Определение принадлежности точки к многоугольнику

@shotic996 · Регистрация: 13.04.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день/вечер. Имеются координаты многоугольника в Яндекс картах, они считываются программой написанной на Делфи. Возникает необходимость проверить входит ли объект в данный многоугольник. Объект также имеет координаты в Яндекс картах.
Пример карты и многоугольников(выделены разным цветом) представлен ниже.

Появился вопрос, как грамотно сделать проверку на принадлежность точки к многоугольнику. Точка это объект на карте, который задается координатами. Многоугольник обозначает границы районов и не задан никакой функцией.

Нашёл следующий алгоритм, но знаний геометрии и высшей математики у меня не хватает. Вот сам метод:
"Ближняя точка и ее нормаль"
Алгоритм в данном случае такой:
1. Для тестируемой точки ищем ближайшую точку на многоугольнике. При этом помним, что ближайшая точка может быть не только на отрезке, но и в вершине.
2. Ищем нормаль ближайшей точки. Если ближняя точка лежит на ребре, то нормаль является вектор, перпендикулярный ребру и смотрящий наружу многоугольника. Если ближняя точка – одна из вершин, то нормалью является усредненный вектор ребер, прилежащих к вершине.
3. Вычисляем угол между нормалью ближайшей точки и вектором от тестируемой точки до ближайшей. Если угол меньше 90 градусов, то мы – внутри, иначе – снаружи.
Причем угол как таковой считать не обязательно, достаточно проверить знак косинуса этого угла. Если положительный – внутри, если отрицательный – снаружи. А поскольку нас интересует только знак косинуса, то по сути мы вычисляем знак скалярного произведения между двумя векторами.
Рассмотрим пример. Точка A1, ближайшая точка для нее находится на ребре. Если все делаем правильно, нормаль к ребру параллельна вектору от тестируемой точки до ближайшей. В случае точки A1, угол между векторами = 0. Или почти нуль, так как из-за операций с плавающей точкой все возможно. Меньше 90 градусов, тестируемая точка A1 – внутри. Протестируем точку A2. У нее ближайшая точка – вершина, нормаль к которой – усредненная нормаль ребер прилегающих к этой вершине. Считаем скалярное произведение двух векторов, должно быть отрицательным. Мы – снаружи.
Пример представлен на рисунке 2.

Вопрос в следующем: непонятно как вычислять нормаль ближайшей точки(если ближняя точка лежит на ребре, то нормаль является вектор, перпендикулярный ребру и смотрящий наружу многоугольника. Если ближняя точка – одна из вершин, то нормалью является усредненный вектор ребер, прилежащих к вершине.)

Если есть способы легче, то буду очень рад Вашим предложениям. Спасибо.

@snake32 · 07.06.2018, 01:12

Сообщение от shotic996

Если есть способы легче

Из точки А пускаете луч и ищите кол-во пересечений луча с отрезками полигона.
Если кол-во пересечений не чётно то точка внутри полигона.

Удобнее пускать луч по Х координате вправо:

Delphi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
function GetRayX( const rayY:integer; const p0,p1:TIVec2 ):single;
begin
  Result := ( rayY - p0.y )*( p1.x - p0.x )/( p1.y - p0.y ) + p0.x;
end;
 
procedure NumIntersect( var num:integer; const pt:TIVec2; const poly:TArray<TIVec2> );
    var i:integer;
begin
  for i:=0 to Length(poly)-2 do
    if(( poly[i].y > pt.y )<>( poly[i+1].y > pt.y ))and( pt.x < GetRayX(pt.y, poly[i], poly[i+1]) )then
      Inc(num);
end;
// полигон poly должен быть "замкнутым" - первая точка должна совпадать с последней
function InsidePoly( const pt:TIVec2; const poly:TArray<TIVec2> ):Boolean;
  var num:integer;
begin
  num := 0;
  NumIntersect( num, pt, poly );
  Result := odd(num);
end;

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Access VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .
Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .

@shotic996 0 / 0 / 0 Регистрация: 13.04.2015 Сообщений: 16

	Определение принадлежности точки к многоугольнику 06.06.2018, 16:43. Показов 5888. Ответов 1 Метки нет (Все метки) Добрый день/вечер. Имеются координаты многоугольника в Яндекс картах, они считываются программой написанной на Делфи. Возникает необходимость проверить входит ли объект в данный многоугольник. Объект также имеет координаты в Яндекс картах. Пример карты и многоугольников(выделены разным цветом) представлен ниже. Появился вопрос, как грамотно сделать проверку на принадлежность точки к многоугольнику. Точка это объект на карте, который задается координатами. Многоугольник обозначает границы районов и не задан никакой функцией. Нашёл следующий алгоритм, но знаний геометрии и высшей математики у меня не хватает. Вот сам метод: "Ближняя точка и ее нормаль" Алгоритм в данном случае такой: 1. Для тестируемой точки ищем ближайшую точку на многоугольнике. При этом помним, что ближайшая точка может быть не только на отрезке, но и в вершине. 2. Ищем нормаль ближайшей точки. Если ближняя точка лежит на ребре, то нормаль является вектор, перпендикулярный ребру и смотрящий наружу многоугольника. Если ближняя точка – одна из вершин, то нормалью является усредненный вектор ребер, прилежащих к вершине. 3. Вычисляем угол между нормалью ближайшей точки и вектором от тестируемой точки до ближайшей. Если угол меньше 90 градусов, то мы – внутри, иначе – снаружи. Причем угол как таковой считать не обязательно, достаточно проверить знак косинуса этого угла. Если положительный – внутри, если отрицательный – снаружи. А поскольку нас интересует только знак косинуса, то по сути мы вычисляем знак скалярного произведения между двумя векторами. Рассмотрим пример. Точка A1, ближайшая точка для нее находится на ребре. Если все делаем правильно, нормаль к ребру параллельна вектору от тестируемой точки до ближайшей. В случае точки A1, угол между векторами = 0. Или почти нуль, так как из-за операций с плавающей точкой все возможно. Меньше 90 градусов, тестируемая точка A1 – внутри. Протестируем точку A2. У нее ближайшая точка – вершина, нормаль к которой – усредненная нормаль ребер прилегающих к этой вершине. Считаем скалярное произведение двух векторов, должно быть отрицательным. Мы – снаружи. Пример представлен на рисунке 2. Вопрос в следующем: непонятно как вычислять нормаль ближайшей точки(если ближняя точка лежит на ребре, то нормаль является вектор, перпендикулярный ребру и смотрящий наружу многоугольника. Если ближняя точка – одна из вершин, то нормалью является усредненный вектор ребер, прилежащих к вершине.) Если есть способы легче, то буду очень рад Вашим предложениям. Спасибо. Миниатюры 0

Определение принадлежности точки к многоугольнику

Решение