Найти особые точки, определить их характер,вычислить вычеты в них.

@solva · Регистрация: 07.06.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Дана функция f(z) = z^2 -2 /(z-2i)^2 * (z-2). Найти особые точки, определить их характер,вычислить
вычеты в них.
z=2i простой полюс второго порядка.
z=2 простой полюс первого порядка.
Res (2i)= 4i^2-8i+2 /(2i-2)^2.
Res(2) = 2 /(4i-4)+(2-2i)^2.
Верное ли решение, если нет, то в чем моя ошибка?

vetvet · 09.06.2012, 21:14

Простой полюс - это полюс первого порядка, полюс порядка больше 1 уже не называют простым.

Сообщение от solva

Res (2i)= 4i^2-8i+2 /(2i-2)^2.

Верно, только вы не доводите решение до конца. Нужно преобразовать к алгебраическому виду: x+i*y, учитывая, что i²=-1

Если функция имеет вид
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(z)=\frac{\varphi(z)}{\psi(z)}$ ,
где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi(z),\psi(z)$ - аналитические функци, причём $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi(z_0)\ne 0,\psi(z_0)=0, \psi'(z_0)\ne 0$ , z₀ простой полюс f(z), то вычет в простом полюсе можно найти по формуле
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\operatorname{Res}f(z_0)=\frac{\varphi(z_0)}{\psi'(z_0)}$

@solva · 09.06.2012, 21:31 **[ТС]**

Выражение (2i-2)^2 можно почленно возвести в квадрат или использовать какие-то формулы

vetvet · 09.06.2012, 21:56

Сообщение от solva

Выражение (2i-2)^2 можно почленно возвести в квадрат

Можно использовать обычные формулы сокращённого умножения (a±b)²=a²±2ab+b², считая i параметром, но затем в получившемся выражении подставить вместо i² минус единицу.

@solva · 09.06.2012, 22:33 **[ТС]**

Получилось : 1+1/4*i
А что делать с Res(2) ?

Добавлено через 16 минут
У меня там получается Res(2)= - (1/4i). Верно?

vetvet · 09.06.2012, 22:50

Сообщение от solva

1+1/4*i

Дальше можно числитель и знаменатель дроби умножить на i, получится:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1+\frac{1}{4i}=1+\frac{i}{4i^2}=1+\frac{i}{-4}=1-\frac{i}{4}$

Сообщение от solva

А что делать с Res(2) ?

Составляете новую функцию: числитель оставляете таким же, а от знаменателя берёте производную. Затем просто в полученную функцию подставляете z=2.

Добавлено через 15 минут
Ну или можно найти по формуле
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\operatorname{Res}f(z_0)=\lim_{z\to z_0}f(z)\cdot (z-z_0)$
В зависимости от функции выбрать тот вариант, который проще.

@solva · 10.06.2012, 00:04 **[ТС]**

А вот такое выражение как привести к нужному нам виду: -3 / -16-8i

vetvet · 10.06.2012, 00:15

Сообщение от solva

-3 / -16-8i

А откуда такое выражение получилось?

@solva · 10.06.2012, 00:19 **[ТС]**

После взятия производной у меня получилось:
z^2-2 /2(z+2i)(z-2)+(z+2i)^2 и я сюда подставил z=2i

vetvet · 10.06.2012, 00:23

Так это уже вычет в точке z=2. Она у вас простым полюсом является. Для z=2i уже найден вычет

Сообщение от solva

1+1/4*i

@solva · 10.06.2012, 00:28 **[ТС]**

Я так понял ,что я нахожу производную от знаменателя и по очереди подставляем z=2 и z=2i и вычисляем. Может я чего не понял?

vetvet · 10.06.2012, 00:49

Подставляем только ту точку, вычет в которой находим.
В точке 2i вы уже нашли вычет.

@solva · 10.06.2012, 01:13 **[ТС]**

Когда я подставляю в выражение : z^2 -2 / 2(z+2i)(z-2) +(z+2i)^2 ( знаменатель уже взятая
производная), например z=2 , то получаю Res(2)= -i/4
z=2i получаю Res(2i)= -3/ -16-8i

vetvet · 10.06.2012, 01:56

Сообщение от solva

например z=2 , то получаю Res(2)= -i/4

У меня получилось без минуса.

