Уравнение в целых числах

@YanLunNikita · Регистрация: 26.11.2020

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Условие:
(областная олимпиада 2003 год, Казахстан)
Найдите все пары целых чисел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x,y \right)$ , для которых справедливо уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xy^2+xy+x^2-2y-1=0$
Попытка решения:
Пытался решить через теорему Виета, записал его как квадратное относительно y
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xy^2+\left(x-2 \right)y+x^2-1=0$
Далее сумму и произведение корней нашел
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_1+y_2=\frac{x-2}{x}=1-\frac{2}{x}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_1\cdot y_2=\frac{x^2-1}{x}=x-\frac{1}{x}$
По заданию ищем целые корни.
Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_1\in \mathbb Z;$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_2\in \mathbb Z;$ , то
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\frac{1}{x}\in Z \\ \frac{2}{x}\in Z \end{cases}$
Откуда ясно, что возможные $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ равны $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=1$
Таким образом были найдены корни:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(1;0 \right);\left(1;1 \right);\left(-1;0 \right);\left(-1;-3 \right)$
Однако, эти корни получены из предположения, что оба корня уравнения целые.
Имеется ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-5;y=-3$
Он подходит, но при этом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_1+y_2\notin Z;y_1\cdot y_2\notin Z$
Вероятно есть другой способ, учитывающий корень $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-5;y=-3$
Можете дать идею к решению?

@mihailm · 16.02.2021, 22:08

Сообщение от YanLunNikita

По заданию ищем целые корни.

Один из игреков должен быть целым, второй не обязательно.
Можно например переписать как квадратное относительно x, дискриминант должен быть квадратным

@Falconcheg · 17.02.2021, 06:21

Это - далеко не единственное решение, на пример, y=0, x=1; y=0, x=-1.

@YanLunNikita · 17.02.2021, 07:32 **[ТС]**

Falconcheg, Ну да. Основной мой посыл как раз в том, чтоб отыскать ОБЩЕЕ решение, находящее все, а не только найденные мной, корни. Но пока не удается. Задача интересная, отпишусь как решу

Сообщение от mihailm

Можно например переписать как квадратное относительно x, дискриминант должен быть квадратным

Так и сделал
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^2+x\cdot \left(y^2 + y \right) - \left(2y+1 \right)=0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D=\left(y^2+y \right)^2 + 8y + 4$
Рассмотрим случай $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y\geq -2$
Тогда ясно, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D>\left(y^2+y \right)^2$
Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D$ лежит между двумя последовательными квадратами, то он не будет являться полным квадратом
Ниже написано неравенство, корни которого можно откинуть при рассмотрении.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(y^2+y+1 \right)^2>D>\left(y^2+y \right)^2$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^4+y^2+1+2y^3+2y+2y^2>y^4+2y^3+y^2+8y+4$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2y^2-6y-3>0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y\in \left(-\infty ;\frac{6-\sqrt{60}}{4} \right)\bigcup \left(\frac{6+\sqrt{60}}{4} ;+\infty \right)$
Теоретически возможными остаются y=-1,0,1,2,3
Далее рассмотреть остается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y<-2$
Как считаете, нормально, или требует доработки?

@mihailm · 17.02.2021, 20:23

Сообщение от YanLunNikita

Как считаете, нормально, или требует доработки?

Идея вполне рабочая.
Но D также может быть меньше (y^2+y)^2, тоже надо рассматривать.

Добавлено через 3 часа 54 минуты
Странно конечно использовать этот вполне стандартный, но не самый простой и довольно длинный способ для решения довольно простенько выглядящего уравнения. Но ничего больше в голову не приходит!

