Найти плотность распределения случайной величины η=arcsin(ξ)^2

@acidrain333 · Регистрация: 01.07.2017

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Плотность распределения случайной величины $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi$ задана формулой: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\left\{\begin{matrix}0, x \notin \left(-1; 1\right)\\ \frac{1}{\pi\sqrt{1-{x}^{2}}}, x \in \left(-1; 1\right)\end{matrix}\right.$
Найти плотность распределения случайной величины $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta={\arcsin}^{2}{\xi}$
Я выразил это как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y={\arcsin}^{2}{x}$ , откуда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\arcsin}{x}=\pm\sqrt{y}$
Но дальше возникают трудности. Получилось примерно так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x1=\sin{sqrt{y}}<br /> x2=-\sin{sqrt{y}}$
Не очень понятно, как выразить границу -1 и далее, поскольку подкоренное выражение y в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin{sqrt{y}}=-1$ не может быть отрицательным. Как должна выглядеть функция плотности для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta$ ?

@jogano · 29.06.2018, 20:14

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_\eta \left(y \right)=\left[\begin{matrix}0, \: y\notin \left(0;\frac{\pi ^2}{4} \right)\\ \frac{1}{\pi \sqrt{y}}, \: y \in \left(0;\frac{\pi^2}{4} \right)\end{matrix} \right.$

@acidrain333 · 30.06.2018, 00:15 **[ТС]**

С границами интервала понял, но как Вы пришли к такой функции? Если воспользоваться формулой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g(y)=f\left[\psi(y)\right]\cdot |{\psi}^{'}(y)|$ , то производные получаются $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\psi}^{'}(y)=\pm \frac{ cos{\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}}$ , а дальше не очень понятно

@jogano · 30.06.2018, 00:29

Сообщение от acidrain333

Если воспользоваться формулой....

Не ясно, зачем пользоваться производной сложной функции в данной задаче. Давайте по этапам:
1) Записываем функцию распределения случайной величины $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta$ :
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F_\eta \left(y \right)=P\left(\text{arcsin}^2 \xi <y \right)=P\left(-\sqrt{y}<\text{arcsin} \xi <\sqrt{y} \right), \: \sqrt{y} \in \left[0;\frac{\pi}{2} \right] \: \Leftrightarrow \: y \in \left[0;\frac{\pi^2}{4} \right]$
Если y будет больше, то вероятность эта равна 1 (двойное неравенство выполнено для всех возможных значений $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi \in \left(-1;1 \right)$ )
2) Выражаем внутри вероятности саму переменную $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi$ : $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P\left(-\sin \sqrt{y}<\xi <\sin \sqrt{y} \right)$ . Нужно найти эту вероятность, для этого нужно найти функцию распределения исходной случайной величины, плотность которой дана. Самостоятельно. Что получилось?

@acidrain333 · 30.06.2018, 02:26 **[ТС]**

Получилась такая функция плотности:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)=\left\{\begin{matrix}0, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; x < -1\\ \frac{1}{\pi}\arcsin{x}+1/2, \;\;-1<x<1\\1, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x>1\end{matrix}\right.$
Функция:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F_{\eta}(y)=P(-\sin{\sqrt{y}}<\xi<\sin{\sqrt{y}})=\frac{1}{\pi}\arcsin{(\sin{sqrt{y}})}+1/2-\frac{1}{\pi}\arcsin{(-\sin{sqrt{y}})}-1/2=\frac{1}{\pi}(\sqrt{y}-(-\sqrt{y}))=\frac{2\sqrt{y}}{\pi}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F_{\eta}(y)=\left\{\begin{matrix}0, \;\;\;\;\;\;\;\;\;y < 0\\\frac{2\sqrt{y}}{\pi}, \;\;\;\;\;\;\;0<y<\frac{\pi^2}{4}\\1, \;\;\;\;\;\;\;y>\frac{\pi^2}{4}\end{matrix}\right.$
Соответственно производная этой функции получается равной плотности распределения, указанной Вами ранее:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_{\eta}(y)=\left[\begin{matrix}0,\;\;\; y \notin \left(0; \frac{\pi^2}{4}\right)\\ \frac{1}{\pi\sqrt{y}}, \;\;\; y \in \left(0; \frac{\pi^2}{4}\right)\end{matrix}\right.$
Всё получается, спасибо Вам огромное!

Сообщение от jogano

Не ясно, зачем пользоваться производной сложной функции в данной задаче

А в каких задачах целесообразнее применять данную формулу?

