Конечно-разностный метод решения краевой задачи (дифференциального уравнения)

@filimoncc · Регистрация: 02.12.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Решить краевую задачу конечно-разностным методом, условие в приложенных скриншотах и pdf-файле.

Вместо правильного решения выводит "-nan". Метод Гаусса рабочий, проверен на этом же алгоритме, но при ручном вводе элементов матриц. В чём может быть проблема?

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
// Программа находит решение дифференциального уравнения второго порядка в виде системы.
#include <iostream>
#include <cmath>
 
using namespace std;
 
int main () {
    setlocale (LC_ALL, "");
    int N=5;
    float a = 0,b = 1,h,y0 = 1,f = 0,q = 1;
    /*
    cout << "Введите значение начала отрезка:\n";
    cin >> a;
    cout << "Введите значение конца отрезка:\n";
    cin >> b;
    cout << "Введите количество разбиений отрезка:\n";
    cin >> N;
    cout << "Введите значение на левой границе:\n";
    cin >> y0;
    cout << "Введите чему равно ДУ:\n";
    cin >> f;
    cout << "Введите значение константы q\n";
    cin >> q;
    */
    h = abs(b-a) / N; // Шаг разбиения.
    N++; // Иначе грозит выход за границы массива.
 
    float x[N-1], p[N-1];//объявили массив под значения шагов х
 
    for (int i = 0; i < N - 1; i++){// Заполняем массив ранее объявленный массив.
        x[i] = a;
        p[i] = x[i];// Заполнение константы p, при p(x)=x.
        a = a+h;
    }
 
    float A[N][N], B[N][N], C[N][N], F[N][N];
    int n = N - 1;
    float b2[n],x2[n],d,s,a2[n][n];
 
    for (int i = 0; i < N; i++){ // Зануляем массивы коэффициентов, чтобы не получить ошибок при вычислениях.
        b2[i] = 0;
        for (int j = 0; j < N; j++){
            A[i][j] = 0;
            B[i][j] = 0;
            C[i][j] = 0;
            a2[i][j] = 0;
            F[i][j] = 0;
        }
    }
 
    // Рассчитываем коэффициенты в СЛАУ.
 
    A[N-1][N-2] = 1; // Третья строчка системы из условия задачи.
    B[N-1][N-1] = (-1-2*h); // Третья строчка системы из условия задачи.
 
    for (int i = 1; i < N; i++){
        if (i == 1){
            B[i][i] = (-2-h*h*q);
            C[i][i+1] = (1+(p[i]*h/2));
        }
        else if (i == N-1) {
            C[i][i+1] = (1+(p[i]*h/2));
        }
        else {
            A[i][i-1] = (1-(p[i]*h/2));// Коэффициенты формул (4.39).
            B[i][i] = (-2-h*h*q);
            C[i][i+1] = (1+(p[i]*h/2));
        }
    }
 
    // Рассчитываем правую часть значений (F) после равенства в СЛАУ.
 
    for (int i = 1; i < N; i++){
        if (i == 1){
            F[i][i] = (h * h * f - (1 - (p[i] * h/2)) * y0);
        }
        else {
            F[i][i] = (h * h * f);
        }
    }
 
    // Обрабатываем полученные данные из массивов методом Гаусса.
 
    for (int i = 1; i <= N - 1; i++){ // Передали массив F.
        b2[i-1] = F[i][i];
    }
 
    // Заносим необходимые элементы из A, B, C в один общий массив.
 
