интересная головоломка

Баше — математическая игра, в которой два игрока по очереди вынимают из кучки N предметов не менее 1 и не более k. Проигравшим считается тот, кому нечего брать.

Названа в честь французского математика Баше де Мезирьяка.

Стратегия
Выигрышный алгоритм игры Баше легко получить, если рассуждать с «конца», то есть рассмотреть сначала позицию перед последним ходом. Для выигрыша надо оставить противнику перед его последним ходом k + 1 предмет. Тогда, сколько бы он ни взял (больше k брать нельзя), своим ходом вы забираете оставшиеся. Поэтому перед предпоследним ходом надо оставить на столе 2*(k + 1) предметов. В этом случае при любом ходе противника можно ответить так, что в куче останется k + 1 предмет. Таким образом, в игре есть ряд ключевых позиций — k + 1, 2*(k + 1), 3*(k + 1) предметов и так далее, когда начинающий проигрывает. Значит, если начальная позиция неключевая, то нужно своим ходом получить ключевую позицию, взяв «лишние» предметы.

Если же в особой позиции ваш ход, то если противник не знает правильной стратегии игры, остаётся ждать его ошибки.

Первоначальный вариант игры
В первоначальном варианте игры правила были следующими: первый игрок выбирает число от 1 до 10, второй прибавляет к нему любое число из того же интервала и так далее. Побеждает тот, кто получит в сумме 100. В ней также есть выигрышные позиции. Их указал сам Баше: 9, 19, 29 … 89.
Материал из Википедии — свободной энциклопедии