Вычислить e^x с заданной точностью по разложению в ряд

@Дмитрий16611 · Регистрация: 17.03.2016

Author24 — интернет-сервис помощи студентам

буду благодарен за написание программы для этой задачи

Используя представление
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^x=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$ (это формула 3,3)
вычислить значение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^x$ для указанного значения x0 с точностью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\epsilon = 0,001$ .

Замечание:очередной член $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_n=x^n/n!$ в сумме (3) выражается через предыдущий член $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{n-1}, \; n=1,2,...$ по следующей формуле $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_n=\frac{x \cdot a_{n-1}}{n}$ .

Если в формуле 3,3 |x|>1, то полагая $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=[x]+\xi$ , где [x]- целая часть х, нужно воспользоваться формулой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^x=e^{[x]} e^\xi$ . точность вычисления считается выполненной , если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|\xi^n/n!|<\epsilon$ .

Добавлено через 3 часа 31 минуту
Даже в подобных ничего не нахожу,выручайте

@Cyborg Drone · 21.03.2016, 19:40

Имеется ввиду ряд Тейлора

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> e^x=\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}<br />$

В принципе, ничего особенного.

Допустим, есть числа a, b, c, для простоты будем считать, что каждое из них не равно 0.
Тогда верно такое тождество: a^b+c=a^ba^c.

Любое вещественное число можно представить в виде целой и дробной части. Для простоты будем считать, что целая и дробная часть числа вычисляется в смысле Гаусса, а не в смысле Айверсона, то есть, будем считать целой частью числа его запись до десятичной точки (без самой точки), а дробной частью - запись после десятичной точки (включая точку), дополненной слева нулём и знаком числа.
То есть, например, -2.35=(-2)+(-0.35), иначе [-2.35]=-2, {-2.35}=-0.35.

Теперь пусть a=e=2.718281828459045..., b=[x], c=ξ={x}. По вышеуказанному тождеству, получаем
e^x=e^[x]+ξ=e^[x]e^ξ.

Только вот ведь какое дело... Указанный Вами ряд Тейлора для экспоненты сходится при любом x. Теперь вопрос: а на кой ляд Вам пудрят мозг разбиением x на целую и дробную части? Есть подозрение, что об этом Вам ничегошеньки не рассказывали, поэтому рассказываю.

Количество значащих разрядов в компьютерном представлении числа ограничено, грубо говоря, 20 цифрами. При достаточно больших по модулю отрицательных x при увеличении n функция y=|xⁿ| вначале растёт быстрее, чем n!, и может возникнуть ситуация, когда очередной член ряда меньше, чем вес младшего значащего разряда частичной суммы ряда. Как результат, начиная с некоторого члена ряда, сумма перестанет изменяться, и поэтому результат будет неверным.

Если разбить x на целую и дробную часть, то e^[x] можно вычислить с помощью предопределённого цикла, потому что [x] - целое число, а e^ξ вычислить с помощью суммирования ряда с применением приведённого Вами рекуррентного соотношения a_n=x∙a_n-1/n!, причём описанного выше эффекта потери точности не возникнет ввиду того, что ξ гарантированно маленькое.

Так... Что ещё? Приведённая Вами точность вычислений - это, фактически, последний отброшенный член ряда Тейлора для ряда e^ξ.

Вроде всё. Пишем программу.

Pascal

const eps = 0.001;
      e = exp(1); {e = 2.71828182845904524...}
 
var n, xt: longint;
    x, xf, a, s, p: extended;
 
begin
  write('     x = ');
  readln(x);
  xt := trunc(x); {[x]};
  xf := frac(x); {ksi, {x}};
  p := 1; {здесь будет e^[x], оно же e^[x] при [x]=0}
  if xt > 0 {вычисляем e^[x]}
    then for n := 1 to xt do p := p * e {e^[x] для положительного [x]}
    else for n := 1 to -xt do p := p / e; {e^[x] для отрицательного [x]}
  a := 1; {нулевой член ряда}
  s := a; {начальное значение суммы}
  n := 0; {номер нулевого члена ряда}
  while abs(a) >= eps do {условие достижения точности, если приглядеться, то это ksi^n/n!}
    begin
      inc(n); {следующее n}
      a := xf * a / n; {следующий член ряда, согласно рекуррентного соотношения}
      s := s + a {складываем очередной член ряда с суммой}
    end;
  s := s * p; {перемножаем e^ksi*e^[x]}
  writeln('     S = ', s);
  writeln('exp(x) = ', exp(x));
  readln
end.

Замечание: последняя печать - для сравнения результата вычислений со значением, вычисленным стандартной функцией.

Что не ясно, спрашивайте.

@Дмитрий16611 0 / 0 / 0 Регистрация: 17.03.2016 Сообщений: 8
		1
	Вычислить e^x с заданной точностью по разложению в ряд 17.03.2016, 22:36. Показов 8580. Ответов 1 Метки нет (Все метки) буду благодарен за написание программы для этой задачи Используя представление $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^x=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+...$ (это формула 3,3) вычислить значение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^x$ для указанного значения x0 с точностью $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\epsilon = 0,001$ . Замечание:очередной член $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_n=x^n/n!$ в сумме (3) выражается через предыдущий член $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_{n-1}, \; n=1,2,...$ по следующей формуле $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_n=\frac{x \cdot a_{n-1}}{n}$ . Если в формуле 3,3 \|x\|>1, то полагая $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=[x]+\xi$ , где [x]- целая часть х, нужно воспользоваться формулой $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?e^x=e^{[x]} e^\xi$ . точность вычисления считается выполненной , если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|\xi^n/n!\|<\epsilon$ . Добавлено через 3 часа 31 минуту Даже в подобных ничего не нахожу,выручайте 0

	21.03.2016, 19:40

Вычислить e^x с заданной точностью по разложению в ряд

Решение