@wer1 · 19.02.2021, 10:17

Уважаемый YanLunNikita,
позвольте мне высказать некоторые мысли по поводу решения вашего уравнения.
кстати, вот все решения (6 штук - иных нет)
(-5, -3), (-3, 1), (-1, -3), (-1, 0), (1, 0), (1, 1)

А.
Итак, запишем ваше уравнение в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(y^2+y+x)=2y+1$
1. поскольку справа нечётное число, то x - тоже нечётное число
2. кроме того икс удовлетворяет неравенству $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|x|\leq|2y+1|$ [***]
последнее неравенство мы положим в основу решения

Б.
рассмотрим четыре случая
1. x > 0 y > 0 (случай равенства 0 отдельно рассматриваться не будет)
Исходное уравнение представляет собой произведение двух целых чисел. Одно из них икс, а второе то, что в скобках. И всё это равно числу в правой части. Очевидно, что сомножитель никогда не может быть больше произведения.
Итак, имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+y+x\leq 2y+1$ (усилим неравенство, отбросив икс)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+y\leq 2y+1$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2-y-1\leq0$ (этому неравенству удовлетворяет только y = 1)

2. x < 0 y > 0
Очевидно, что выражение в скобках тоже отрицательно, ибо справа (2y + 1) - число положительное
Итак, имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+y+x<0$ (усилим это неравенство, заменив икс на ещё большее по модулю отрицательное число; смотрите неравенство [***])
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+y-(2y+1)<0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2-y-1<0$ (этому неравенству удовлетворяет только y = 1)

3. x > 0 y < 0
Очевидно, что имеем тоже самое неравенство, что и в случае 2.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+y+x<0$ (усилим это неравенство просто отбросив положительное икс)
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+y<0$ (целых решений нет)

4. x < 0 y < 0
ИТАК ВНИМАНИЕ
число $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|y^2+y+x|$ должно быть делителем числа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? |2y+1|$
То есть должно быть истинно неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?|y^2+y+x|\leq|2y+1|$
В правой части неравенства под знаком модуля находится отрицательное число. А в левой - положительное. В самом деле. Если правая часть нашего уравнения отрицательна, то оно оно может быть получено только умножением отрицательного икс на положительное число (то что в скобках). Итак, имеем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+y+x\leq -(2y+1)$ (надеюсь я подробно объяснил этот переход)
усилим наше неравенство, заменив икс на максимальное отрицательное число; Смотрите неравенство [***]
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+y+(2y+1)\leq -(2y+1)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+5y+2\leq 0$
этому неравенству удовлетворяют числа y = -4, -3, -2, -1

Элементарная проверка (про нули не забудьте) выявила 6 решений, которые я привёл в начале этого поста

примечание
зацепила меня эта задача тем, что она олимпиадная и областная. Вот я и подумал. А чем я хуже других?...

@mihailm · 19.02.2021, 10:45

Нормальное решение, может даже и попроще ранее упомянутого.
Только вот y=0 как то неожиданно появился. Вроде не рассматривали в случаях, а он раз и тут как тут в ответе))

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

@YanLunNikita 31 / 26 / 7 Регистрация: 26.11.2020 Сообщений: 113

	Уравнение в целых числах 16.02.2021, 21:26. Показов 1789. Ответов 6 Метки уравнение, уравнение в целых числах (Все метки) Условие: (областная олимпиада 2003 год, Казахстан) Найдите все пары целых чисел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x,y \right)$ , для которых справедливо уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xy^2+xy+x^2-2y-1=0$ Попытка решения: Пытался решить через теорему Виета, записал его как квадратное относительно y $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?xy^2+\left(x-2 \right)y+x^2-1=0$ Далее сумму и произведение корней нашел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_1+y_2=\frac{x-2}{x}=1-\frac{2}{x}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_1\cdot y_2=\frac{x^2-1}{x}=x-\frac{1}{x}$ По заданию ищем целые корни. Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_1\in \mathbb Z;$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_2\in \mathbb Z;$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\frac{1}{x}\in Z \\ \frac{2}{x}\in Z \end{cases}$ Откуда ясно, что возможные $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ равны $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-1$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=1$ Таким образом были найдены корни: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(1;0 \right);\left(1;1 \right);\left(-1;0 \right);\left(-1;-3 \right)$ Однако, эти корни получены из предположения, что оба корня уравнения целые. Имеется ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-5;y=-3$ Он подходит, но при этом $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_1+y_2\notin Z;y_1\cdot y_2\notin Z$ Вероятно есть другой способ, учитывающий корень $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=-5;y=-3$ Можете дать идею к решению? 0