    int i = 1;
    int j = 0;
    while (i < N - 1){
        a2[i][j] = A[i+1][j+1];
        i++;
        j++;
    }
 
    i = 0;
    j = 0;
    while (i < N - 1){
        a2[i][j] = B[i+1][j+1];
        i++;
        j++;
    }
 
    i = 0;
    j = 1;
    while (i < N - 1){
        a2[i][j] = C[i+1][j+1];
        i++;
        j++;
    }
 
    for (int k = 1; k <= n; k++) // Прямой ход.
    {
        for (int j = k + 1; j <= n; j++)
        {
            d = a2[j][k] / a2[k][k]; // формула (1)
            for (int i = k; i <= n; i++)
            {
                a2[j][i] = a2[j][i] - d * a2[k][i]; // формула (2)
            }
            b2[j] = b2[j] - d * b2[k]; // формула (2), только для расширения
        }
    }
 
    for (int k = n; k >= 1; k--) // Обратный ход.
    {
        d = 0;
        for (int j = k + 1; j <= n; j++)
        {
            s = a2[k][j] * x2[j]; // формула (3)
            d = d + s; // сумма
        }
        x2[k] = (b2[k] - d) / a2[k][k]; // формула (3)
    }
 
    // Вывод решения в виде таблицы всех значений.
 
    cout << "Решение СЛАУ: " << endl;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    cout << "x[" << i << "]=" << x2[i] << " " << endl;
 
    return 0;
}

@S_el · 18.04.2016, 22:57

filimoncc, какую конкретно задачу решаете? (напишите краевые условия).

@AlexVRud · 18.04.2016, 23:09

Сообщение от filimoncc

-nan".

В вашем случае вероятно деление на ноль (с.м. / a2[k][k])

Метод Гаусса рабочий,

А кто будет искать не нулевые элементы? (Хотя правильнее искать максимальный по модулю).

@S_el · 18.04.2016, 23:21

Сообщение от AlexVRud

А кто будет искать не нулевые элементы? (Хотя правильнее искать максимальный по модулю).

Чем правильнее?

@AlexVRud · 19.04.2016, 06:41

S_el, уменьшением вычислительной ошибки

@filimoncc · 19.04.2016, 16:20 **[ТС]**

Товарищи, в этой реализации метода Гаусса не учитывается деления на ноль. С проблемой решения задачи - разобрался. Там был выход массива за границы в методе Гаусса и при выводе решения.

Рабочий код именно для данной задачи (условие можно посмотреть во вложениях к теме, если кто-то не понимает какие краевые условия заданы):

C++
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
// Программа находит решение дифференциального уравнения второго порядка в виде системы.
#include <iostream>
#include <cmath>
 
using namespace std;
 
int main () {
    setlocale (LC_ALL, "");
    int N = 5;
    float a = 0, b = 1, h, y0 = 1, f = 0, q = 1;
    /*
    cout << "Введите значение начала отрезка:\n";
    cin >> a;
    cout << "Введите значение конца отрезка:\n";
    cin >> b;
    cout << "Введите количество разбиений отрезка:\n";
    cin >> N;
    cout << "Введите значение на левой границе:\n";
    cin >> y0;
    cout << "Введите чему равно ДУ:\n";
    cin >> f;
    cout << "Введите значение константы q\n";
    cin >> q;
    */
    h = abs(b-a) / N; // Шаг разбиения.
    N++; // Иначе грозит выход за границы массива.
 
    float x[N-1], p[N-1];// Объявили массив под значения шагов х.
 
    for (int i = 0; i < N - 1; i++){ // Заполняем массив ранее объявленный массив.
        x[i] = a;
        p[i] = x[i]; // Заполнение константы p, при p(x)=x.
        a = a + h;
    }
 
    float A[N][N], B[N][N], C[N][N], F[N][N];
    int n = N - 1;
    float b2[n],x2[n],d,s,a2[n][n];
 
    for (int i = 0; i < N; i++){ // Зануляем массивы коэффициентов, чтобы не получить ошибок при вычислениях.
        b2[i] = 0;
        for (int j = 0; j < N; j++){
            A[i][j] = 0;
            B[i][j] = 0;
            C[i][j] = 0;
            a2[i][j] = 0;
            F[i][j] = 0;
        }
    }
 
    // Рассчитываем коэффициенты в СЛАУ.
 
