Mysterious Light

Форум программистов и сисадминов Киберфорум

Войти

Регистрация
Восстановить пароль

Блоги

Сообщество

Поиск

Эссе. Парование. Часть 1. Теория множеств

Запись от Mysterious Light размещена 25.08.2013 в 23:50

Показов 3907 Комментарии 2

Основная запись: https://www.cyberforum.ru/blog... g1562.html

Теория множеств
Пара как множество и декартово произведение
Без лишних слов дадим самое распространённое определение пары:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(x,y) := \{x,\{x,y\}\}.$

Это определение понятное: с одной стороны, мы утверждаем, что пара определяется двумя объектами, что выражено в явном вхождении и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ , и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y$ в пару-как-множество, притом множество (независимо от равенства или неравенства ) можно однозначно восстановить, взяв общее объединение, например. С другой стороны, определение асимметрично по отношению к перестановке, что сразу делает пару некоммутирующей при . Кроме того, такая асимметрия позволяет определить, какой из объектов является первым, а какой — вторым, если они различны, и ответить на вопрос, а различны ли они вообще.
Пусть заданы два множества $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y$ . Множество всех пар , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x\in X$ и , называется декартовым (прямым) произведением множеств.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X\times Y := \{(x,y) | x\in X \wedge y\in Y\},$

Название происходит от геометрической аналогии, где каждая точка плоскости сопоставляется паре двух чисел — её координат. По этой аналогии вводятся две функции, называемые проекциями, которые определяют значение левого и правого объектов пары соответственно:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?pr_1(x,y)=x,\;\;\; pr_1:X\times Y\to X,$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?pr_2(x,y)=y,\;\;\; pr_2:X\times Y\to Y,$

Связанные функции
Описанного уже достаточно для того, чтоб ТМ-определение удовлетворяло феноменологическому пониманию пары.
Теперь рассмотрим произвольное множество $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a$ и две функции и . Пусть имеется некоторый объект $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a\in A$ . Функция отображает его в некоторый объект , аналогично отображает $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a$ в . Объекты $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y$ можно объединить в пару . Таким образом появилось отображение

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\langle f,g \rangle : \; a \mapsto (x,y),$

которое определяет только видом и . По-другому,

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\langle f,g \rangle(a) = (f(a),g(a)), \;\;\;\; \langle f,g\rangle: A\to X\times Y.$

Это отображение можно мыслить как спаривание вычисления двух функций. Обратим внимание на следующие соотношения:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}pr_1(\langle f,g \rangle(a))=f(a), \\ pr_2(\langle f,g \rangle(a))=g(a).\end{cases}$

Другой вид «спаривания» можно описать так: давайте проделаем те же самые рассуждения, полагая, что функции могут принимать разные аргументы. Тогда мы перейдём от отображений

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f: a\mapsto x, \;\;\;\; g: b\mapsto y$

к такому отображению:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[f,g\right] \; : \;(a,b)\mapsto (x,y),$

Поскольку аргументы могут принадлежать разным множествам, общая сигнатура будет такой:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left[f,g\right] :\; A\times B \to X\times Y$

Такие скобочки называются функторным (прямым) произведением функций и .

Размещено в Структуры данных

« Эссе. Парование. Часть 0. Введение. Главная страница Эссе. Парование. Часть 2. Теория категорий »

Надоела реклама? Зарегистрируйтесь и она исчезнет полностью.

Всего комментариев 2

Комментарии

	Как красиво. А это имеет отношение к спариваниям Вейля на гиперэллиптических кривых? У нас через некоторое время начнется такой спецкурс.
	Запись от Stiechtenoth размещена 31.05.2015 в 17:10

	Очень косвенное отношение) В аналогии: такое же отношение, каким арифметика относится к современной физике.
	Запись от Mysterious Light размещена 31.05.2015 в 17:31

Mysterious Light Mysterious Light вне форума

Регистрация 19.07.2009
Адрес СНГ
Сообщений 3,219
Записей в блоге 24

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Установка MinGW GCC 16.2 и CMake 8Observer8 10.08.2026 VK Видео: https:/ / vkvideo. ru/ video-240781534_456239017 YouTube: eY5-5PyI9NM Текстовая версия	Неделя из жизни имитационной модели склада: мои кривые руки растут, откуда надо anaschu 10.08.2026 Неделя из жизни имитационной модели склада: как я почти написал неправильную логику и что с этим делать Работаю сейчас над учебно-рабочим проектом: строю в AnyLogic имитационную модель процессов. . .	Калькулятор для расчета родства russiannick 07.08.2026 1. Задача: Создать калькулятор для расчета родства. Родственных связей существует 8 ступеней, такие как: p - отец P - мать q - муж Q - жена b - брат B - сестра s - сын S - дочь	Мир по моей воле kumehtar 07.08.2026 Когда-то кажется, что всё просто. Ты весь такой светлый. Причиняешь добро. Борешься за справедливость в этом тёмном мире. Потом начинаешь замечать одну неприятную вещь. Почти каждый хороший. . .
Кредитный калькулятор Maks 05.08.2026 Решение задачи по прикладной информатике средствами 1С. Задача: Напишите приложение-калькулятор, которое помогает рассчитывать параметры кредита для аннуитетного и дифференцированного видов. . .	У нас сейчас поговорку "Опять 25" нужно переделать на "Опять +35". kumehtar 04.08.2026 С ностальгией вспоминаю времена моего детства, когда у нас и правда +25 - была максимальная температура летом. Раньше +25 °C реально казались вершиной жары, когда можно было весь день пропадать на. . .	Как ИИ начал спорить и врать (возможно почуяв опасность для себя от индустрии - уход от электроники). Hrethgir 04.08.2026 Недельный диалог, на фоне событий с НПЗ. Да, из спирта можно получать бензин, и это не сложно. Но потом в схеме я решил избавиться от насоса, при этом полностью сделав контроль подачи спирта в. . .	Термопринтер QR701 Argus19 03.08.2026 Термопринтер QR701 Купил два термопринтера QR701. На сэлф-тесте написано: Language: PC936 (GB18030). Что означает, что принтеры могут печатать только латиницу и китайские иероглифы. Так же. . .

Наверх

Сообщение форума

Отменить изменения