Сколько различных комбинаций необходимо перебрать, чтобы не зная кода открыть замок

В кодовом замке 6 одинаковых дисков, каждый из которых можно установить в 10 устойчивых положений (10 цифр). Сколько различных комбинаций необходимо перебрать, чтобы не зная кода открыть замок, если сумма цифр первой половины кода равна сумме цифр второй половины кода?
Цифры в коде не повторяются.

Пожалуйста, объясните принцип и формулу)

0

Всего 6480 подходящих кодов.

Вот соображения. Каждый код представляет собой размещение без повторений из 10 по 6.
Минимальная сумма цифр кода равна 0+1+…+5=15,
максимальная сумма равна 9+8+…+4=39.
Поскольку сумма цифр подходящих кодов (у которых сумма первых трех цифр равна сумме трех последних) четна, то их сумма цифр может быть от 16 до 38.
Соответственно сумма цифр половинок подходящего кода может быть от 8 до 19.
Если сумма цифр половинки подходящего кода равна q, то, заменяя каждую цифру кода дополнением к 9, получим новый подходящий код с суммой цифр половинки 27-q.
Это означает, что достаточно сосчитать коды, суммы половинок которых равны
8, 9, 10, 11, 12, 13.

Всего имеется 120 троек (число сочетаний из 10 по 3), из которых 49 имеют сумму цифр от 8 до 13. Все их нетрудно выписать. Для примера укажу все тройки с суммой 10:
019, 028, 037, 046, 127, 136, 145, 235.

Имеется 6 пар из этих троек без общих цифр:
019, 235; 028, 145; 028, 136; 037, 145; 046, 235; 046, 127.
Из каждой такой пары можно, переставляя цифры троек и сами тройки, образовать 72 различных кода.
Итого получается 6*72=432 подходящих кода с суммой цифр половинок 10. Столько же имеется кодов с суммой цифр половинок 17.

Аналогично для остальных сумм. Длинновато, но что-то другого в голову не приходит.
Задача интересная получилась.

2

Все ясно кроме одного

Сообщение от kabenyuk Если сумма цифр половинки подходящего кода равна q, то, заменяя каждую цифру кода дополнением к 9, получим новый подходящий код с суммой цифр половинки 27-q.

И почему мы не считаем коды, когда сумма половинок равна 14, 15, 16, 17, 18, 19? Может же быть пара 981, 765

0

Сообщение от kabenyuk Если сумма цифр половинки подходящего кода равна q, то, заменяя каждую цифру кода дополнением к 9, получим новый подходящий код с суммой цифр половинки 27-q

Вот поэтому. Скажем, для 14 можно не считать — будет столько же вариантов, сколько и для 13. И т.д.

2

Что вообще это значит? Не догоняю никак..

Сообщение от kabenyuk Если сумма цифр половинки подходящего кода равна q, то, заменяя каждую цифру кода дополнением к 9, получим новый подходящий код с суммой цифр половинки 27-q.

0

Берем код 019 235. Его дополнение 980 764 - тоже подходящий код. У первого сумма цифр половинки равна 10,
у второго - 17, 10+17=27.

Добавлено через 6 минут

Сообщение от Pamparapapam И почему мы не считаем коды, когда сумма половинок равна 14, 15, 16, 17, 18, 19? Может же быть пара 981, 765

Считаем я же об этом написал. Паре 981 765 двойственна паре 018 234 с суммой половинок 9.

1

Понятно) Всем большое спасибо!

Добавлено через 1 час 7 минут

Сообщение от kabenyuk Всего имеется 120 троек (число сочетаний из 10 по 3), из которых 49 имеют сумму цифр от 8 до 13.

Все получилось, только не 49, а 45.

0