Объясните формулы "матрица вращения на плоскости"

Добрый день

Эти формулы приводятся во множестве тьюториалов, часто под видом "матрица вращения на плоскости".

x' = x * cos(a) - y * sin(a)
y' = y * cos(a) + x * sin(a)

Как бы Вы их объяснили первокурсникам? Желательно "под запись", т.е. что должно быть у детей в конспектах?

Спасибо

0

Сообщение от u235 Хочет чтобы ему все приподнесли на блюдечке, а сам он палец о палец не ударит.

Да, хочет. Да, не ударит Ну а почему он должен рыться в академических книгах? Это явно "не тот случай" когда надо туда лезть. А препод тогда для чего? Почему он не объясняет простую вещь?

Сообщение от Python_Val Дайте им пример:

Это нормально и полезно, но тогда надо честно сказать: "принимаем без доказательств"

Ладно, есть еще предложения? Нет? Странно, ведь мы все просто обожаем поучать других Кстати, а где профессиональные преподы? Неужели их здесь нет? Выходит мне самому надо ответить... (так ведь запинают )

0

Igor3D, ну что тут сложного? Рассмотрим вектор, исходящий из начала координат длины r и составляющий с осью абсцисс угол a. Координаты конца этого вектора будут x=r*cos(a); y=r*sin(a). Это понятно? Если да - подтвердите, и мы пойдем дальше.

0

Сообщение от Igor3D Ладно, есть еще предложения? Нет? Странно, ведь мы все просто обожаем поучать других Кстати, а где профессиональные преподы? Неужели их здесь нет?

Если Вы спрашиваете геометрический смысл, то это (новые координаты точки, по идее) проекция точки, находящейся на окружности, на линию (которой принадлежит радиус - это гипотенуза которая ).
Причём максимум длины отрезка (для игрека, когда плюс) будет когда угол "гипотенузы" 45 градусов, и точка будет лежать за пределами окружности.
Ps: т.е. новая точка - это проекция старой точки (на дуге) на линию которой принадлежит единичный радиус.
(я так думаю).

0

Доворачиваем наш вектор на угол b. В результате угол нового (повёрнутого) вектора с осью абсцисс будет, естественно, a+b.
Координаты конца получатся x'=r*cos(a+b), y'=r*sin(a+b).
Теперь воспользуемся формулами для синуса и косинуса суммы. Получим:

x'=r*cos(a+b)= r*cos(a)*cos(b)-r*sin(a)*sin(b)= x*cos(b)-y*sin(b). Здесь х - абсцисса конца вектора до поворота. С ординатой - аналогично...

0

Ладно, вот как бы я дал "под запись"

Сообщение от Catstail Рассмотрим вектор, исходящий

Да, именно этого ответа я ждал Вот есть нормальные преподы! (Вы же препод?)

Сообщение от Catstail ..и мы пойдем дальше.

А давайте! Оцените мой ответ. По-моему "на троечку", а то и меньше. Самое главное (вернее - самое ценное) я не рассказал

1

Сообщение от Igor3D Ну а почему он должен рыться в академических книгах?

Хотя бы потому, что это он сам лично решил поступить в ВУЗ и учиться в нем. Это как бы в его интересах. Это в школе учат, а в ВУЗах - учатся. И то, даже в школах, бывают материалы/задания на самостоятельное изучение, например доклад/реферат на тему, где никто никому не разжевывает.

1

Добавлено через 3 минуты

0

0

Igor3D, почему же "на троечку"? Отличный ответ. Кстати, эти формулы можно (если забыли формулы для синуса суммы и косинуса суммы) использовать для вывода этих формул. Матричное умножение запомнить легче.

0

Сообщение от Catstail Кстати, эти формулы можно (если забыли формулы для синуса суммы и косинуса суммы) использовать для вывода этих формул.

Видел красивое доказательство:

cos(a - b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)

Это же просто скалярное произведение векторов v1 = (cos(a), sin(a)) и v2 = (cos(b), sin(b)). А для синуса получается векторное. А потом через нечет синуса получаем суммы

Кстати, MallSerg крутился близко от решения, интуиция у паренька хорошая

Сообщение от Catstail почему же "на троечку"?

