Пример простейшего калькулятора на PHP без перезагрузки страницы (чистый Ajax, без jQuery и других библиотек)

<script type="text/javascript">
 
  function calculate() {
 
    var x = document.getElementById('x').value; // получить значение поля 'x' из формы
    var y = document.getElementById('y').value; // получить значение поля 'y' из формы
    var ajaxObject = new XMLHttpRequest(); // создать новый объект XMLHttpRequest
    ajaxObject.open('POST', 'ajax.php'); // открыть соединение
    ajaxObject.setRequestHeader('Content-Type', 'application/x-www-form-urlencoded'); // установить формат содержимого POST-запроса
    ajaxObject.send('x=' + encodeURIComponent(x) + '&y=' + encodeURIComponent(y)); // отправить POST-запрос
    ajaxObject.onreadystatechange = function() { // установить функцию-обработчик изменения свойства readyState
      if (ajaxObject.readyState == 4) { // если readyState стало 4, т.е. ответ от сервера пришел и готов к обработке
        if(ajaxObject.status == 200) { // и если ответ успешен
          document.getElementById('calculate').innerHTML = ajaxObject.responseText; // выводим ответ сервера пользователю в <span id="calculate"></span>  
        }
      }
    }
  }
  
</script>