@jogano · 30.06.2018, 02:47

Да, все выкладки именно такие.

Сообщение от acidrain333

А в каких задачах целесообразнее применять данную формулу?

Когда в выражении $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta =\varphi \left(\xi \right)$ функция $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \left(... \right)$ монотонно возрастает. Тогда в общем виде
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F_\eta \left(y \right)=P\left( \varphi \left(\xi \right)<y\right)=P\left(\xi <\varphi ^{-1}\left(y \right) \right)=F_\xi \left(\varphi ^{-1}\left(y \right) \right)\\f_\eta \left(y \right)=F'_\eta \left(y \right)=f_\xi \left(\varphi ^{-1}\left(y \right) \right)\left(\varphi ^{-1}\left(y \right) \right)'$
Вот был бы просто арксинус без квадрата, тогда да, можно было бы применить. А в общем случае после второго знака "=" под вероятностью неравенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi <\varphi ^{-1}\left(y \right)$ не будет, у вас выходит двойное неравенство, так как ваша функция фи(кси) сначала убывает до 0, потом возрастает.

@acidrain333 · 01.07.2018, 01:03 **[ТС]**

Пытаюсь применить способ, описанный Вами, на другом примере, где случайная величина $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi$ распределена равномерно на отрезке [-1;3] и необходимо найти плотность распределения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta=2|\xi|$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\left\{\begin{matrix}1/4, x \in \left[-1; 3\right]\\ 0, x \notin \left[-1; 3\right]\end{matrix}\right.$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{F}_{\xi}(x)=\left\{\begin{matrix}0, \;\;x \leq -1\\ \frac{x+1}{4}, \;\;-1 < x \leq 3\\ 1, \;\; x > 3\end{matrix}\right.$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y/2=|x| \Rightarrow x=\pm\frac{y}{2}$
Далее пришло в голову что-то вроде этого.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{F}_{\eta}(y)=P(\eta<y)=P(2|\xi|<y)=P({\xi}>\frac{y}{2})+P({\xi}<-\frac{y}{2})=1-P(-\frac{y}{2}<\xi<\frac{y}{2})$
Как лучше всего поступать в ситуациях, когда функция от кси задана модулем? Насколько я понял графически, отрицательная часть отразится на положительную и получится что-то вроде "ступеньки", но как это можно вывести?

@jogano · 01.07.2018, 01:30

Сообщение от acidrain333

Как лучше всего поступать в ситуациях, когда функция от кси задана модулем?

Корректно раскрыть модуль, т.е. решить неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\left|\xi \right|<y$ . А вы его решили неправильно. Правильный переход в последней формульной строчке после третьего знака "=" будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P\left(-\frac{y}{2}< \xi <\frac{y}{2}\right)$
А то, что написали вы, есть решение противоположного неравенства $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2\left|\xi \right|>y \: \Leftrightarrow \: \xi \in \left(-\infty;-\frac{y}{2}\right) \cup \left(\frac{y}{2}; +\infty \right)$ , если y>0, а если y<0, то это неравенство выполнено всегда.
В вашем случае дальше, после получения этого выражения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P\left(-\frac{y}{2}< \xi <\frac{y}{2}\right)$ (вероятность ненулевая только если y>0) нужно рассмотреть случаи разного взаимного расположения пар -1 с -y/2 и 3 с y/2, что лучше всего делать графически. Вот получившаяся функция распределения (для сверки):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F_\eta \left(y \right)=\left[\begin{matrix}0, \: y<0\\ \frac{y}{4}, \: y \in \left[0;2 \right)\\ \frac{y+2}{8}, \: y \in \left[2;6 \right)\\ 1, \: y \geq 6\end{matrix} \right.$

@acidrain333 · 01.07.2018, 13:10 **[ТС]**

Прошу прощения, перепутал знак, из-за чего расписал неравенство неправильно. Графически, как я понял, в интервале [0;2) складываются обе части - "отрицательная" и "положительная". Далее, в интервале [2; 6) идет только "положительная" часть. Но как Вы получили эти функции?

@jogano · 01.07.2018, 15:16

Сообщение от acidrain333

Графически, как я понял, в интервале [0;2) складываются обе части - "отрицательная" и "положительная".

