квадрата взята 1 вместо П. Миниатюры 2

@MatrixDeity 7 / 7 / 1 Регистрация: 20.04.2011 Сообщений: 69
	15.07.2017, 21:44 [ТС]
	jogano, благодарю Вас! Весьма исчерпывающе 0

@murom2013 386 / 180 / 42 Регистрация: 20.02.2013 Сообщений: 470
	16.07.2017, 00:35
	а это не разновидность парадокса Бертрана? 0

@evaf 3 / 3 / 0 Регистрация: 16.11.2015 Сообщений: 99
	12.10.2017, 20:03
	Добрый день, уважаемые форумчане Разрешите поднять тему. У меня похожая задача, но точно указано На окружности наудачу ставят три точки. Какова вероятность, что в образованном ими треугольнике все углы меньше 80 градусов? Сутки решаю, у меня получается вероятность 49/324.. в ответе 1/9 Кто прав? 0

@evaf 3 / 3 / 0 Регистрация: 16.11.2015 Сообщений: 99
	13.10.2017, 09:52
	Конкретно эта задача взята мною из учебника 11 класса , автор Пратусевич, Соломин. Дети там точно не изучают функцию распределения. Можно Вас попросить более подробно описать ограничения для построения геометрической интерпретации благоприятных исходов без использования функции распределения? Я строила 0<x<=8pi/9 0<=y<=8pi/9 2pi-(x+y)<8pi/9 0

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,930 Записей в блоге: 5
	13.10.2017, 16:52
	Могу лишь продолжить свой пост #2. Вторая и третья точки должны отстоять от первой точки не далее чем на 160 градусов, что задает в квадрате 360х360 квадрат меньшего размера 320х320. Если x и y градусов суть координаты 2-й и 3-й точки, то x, y должны иметь разные знаки, иначе один из углов треугольника будет тупым. Теперь нам надо учесть размер угла между 2-й и 3-й точкой. Дуга между ними должна быть не более 160 градусов, причем это ограничение относится к той дуге, которая не проходит через первую точку. \|x-y\| мера дуги, проходящей через 1-ю точку, 360-\|x-y\| мера дуги, не проходящей через первую точку. Должно быть 360-\|x-y\|<160 это бывает, когда x-y > 200 или y-x > 200, то есть y должно быть либо меньше x-200, либо больше x+200. Эти условия отсекают от квадрата 320х320 два прямоугольных треугольника с катетами 120 градусов. Их суммарная площадь 120x120 градусов в квадрате. Разделив на 360x360 получаем 1/9. 1

@evaf 3 / 3 / 0 Регистрация: 16.11.2015 Сообщений: 99
	13.10.2017, 22:17
	Спасибо. Я разобралась. 0

Какова вероятность, что в образованном тремя точками треугольнике все углы меньше K?

Решение