    A[N-1][N-2] = 1; // Третья строчка системы из условия задачи.
    B[N-1][N-1] = (-1-2*h); // Третья строчка системы из условия задачи.
 
    for (int i = 1; i < N; i++){
        if (i == 1){
            B[i][i] = (-2-h*h*q);
            C[i][i+1] = (1+(p[i]*h/2));
        }
        else if (i == N-1) {
            C[i][i+1] = (1+(p[i]*h/2));
        }
        else {
            A[i][i-1] = (1-(p[i]*h/2));// Коэффициенты формул (4.39).
            B[i][i] = (-2-h*h*q);
            C[i][i+1] = (1+(p[i]*h/2));
        }
    }
 
    // Рассчитываем правую часть значений (F) после равенства в СЛАУ.
 
    for (int i = 1; i < N; i++){
        if (i == 1){
            F[i][i] = (h * h * f - (1 - (p[i] * h/2)) * y0);
        }
        else {
            F[i][i] = (h * h * f);
        }
    }
 
    // Обрабатываем полученные данные из массивов методом Гаусса.
 
    for (int i = 1; i <= N - 1; i++){ // Передали массив F.
        b2[i-1] = F[i][i];
    }
    
    // Заносим необходимые элементы из A, B, C в один общий массив.
 
    int i = 1;
    int j = 0;
    while (i < N - 1){
        a2[i][j] = A[i+1][j+1];
        i++;
        j++;
    }
 
    i = 0;
    j = 0;
    while (i < N - 1){
        a2[i][j] = B[i+1][j+1];
        i++;
        j++;
    }
 
    i = 0;
    j = 1;
    while (i < N - 1){
        a2[i][j] = C[i+1][j+1];
        i++;
        j++;
    }
    
    for (int i = 0; i < N - 1; i++){ // Проверка.
 
        for (int j = 0; j < N - 1; j++){
            cout << a2[i][j] << "\t";
        }
        cout << "\n";
    }
    cout << "\n a2.2 " << "\n\n";
    
    // Метод Гаусса.
 
    for (int k = 0; k < n; k++) // Прямой ход.
    {
        for (int j = k + 1; j < n; j++)
        {
            d = a2[j][k] / a2[k][k]; // формула (1)
            for (int i = k; i <= n; i++)
            {
                a2[j][i] = a2[j][i] - d * a2[k][i]; // формула (2)
            }
            b2[j] = b2[j] - d * b2[k]; // формула (2), только для расширения
        }
    }
    
    for (int k = n-1; k >= 0; k--) // Обратный ход.
    {
        d = 0;
        for (int j = k; j < n; j++)
        {
            s = a2[k][j] * x2[j]; // формула (3)
            d = d + s; // сумма
        }
        x2[k] = (b2[k] - d) / a2[k][k]; // формула (3)
        
    }
 
    // Вывод решения в виде таблицы всех значений.
 
    cout << "Решение СЛАУ: " << endl;
    for(int i = 0; i < n; i++)
    cout << "x[" << i << "]=" << x2[i] << " " << endl;
 
    return 0;
}

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Символьное дифференцирование igorrr37 13.02.2026 / * Программа принимает математическое выражение в виде строки и выдаёт его производную в виде строки и вычисляет значение производной при заданном х Логарифм записывается как: (x-2)log(x^2+2) -. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»
SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL3_image 8Observer8 10.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3_image содержит инструменты для расширенной работы с изображениями. Пошагово создадим проект для загрузки изображения формата PNG с альфа-каналом (с прозрачным. . .	Установка Qt-версии Lazarus IDE в Debian Trixie Xfce volvo 10.02.2026 В общем, достали меня глюки IDE Лазаруса, собранной с использованием набора виджетов Gtk2 (конкретно: если набирать текст в редакторе и вызвать подсказку через Ctrl+Space, то после закрытия окошка. . .

@S_el 2444 / 1842 / 406 Регистрация: 15.12.2013 Сообщений: 8,243
	18.04.2016, 22:57
	filimoncc, какую конкретно задачу решаете? (напишите краевые условия). 0

@AlexVRud 694 / 304 / 99 Регистрация: 04.07.2014 Сообщений: 851
	19.04.2016, 06:41
	S_el, уменьшением вычислительной ошибки 0