Разложить в ряд Лорана

@oobarbazanoo · Регистрация: 13.05.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, пожалуйста, как разложить в ряд Лорана следующую функцию.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{z}{{z}^{2}+1}$

В областях
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0<|z-i|<2 \\1<|z-(1+i)|< \sqrt{5}$

@mathmichel · 18.04.2017, 20:37

Разбейте сначала исходную дробь на две части: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{z}{z^2+1}=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{z-i}+\frac{1}{z+i} \right)$ . Первое слагаемое это готовый член разложения Лорана, а второе надо разложить в ряд Тейлора по степеням $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z-i$

@Symon · 18.04.2017, 20:44

Сообщение от oobarbazanoo

как разложить в ряд Лорана

Разложить на сумму простейших дробей и каждую дробь разложить в ряд Лорана, используя стандартный геометрический ряд.

@oobarbazanoo · 19.04.2017, 13:12 **[ТС]**

mathidiot, почему первое слагаемое - это готовый член? Как Вы это поняли?

Добавлено через 13 часов 14 минут
mathidiot, Symon, получаю следующее выражение, как получить из него единый ряд?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{z}{{z}^{2}+1}=\left(\sum_{n=0}^{\infty} {i}^{n+1} \frac{{(z-i)}^{n}}{{2}^{n+2}}\right) + {\left(2(z-i) \right)}^{-1}$

@mathmichel · 19.04.2017, 13:20

Сообщение от oobarbazanoo

почему первое слагаемое - это готовый член?

Потому что это $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(z-i)^{-1}$

Сообщение от oobarbazanoo

как получить из него единый ряд?

Единый ряд - это не обязательно одна формула для всех членов! Главное - определить все слагаемые ряда, а формулы для них могут быть совсем разные!

@oobarbazanoo · 19.04.2017, 13:43 **[ТС]**

mathidiot, Symon, подскажите, пожалуйста, верно ли разложил во второй области
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{z+1}=\frac{1}{z-(1+i)+2+i}=\frac{1}{2+i} \ \frac{1}{1-((-1)\frac{z-(1+i)}{2+i})}=\frac{1}{2+i}\sum_{n=0}^{\infty}{(-1)}^{n} \ \frac{{(z-(1+i))}^{n}}{{(2+i)}^{n}}$

Имеем право переходить к знаку суммы, так как
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|z-(1+i)|<\sqrt{5} \\|2+i|=\sqrt{5} \\Hence, \frac{|z-(1+i)|}{|2+i|}<1$

Верно?

Добавлено через 19 минут

Сообщение от mathidiot

Единый ряд - это не обязательно одна формула для всех членов! Главное - определить все слагаемые ряда, а формулы для них могут быть совсем разные!

Просто я не очень понимаю тогда задание. В задании сказано что функцию необходимо разложить в ряд в данной области, а я в результате раскладываю функцию не в ряд, а в два ряда.

И можно ли как-то показать, что второе слагаемое так же является рядом? То есть записать вместо второго слагаемого знак суммы от n=0 до n=бесконечности?

Добавлено через 1 минуту
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{z-i}=\frac{1}{z-(1+i)+1}=\frac{1}{1-( \ (-1)(z-(1+i)) \ )}$
А как дальше? Ведь вычитаемое в данном случае в знаменателе больше единицы.

@eropegov · 19.04.2017, 19:02

Во втором задании есть тонкость, на которую здесь пока не указали: надо построить разложение в кольце - а это значит, что для одного слагаемого надо строить ряд с центром в нуле (чтобы он сходился при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|z-(1+i)|<\sqrt{5}$ ), а для другого - с центром в бесконечности (чтобы он сходился при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1<|z-(1+i)|$ ). Тогда сумма рядов будет сходиться на пересечении областей сходимости каждого ряда, то есть как раз на кольце $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1<|z-(1+i)|<\sqrt{5}$ .

@oobarbazanoo · 19.04.2017, 19:18 **[ТС]**

eropegov, у меня вышло вот так
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{z}{{z}^{2}+1}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left({(-1)}^{n} \frac{{(z-(1+i))}^{n}}{{(1+2i)}^{n+1}}+{(z-(1+i))}^{-n-1}\right)$
Верно?

@eropegov · 23.04.2017, 21:15

у меня вышло вот так
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{z}{{z}^{2}+1}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left({(-1)}^{n} \frac{{(z-(1+i))}^{n}}{{(1+2i)}^{n+1}}+{(z-(1+i))}^{-n-1}\right)$

У меня получилось почти так же, только второе слагаемое под знаком суммы тоже знакопеременное:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left((-1)^n \frac{{(z-(1+i))}^{n}}{{(1+2i)}^{n+1}}+(-1)^n{(z-(1+i))}^{-n-1}\right)$

@oobarbazanoo · 24.04.2017, 00:31 **[ТС]**

eropegov, ой. Я там просто скобочки потерял. Прошу прощения.

@eropegov · 24.04.2017, 00:33

Ну, тогда и всё хорошо.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

Разложить в ряд Лорана

Решение

Решение

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835

	Разложить в ряд Лорана 18.04.2017, 17:16. Показов 2200. Ответов 10 Метки нет (Все метки) Подскажите, пожалуйста, как разложить в ряд Лорана следующую функцию. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{z}{{z}^{2}+1}$ В областях $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?0<\|z-i\|<2 \\1<\|z-(1+i)\|< \sqrt{5}$ 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11042 / 7346 / 3978 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,759
	18.04.2017, 20:37
	Сообщение было отмечено oobarbazanoo как решение Решение Разбейте сначала исходную дробь на две части: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{z}{z^2+1}=\frac{1}{2}\cdot \left(\frac{1}{z-i}+\frac{1}{z+i} \right)$ . Первое слагаемое это готовый член разложения Лорана, а второе надо разложить в ряд Тейлора по степеням $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z-i$ 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	19.04.2017, 13:12 [ТС]
	mathidiot, почему первое слагаемое - это готовый член? Как Вы это поняли? Добавлено через 13 часов 14 минут mathidiot, Symon, получаю следующее выражение, как получить из него единый ряд? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{z}{{z}^{2}+1}=\left(\sum_{n=0}^{\infty} {i}^{n+1} \frac{{(z-i)}^{n}}{{2}^{n+2}}\right) + {\left(2(z-i) \right)}^{-1}$ 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	19.04.2017, 19:02
	Во втором задании есть тонкость, на которую здесь пока не указали: надо построить разложение в кольце - а это значит, что для одного слагаемого надо строить ряд с центром в нуле (чтобы он сходился при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|z-(1+i)\|<\sqrt{5}$ ), а для другого - с центром в бесконечности (чтобы он сходился при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1<\|z-(1+i)\|$ ). Тогда сумма рядов будет сходиться на пересечении областей сходимости каждого ряда, то есть как раз на кольце $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1<\|z-(1+i)\|<\sqrt{5}$ . 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	19.04.2017, 19:18 [ТС]
	eropegov, у меня вышло вот так $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{z}{{z}^{2}+1}=\frac{1}{2}\sum_{n=0}^{\infty}\left({(-1)}^{n} \frac{{(z-(1+i))}^{n}}{{(1+2i)}^{n+1}}+{(z-(1+i))}^{-n-1}\right)$ Верно? 0

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	24.04.2017, 00:31 [ТС]
	eropegov, ой. Я там просто скобочки потерял. Прошу прощения. 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	24.04.2017, 00:33
	Сообщение было отмечено oobarbazanoo как решение Решение Ну, тогда и всё хорошо. 1