Не понятно.
Графически означает, что можно нарисовать в системе координат YOZ графики функций z=y/2, z=-y/2, z=-1 и z=3 и заштриховать область, соответствующую неравенству $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?max\left(-1;-\frac{y}{2} \right)<z<min\left(3;\frac{y}{2} \right)$ , потому что реально вам нужно искать вероятность $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?P\left( max\left(-1;-\frac{y}{2} \right)<\xi <min\left(3;\frac{y}{2} \right)\right)$ . Для разных y эти максимум и минимум раскрываются по-разному, потому возникают эти характерные значения y=2 и y=6, которые видно в функции распределения. И тогда в каждом случае раскрытия этих мин и макс применяется формула
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F_\xi \left(min\left(3;\frac{y}{2} \right)\right)-F_\xi \left( max\left(-1;-\frac{y}{2} \right) \right)$ , которая известна для равномерного распределения.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .	Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .	Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка библиотек: SDL3, Box2D, FreeType, SDL3_ttf, SDL3_mixer и SDL3_image из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .

Найти плотность распределения случайной величины η=arcsin(ξ)^2

Решение

Решение

Решение

@acidrain333 0 / 0 / 0 Регистрация: 01.07.2017 Сообщений: 18

	Найти плотность распределения случайной величины η=arcsin(ξ)^2 29.06.2018, 16:27. Показов 8942. Ответов 9 Метки нет (Все метки) Плотность распределения случайной величины $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi$ задана формулой: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\left\{\begin{matrix}0, x \notin \left(-1; 1\right)\\ \frac{1}{\pi\sqrt{1-{x}^{2}}}, x \in \left(-1; 1\right)\end{matrix}\right.$ Найти плотность распределения случайной величины $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta={\arcsin}^{2}{\xi}$ Я выразил это как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y={\arcsin}^{2}{x}$ , откуда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\arcsin}{x}=\pm\sqrt{y}$ Но дальше возникают трудности. Получилось примерно так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x1=\sin{sqrt{y}}<br /> x2=-\sin{sqrt{y}}$ Не очень понятно, как выразить границу -1 и далее, поскольку подкоренное выражение y в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin{sqrt{y}}=-1$ не может быть отрицательным. Как должна выглядеть функция плотности для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta$ ? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	29.06.2018, 20:14
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f_\eta \left(y \right)=\left[\begin{matrix}0, \: y\notin \left(0;\frac{\pi ^2}{4} \right)\\ \frac{1}{\pi \sqrt{y}}, \: y \in \left(0;\frac{\pi^2}{4} \right)\end{matrix} \right.$ 1

@acidrain333 0 / 0 / 0 Регистрация: 01.07.2017 Сообщений: 18
	30.06.2018, 00:15 [ТС]
	С границами интервала понял, но как Вы пришли к такой функции? Если воспользоваться формулой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?g(y)=f\left[\psi(y)\right]\cdot \|{\psi}^{'}(y)\|$ , то производные получаются $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\psi}^{'}(y)=\pm \frac{ cos{\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}}$ , а дальше не очень понятно 0

@acidrain333 0 / 0 / 0 Регистрация: 01.07.2017 Сообщений: 18
	01.07.2018, 01:03 [ТС]
	Пытаюсь применить способ, описанный Вами, на другом примере, где случайная величина $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\xi$ распределена равномерно на отрезке [-1;3] и необходимо найти плотность распределения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\eta=2\|\xi\|$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\left\{\begin{matrix}1/4, x \in \left[-1; 3\right]\\ 0, x \notin \left[-1; 3\right]\end{matrix}\right.$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{F}_{\xi}(x)=\left\{\begin{matrix}0, \;\;x \leq -1\\ \frac{x+1}{4}, \;\;-1 < x \leq 3\\ 1, \;\; x > 3\end{matrix}\right.$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y/2=\|x\| \Rightarrow x=\pm\frac{y}{2}$ Далее пришло в голову что-то вроде этого. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{F}_{\eta}(y)=P(\eta<y)=P(2\|\xi\|<y)=P({\xi}>\frac{y}{2})+P({\xi}<-\frac{y}{2})=1-P(-\frac{y}{2}<\xi<\frac{y}{2})$ Как лучше всего поступать в ситуациях, когда функция от кси задана модулем? Насколько я понял графически, отрицательная часть отразится на положительную и получится что-то вроде "ступеньки", но как это можно вывести? 0

@acidrain333 0 / 0 / 0 Регистрация: 01.07.2017 Сообщений: 18
	01.07.2018, 13:10 [ТС]
	Прошу прощения, перепутал знак, из-за чего расписал неравенство неправильно. Графически, как я понял, в интервале [0;2) складываются обе части - "отрицательная" и "положительная". Далее, в интервале [2; 6) идет только "положительная" часть. Но как Вы получили эти функции? 0