@Falconcheg 159 / 117 / 39 Регистрация: 19.12.2020 Сообщений: 455
	17.02.2021, 06:21
	Это - далеко не единственное решение, на пример, y=0, x=1; y=0, x=-1. 1

@wer1 1104 / 480 / 33 Регистрация: 05.07.2018 Сообщений: 1,870 Записей в блоге: 7
	19.02.2021, 10:17
	Сообщение было отмечено YanLunNikita как решение Решение Уважаемый YanLunNikita, позвольте мне высказать некоторые мысли по поводу решения вашего уравнения. кстати, вот все решения (6 штук - иных нет) (-5, -3), (-3, 1), (-1, -3), (-1, 0), (1, 0), (1, 1) А. Итак, запишем ваше уравнение в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(y^2+y+x)=2y+1$ 1. поскольку справа нечётное число, то x - тоже нечётное число 2. кроме того икс удовлетворяет неравенству $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|x\|\leq\|2y+1\|$ [*] последнее неравенство мы положим в основу решения Б. рассмотрим четыре случая 1. x > 0 y > 0 (случай равенства 0 отдельно рассматриваться не будет) Исходное уравнение представляет собой произведение двух целых чисел. Одно из них икс, а второе то, что в скобках. И всё это равно числу в правой части. Очевидно, что сомножитель никогда не может быть больше произведения. Итак, имеем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+y+x\leq 2y+1$ (усилим неравенство, отбросив икс) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+y\leq 2y+1$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2-y-1\leq0$ (этому неравенству удовлетворяет только y = 1) 2. x < 0 y > 0 Очевидно, что выражение в скобках тоже отрицательно, ибо справа (2y + 1) - число положительное Итак, имеем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+y+x<0$ (усилим это неравенство, заменив икс на ещё большее по модулю отрицательное число; смотрите неравенство []) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+y-(2y+1)<0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2-y-1<0$ (этому неравенству удовлетворяет только y = 1) 3. x > 0 y < 0 Очевидно, что имеем тоже самое неравенство, что и в случае 2. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+y+x<0$ (усилим это неравенство просто отбросив положительное икс) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+y<0$ (целых решений нет) 4. x < 0 y < 0 ИТАК ВНИМАНИЕ число $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|y^2+y+x\|$ должно быть делителем числа $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \|2y+1\|$ То есть должно быть истинно неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|y^2+y+x\|\leq\|2y+1\|$ В правой части неравенства под знаком модуля находится отрицательное число. А в левой - положительное. В самом деле. Если правая часть нашего уравнения отрицательна, то оно оно может быть получено только умножением отрицательного икс на положительное число (то что в скобках). Итак, имеем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+y+x\leq -(2y+1)$ (надеюсь я подробно объяснил этот переход) усилим наше неравенство, заменив икс на максимальное отрицательное число; Смотрите неравенство [**] $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+y+(2y+1)\leq -(2y+1)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y^2+5y+2\leq 0$ этому неравенству удовлетворяют числа y = -4, -3, -2, -1 Элементарная проверка (про нули не забудьте) выявила 6 решений, которые я привёл в начале этого поста примечание зацепила меня эта задача тем, что она олимпиадная и областная. Вот я и подумал. А чем я хуже других?... 3

@mihailm 1717 / 1155 / 302 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,616
	19.02.2021, 10:45
	Нормальное решение, может даже и попроще ранее упомянутого. Только вот y=0 как то неожиданно появился. Вроде не рассматривали в случаях, а он раз и тут как тут в ответе)) 0

Уравнение в целых числах

Решение