Главного нет, эти формулы гораздо мощнее

1

Сообщение от Igor3D Главного нет, эти формулы гораздо мощнее

- что имеется в виду?

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от Igor3D Да, забыл сказать: я создал эту тему увидев эту статью.

- статья мусорная. Читать ее не надо.

Формула поворота плоскости есть частый случай поворота пространства R_n вокруг начала координат.

0

Сообщение от Igor3D Видел красивое доказательство:

Посмотрел я в чат gpt, там очень похоже.

Миниатюры

     

0

А вот как ИИ доказал в матричной форме:

Миниатюры

     

   

0

cos(a - b) = cos(a) * cos(b) + sin(a) * sin(b)
Действительно красиво! Сами нашли (поздравляю!) или где-то увидели?

0

VAF34, эту красоту в средней школе преподают. В девятом классе.

0

Сообщение от Cyborg Drone эту красоту в средней школе преподают. В девятом классе.

Разве? Где? Плиз "ткните носиком". Напомню что речь идет о доказательстве формулы

cos(a + b) = cos(a) * cos(b) - sin(a) * sin(b)



Добавлено через 1 час 54 минуты
Наверно этот мой пост будет добавлен к предыдущему, хотя в данном случае не хотелось бы смешивать. Ладно, ничего страшного, пусть Cyborg Drone поищет/поразмыслит, а мы пока займемся другим

Сообщение от Catstail Формула поворота плоскости есть частый случай поворота пространства Rn вокруг начала координат.

Охотно верю, тем более я не раз встречал это утверждение. В посте #8 (два слайда) препод пошел именно этим путем. Если я верно понял, есть точка (x, y) в исходной СК (возможно совпадающей с мировой). Выполняется поворот СК на угол phi и находятся координаты той же точки в новой, повернутой СК. Проблема, однако, в том, что эти координаты совсем не равны тем (x', y') что в стартовом посте. По слайдам получается обратное преобразование, как если бы точка повернулась по часовой. Впрочем, переписавший этого даже не заметил

Ну ладно, в конце-концов перебросить знак синуса - не вопрос. Но главное, поворот СК здесь ничего не упрощает и никаких выгод не дает. По-прежнему надо выводить формулы "по чертежу и теореме Пифагора" что совсем не означает "просто". Это легко если перед мордочкой висит "правельный ответ". Отследил цепочку, прикинул, ну.. наверно правильно. Но "с нуля" и без шпаргалки придется попыхтеть минут 10, а то и больше. Отказ от использования известных формул здесь совершенно не оправдан. Видимо лучшее что может сделать студент - опять-таки тупенько запомнить формулы слайдов, на этот раз никому не нужные.

Как же так, ведь идея "поворота пространства" несомненно верная, а выходит коряво, натужно и результат не совсем верен?

0

Igor3D, вращения даже трехмерного пространства (не говоря уже о бОльших размерностях) - более сложная задача. Имеет место замечательная теорема примерно такого содержания "Два поворота вокруг двух векторов, исходящих из начала координат эквивалентны повороту на некоторый угол вокруг некоторого вектора". Найти этот вектор и этот угол - довольно сложная задача. И здесь очень может помочь алгебра кватернионов.

0

Когда-то, чтобы понять эту тему, я сел писать эту статью:
Когда немного с gamedev-ом соприкасаешься, то эта тема всплывает и становится более очевидной, на мой взгляд.

0

Сообщение от Igor3D Где? Плиз "ткните носиком". Напомню что речь идет о доказательстве формулы

Для начала, извиняюсь. Не в девятом, а в десятом классе. Ну, перепутал, в моё время это в девятом классе преподавали, если мне правильно память изменяет.

Скачал учеюник по алгебре за десятый класс по первой попавшейся ссылке, А. Г. Мордкович, П. В. Семёнов, "Алгебра и начала математического анализа", базовый и углублённый уровни, 10 класс, часть 1, страница 218:



И, да, как и сказано, доказательство в конце параграфа есть. Выложить?

0

Сообщение от Cyborg Drone И, да, как и сказано, доказательство в конце параграфа есть. Выложить?

Да, выложить. Спасибо

0