Восстановить аналитическую функцию по заданной действительной части

@muscledboy · Регистрация: 15.06.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Здравствуйте, есть задание проверить гармоническая ли функция в окрестности точки z0 и восстановить аналитическую фуункцию:
u = x / (x^2 + y^2), f(1) = 1 + i.
Функция гармоническая, так как производные второго порядка по x и y функции u = 0.
Но есть проблема немогу восстановить функцию, помогите дорешать задание, пожалуйста (и если можно с объяснениями). Вот все, что есть на данный момент:
du/dx = (y^2 - x^2) / (x^2 + y^2)^2;
du/du = -2xy / (x^2 + y^2)^2;
dv/dy = (y^2 - x^2) / (x^2 + y^2)^2;
dv/dx = 2xy / (x^2 + y^2)^2;
v(x,y) = int (y^2 - x^2) / (x^2 + y^2)^2 dx + c(x) = (вот здесь возникает первая трудность).

@jogano · 13.04.2016, 16:53

Сообщение от muscledboy

du/du = -2xy / (x^2 + y^2)^2;

Может, здесь $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial u}{\partial y}$ ? Тогда это правильно.
Ваша трудность в умении брать интегралы. Раскладываете числитель как разность, и оба интеграла берутся одной и той же заменой переменных $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix}y=x \cdot tg t\\ dy=\frac{x dt}{\cos^2 t}\end{vmatrix}$ , и они равны
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{y^2 dy}{\left(x^2+y^2 \right)^2}=...=\frac{1}{2x}arctg\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\cdot \frac{y}{x^2+y^2}\\\int \frac{dy}{\left(x^2+y^2 \right)^2}=...=\frac{1}{2x^3}arctg\frac{y}{x}+\frac{1}{2x^2}\cdot \frac{y}{x^2+y^2}$
Тогда, после проверки второго условия Коши-Римана, C'(x)=0 => C(x)=C.
Выходит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v\left(x,y \right)=-\frac{y}{x^2+y^2 }+C$
Наличие константного слагаемого на аналитичность не влияет, но влияет на значение функции в указанной точке (ваше второе условие). Ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f\left(z \right)=\frac{x}{x^2+y^2 }+i\left( 1-\frac{y}{x^2+y^2 }\right)$

@rurenko · 17.04.2016, 08:46

Мнимая часть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v=\int \frac{dv}{dx}dx+\frac{dv}{dy}dy$ определяется криволинейным интегралом
Здесь частные производные, то есть "круглые" буквы d. Я их пока нигде в компе не нашла

Добавлено через 22 минуты
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v=(-\frac{y}{x^2+y^2}$ )+1

Добавлено через 20 минут
jogano, рада, что ответ совпал с Вашим.

Добавлено через 11 минут
Спасибо!

@AGK · 17.04.2016, 10:55

rurenko, для обозначения частных производных используется \part
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\part}{\part x}f(x,y)$ это \frac{\part}{\part x}f(x,y)

@muscledboy · 21.04.2016, 16:00 **[ТС]**

jogano, rurenko, спасибо всем, извините, что не отписал раньше, не мог просто

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

Восстановить аналитическую функцию по заданной действительной части

Решение

Решение

@muscledboy 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.06.2015 Сообщений: 135

	Восстановить аналитическую функцию по заданной действительной части 12.04.2016, 21:04. Показов 7385. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Здравствуйте, есть задание проверить гармоническая ли функция в окрестности точки z0 и восстановить аналитическую фуункцию: u = x / (x^2 + y^2), f(1) = 1 + i. Функция гармоническая, так как производные второго порядка по x и y функции u = 0. Но есть проблема немогу восстановить функцию, помогите дорешать задание, пожалуйста (и если можно с объяснениями). Вот все, что есть на данный момент: du/dx = (y^2 - x^2) / (x^2 + y^2)^2; du/du = -2xy / (x^2 + y^2)^2; dv/dy = (y^2 - x^2) / (x^2 + y^2)^2; dv/dx = 2xy / (x^2 + y^2)^2; v(x,y) = int (y^2 - x^2) / (x^2 + y^2)^2 dx + c(x) = (вот здесь возникает первая трудность). 0

@rurenko 129 / 92 / 28 Регистрация: 15.04.2016 Сообщений: 278
	17.04.2016, 08:46
	Сообщение было отмечено muscledboy как решение Решение Мнимая часть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v=\int \frac{dv}{dx}dx+\frac{dv}{dy}dy$ определяется криволинейным интегралом Здесь частные производные, то есть "круглые" буквы d. Я их пока нигде в компе не нашла Добавлено через 22 минуты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v=(-\frac{y}{x^2+y^2}$ )+1 Добавлено через 20 минут jogano, рада, что ответ совпал с Вашим. Добавлено через 11 минут Спасибо! 1

@AGK 765 / 666 / 194 Регистрация: 24.11.2015 Сообщений: 2,163
	17.04.2016, 10:55
	rurenko, для обозначения частных производных используется \part $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\part}{\part x}f(x,y)$ это \frac{\part}{\part x}f(x,y) 2

@muscledboy 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.06.2015 Сообщений: 135
	21.04.2016, 16:00 [ТС]
	jogano, rurenko, спасибо всем, извините, что не отписал раньше, не мог просто 0