Ещё раз. Формула
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\operatorname{Res}f(z_0)=\frac{\varphi(z_0)}{\psi'(z_0)}$
справедлива только для простого полюса, т.е. для полюса 1 порядка. Полюсом первого порядка у вас является только точка z=2.
Точка z=2i является полюсом 2 порядка. Для этой точки вычет находят по обычной формуле
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\operatorname{Res}(z_0)=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to z_0}\frac{d^{(n-1)}}{dz^{(n-1)}}\left(z-z_0)^nf(z)\right)$

@solva · 10.06.2012, 16:34 **[ТС]**

После подстановки в формулу данных и сокращений получили lim z^2-2/(z-2)
z=2i
Берем производную,получаем 2z(z-2)+(z^2-2) /(z-2)^2, подставляем сюда z=2i и получилось
1-14i/8. Верен ли ответ?

Насчет первого вычета Вы правы , при взятии производной я забыл ,что там разность ,а не сумма.

vetvet · 10.06.2012, 22:26

Сообщение от solva

2z(z-2)+(z^2-2) /(z-2)^2

В числителе минус между скобками.

@solva · 10.06.2012, 22:34 **[ТС]**

Значит ответ: 1+i/4

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@solva 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 33

	Найти особые точки, определить их характер,вычислить вычеты в них. 09.06.2012, 20:53. Показов 7425. Ответов 16 Метки нет (Все метки) Дана функция f(z) = z^2 -2 /(z-2i)^2 * (z-2). Найти особые точки, определить их характер,вычислить вычеты в них. z=2i простой полюс второго порядка. z=2 простой полюс первого порядка. Res (2i)= 4i^2-8i+2 /(2i-2)^2. Res(2) = 2 /(4i-4)+(2-2i)^2. Верное ли решение, если нет, то в чем моя ошибка? 0

@solva 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 33
	09.06.2012, 21:31 [ТС]
	Выражение (2i-2)^2 можно почленно возвести в квадрат или использовать какие-то формулы 0

@solva 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 33
	09.06.2012, 22:33 [ТС]
	Получилось : 1+1/4i А что делать с Res(2) ? Добавлено через 16 минут* У меня там получается Res(2)= - (1/4i). Верно? 0

@solva 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 33
	10.06.2012, 00:04 [ТС]
	А вот такое выражение как привести к нужному нам виду: -3 / -16-8i 0

@solva 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 33
	10.06.2012, 00:19 [ТС]
	После взятия производной у меня получилось: z^2-2 /2(z+2i)(z-2)+(z+2i)^2 и я сюда подставил z=2i 0

@solva 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 33
	10.06.2012, 00:28 [ТС]
	Я так понял ,что я нахожу производную от знаменателя и по очереди подставляем z=2 и z=2i и вычисляем. Может я чего не понял? 0

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,574
	10.06.2012, 00:49
	Подставляем только ту точку, вычет в которой находим. В точке 2i вы уже нашли вычет. 1

@solva 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 33
	10.06.2012, 01:13 [ТС]
	Когда я подставляю в выражение : z^2 -2 / 2(z+2i)(z-2) +(z+2i)^2 ( знаменатель уже взятая производная), например z=2 , то получаю Res(2)= -i/4 z=2i получаю Res(2i)= -3/ -16-8i 0

@solva 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 33
	10.06.2012, 16:34 [ТС]
	После подстановки в формулу данных и сокращений получили lim z^2-2/(z-2) z=2i Берем производную,получаем 2z(z-2)+(z^2-2) /(z-2)^2, подставляем сюда z=2i и получилось 1-14i/8. Верен ли ответ? Насчет первого вычета Вы правы , при взятии производной я забыл ,что там разность ,а не сумма. 0

@solva 0 / 0 / 0 Регистрация: 07.06.2012 Сообщений: 33
	10.06.2012, 22:34 [ТС]
	Значит ответ: 1+i/4 0