Элементы теории чисел: делимость

@Igor · Регистрация: 11.11.2010

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Пусть k и n - натуральные числа. Доказать, что kⁿ⁺²+(k+1)²ⁿ⁺¹ делится на k²+k+1.

@Том Ардер · 08.09.2013, 20:34

Igor,

Кликните здесь для просмотра всего текста

Доказывается индукцией по n. n = 0, n = 1 - очевидно, дальше немного алгебры.

@Igor · 11.09.2013, 23:49 **[ТС]**

Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? {k}^{n+2}\equiv w(n)\ (mod\ {k}^{2}+k+1),\ {(k+1)}^{2n+1}\equiv v(n)\ (mod\ {k}^{2}+k+1).$

1) База индукции: при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? n=1$ число $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2{k}^{3}+3{k}^{2}+3k+1$ делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{2}+k+1.$

2) Предположение: предполагаем, что для некоторого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m$ справедливо равенство:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? {k}^{m+2}+{(k+1)}^{2m+1}\equiv 0\ (mod\ {m}^{2}+m+1)\ \Rightarrow \ w(m)+v(m)=0.$

3) Шаг индукции: докажем, что утверждение верно для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=m+1,$ т.е.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? {k}^{m+3}+{(k+1)}^{2m+3}\equiv k\cdot {k}^{m+2}+{(k+1)}^{2}{(k+1)}^{2m+1}\equiv -kv(m)+{(k+1)}^{2}v(m)\equiv \equiv v(m)({k}^{2}+k+1)\ (mod\ {k}^{2}+k+1)\ \Rightarrow \ {k}^{m+3}+{(k+1)}^{2m+3}\equiv 0\ (mod\ {k}^{2}+k+1).$

Не по теме:

Прошу указать на ошибки.

@Том Ардер · 12.09.2013, 00:31

В 2) исправил описку в первом сравнении:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? {k}^{m+2}+{(k+1)}^{2m+1}\equiv 0\ (mod\ {k}^{2}+k+1)\ \Rightarrow \ w(m)+v(m)\equiv 0\ (mod\ {k}^{2}+k+1).$

@Igor · 12.09.2013, 08:02 **[ТС]**

Том Ардер, да, точно.

Спасибо!

@helter · 12.09.2013, 15:04

В кольце $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb Z}[x]$ имеем:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x+1)^2 \equiv x \pmod{x^2 + x + 1}$
С помощью этого получаем
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x^{n+2} + (x+1)^{2n+1} \equiv x^{n+2} + x^n (x+1) \equiv x^n(x^2 + x + 1) \equiv 0 \pmod{x^2 + x +1}, $
то есть
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x^{n+2} + (x+1)^{2n+1} $
делится на
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x^2 + x + 1 $
в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb Z}[x]$ .

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Автозаполнение реквизита при выборе элемента справочника Maks 27.03.2026 Программный код из решения ниже на примере нетипового документа "ЗаявкаНаРемонтСпецтехники" разработанного в конфигурации КА2. При выборе "Спецтехники" (Тип Справочник. Спецтехника), заполняется. . .	Сумматор с применением элементов трёх состояний. Hrethgir 26.03.2026 Тут. https:/ / fips. ru/ EGD/ ab3c85c8-836d-4866-871b-c2f0c5d77fbc Первый документ красиво выглядит, но без схемы. Это конечно не даёт никаких плюсов автору, но тем не менее. . . всё может быть. . .	Автозаполнение реквизитов при создании документа Maks 26.03.2026 Программный код из решения ниже размещается в модуле объекта документа, в процедуре "ПриСозданииНаСервере". Алгоритм проверки заполнения реализован для исключения перезаписи значения реквизита,. . .	Команды формы и диалоговое окно Maks 26.03.2026 1. Команда формы "ЗаполнитьЗапчасти". Программный код из решения ниже на примере нетипового документа "ЗаявкаНаРемонтСпецтехники" разработанного в конфигурации КА2. В качестве источника данных. . .
Кому нужен AOT? DevAlt 26.03.2026 Решил сделать простой ланчер Написал заготовку: dotnet new console --aot -o UrlHandler var items = args. Split(":"); var tag = items; var id = items; var executable = args;. . .	Отправка уведомления на почту при создании или изменении элементов справочника Maks 24.03.2026 Программная отправка письма электронной почты на примере типового справочника "Склады" в конфигурации БП3. Перед реализацией необходимо выполнить настройку системной учетной записи электронной. . .	модель ЗдравоСохранения 5. Меньше увольнений- больше дохода! anaschu 24.03.2026 Теперь система здравосохранения уменьшает количество увольнений. 9TO2GP2bpX4 a42b81fb172ffc12ca589c7898261ccb/ https:/ / rutube. ru/ video/ a42b81fb172ffc12ca589c7898261ccb/ Слева синяя линия -. . .	Midnight Chicago Blues kumehtar 24.03.2026 Такой Midnight Chicago Blues, знаешь?. . Когда вечерние улицы становятся ночными, а ты не можешь уснуть. Ты идёшь в любимый старый бар, и бармен наливает тебе виски. Ты смотришь на пролетающие. . .

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2

	Элементы теории чисел: делимость 08.09.2013, 20:17. Показов 1090. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Пусть k и n - натуральные числа. Доказать, что kⁿ⁺²+(k+1)²ⁿ⁺¹ делится на k²+k+1. 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3418 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	08.09.2013, 20:34
	Igor, Кликните здесь для просмотра всего текста Доказывается индукцией по n. n = 0, n = 1 - очевидно, дальше немного алгебры. 2

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	11.09.2013, 23:49 [ТС]
	Пусть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> {k}^{n+2}\equiv w(n)\ (mod\ {k}^{2}+k+1),\ {(k+1)}^{2n+1}\equiv v(n)\ (mod\ {k}^{2}+k+1).$ 1) База индукции: при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> n=1$ число $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2{k}^{3}+3{k}^{2}+3k+1$ делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{2}+k+1.$ 2) Предположение: предполагаем, что для некоторого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m$ справедливо равенство: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> {k}^{m+2}+{(k+1)}^{2m+1}\equiv 0\ (mod\ {m}^{2}+m+1)\ \Rightarrow \ w(m)+v(m)=0.$ 3) Шаг индукции: докажем, что утверждение верно для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?n=m+1,$ т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> {k}^{m+3}+{(k+1)}^{2m+3}\equiv k\cdot {k}^{m+2}+{(k+1)}^{2}{(k+1)}^{2m+1}\equiv -kv(m)+{(k+1)}^{2}v(m)\equiv <br /> \equiv v(m)({k}^{2}+k+1)\ (mod\ {k}^{2}+k+1)\ \Rightarrow \ {k}^{m+3}+{(k+1)}^{2m+3}\equiv 0\ (mod\ {k}^{2}+k+1).$ Не по теме: Прошу указать на ошибки. 1

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3418 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	12.09.2013, 00:31
	В 2) исправил описку в первом сравнении: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> {k}^{m+2}+{(k+1)}^{2m+1}\equiv 0\ (mod\ {k}^{2}+k+1)\ \Rightarrow \ w(m)+v(m)\equiv 0\ (mod\ {k}^{2}+k+1).$ 1

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	12.09.2013, 08:02 [ТС]
	Том Ардер, да, точно. Спасибо! 0

@helter 4528 / 3522 / 358 Регистрация: 12.03.2013 Сообщений: 6,038
	12.09.2013, 15:04
	Сообщение было отмечено как решение Решение В кольце $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb Z}[x]$ имеем: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x+1)^2 \equiv x \pmod{x^2 + x + 1}$ С помощью этого получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> x^{n+2} + (x+1)^{2n+1} \equiv x^{n+2} + x^n (x+1) \equiv x^n(x^2 + x + 1) \equiv 0 \pmod{x^2 + x +1},<br />$ то есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> x^{n+2} + (x+1)^{2n+1}<br />$ делится на $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> x^2 + x + 1<br />$ в $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\mathbb Z}[x]$ . 3

Элементы теории чисел: делимость

Решение