Метод вариации постоянных

@JwOw · Регистрация: 24.09.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Методом вариации постоянных проинтегрировать ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''-8y'+16y=\frac{{e}^{4x}}{{x}^{3}}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''-8y'+16y=0$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{2}-8k+16=0$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}_{1,2}=4$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{o.o}={c}_{1}{e}^{4x}+{c}_{2}x{e}^{4x}$

Дальше идут затруднения

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}=\frac{{e}^{4x}}{A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D}$

Если искать производные, то они очень объемные, а мне кажется это не есть хорошо

@tatiana4ka · 06.12.2013, 23:16

JwOw, а мне всегда казалось, что метод вариации, это когда приравниваем левую часть характеристического уравнения к 0, решаем, получаем y, а дальше составляем систему, когда наш y =0
y'= нашей правой части, находим С1 и С2...

@Mysterious Light · 06.12.2013, 23:17

Сообщение от JwOw

Если искать производные, то они очень объемные, а мне кажется это не есть хорошо

всё-таки, найдите y' и y'', считая все параметры функциями от x.
Спойлер: экспоненты сократятся.

@JwOw · 06.12.2013, 23:45 **[ТС]**

Если не ошибся

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=\frac{4{e}^{4x}{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}-{e}^{4x}{(3A{x}^{2}+2Bx+C)}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{2}}=\frac{4{e}^{4x}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}}-\frac{{e}^{4x}{(3A{x}^{2}+2Bx+C)}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{2}}$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''=\frac{16{e}^{4x}{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}-4{e}^{4x}{(3A{x}^{2}+2Bx+C)}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{2}}-\frac{4{e}^{4x}{(3A{x}^{2}+Bx+C)}+{e}^{4x}{(6Ax+2B)}{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{2}-2{e}^{4x}{(3A{x}^{2}+2Bx+C)}^{2}{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{4}}=$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\frac{16{e}^{4x}}{A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D}-\frac{4{e}^{4x}{(3A{x}^{2}+2Bx+C)}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{2}}-\frac{4{e}^{4x}{(3A{x}^{2}+2Bx+C)}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{4}}-\frac{{e}^{4x}{(6Ax+2B)}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{2}}+\frac{2{e}^{4x}{(3A{x}^{2}+2Bx+C)}^{2}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{3}}$

@tatiana4ka · 06.12.2013, 23:55

Mysterious Light, не понимаю, зачем это делать...
я делала так
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=C_1 e^{4x} +C_2 xe^{4x}$
составим систему
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C'_1 e^{4x} +C'_2 xe^{4x} =0$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4C'_1 e^{4x} +4C'_2 xe^{4x} +C'_2 e^{4x} =\frac{e^{4x}}{x^3}$
решаем систему Крамером, получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C'_1 = -\frac{1}{x^2}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_1= \frac{1}{x}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C'_2 = \frac{1}{x^3}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_2 = -\frac{1}{2x^2}$
и в итоге получим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=C_1 e^{4x} + C_2 xe^{4x} + \frac{e^{4x}}{x} +\frac{xe^{4x}}{-2x^2}$

@Том Ардер · 07.12.2013, 00:07

Сообщение от JwOw

Дальше идут затруднения

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}=\frac{{e}^{4x}}{A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D}$

Если искать производные, то они очень объемные, а мне кажется это не есть хорошо

Это называется: придумать себе трудности, а потом героически их преодолевать. Откуда!!! вообще возникло подобное представление о методе?

Правильно: искать решение в виде
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y={c}_{1}(x){e}^{4x}+{c}_{2}(x)x{e}^{4x}$
Подставить в исходное уравнение, для функций $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{c}_{1,2}(x)$ получится система двух линейных дифференциальных уравнений первого порядка, очень простых и с простым решением.
И всегда:

@Mysterious Light · 07.12.2013, 00:59

Спасибо, Том Ардер:

написал сначала ответ, потом перечитал вопрос и заменил «считая c1 и c2...» на «считая все параметры...».
затем начал думать: откуда последняя формула, неужели так я забыл, как задачи решаются, что не понимаю этого?
И решил больше не соваться в эту тему.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Access VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .
Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .

@JwOw 1 / 1 / 1 Регистрация: 24.09.2012 Сообщений: 46

	Метод вариации постоянных 06.12.2013, 22:54. Показов 2244. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Методом вариации постоянных проинтегрировать ЛНДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''-8y'+16y=\frac{{e}^{4x}}{{x}^{3}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''-8y'+16y=0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}^{2}-8k+16=0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{k}_{1,2}=4$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}_{o.o}={c}_{1}{e}^{4x}+{c}_{2}x{e}^{4x}$ Дальше идут затруднения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{y}=\frac{{e}^{4x}}{A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D}$ Если искать производные, то они очень объемные, а мне кажется это не есть хорошо 0

@tatiana4ka 34 / 34 / 4 Регистрация: 06.10.2010 Сообщений: 301
	06.12.2013, 23:16
	JwOw, а мне всегда казалось, что метод вариации, это когда приравниваем левую часть характеристического уравнения к 0, решаем, получаем y, а дальше составляем систему, когда наш y =0 y'= нашей правой части, находим С1 и С2... 0

@JwOw 1 / 1 / 1 Регистрация: 24.09.2012 Сообщений: 46
	06.12.2013, 23:45 [ТС]
	Если не ошибся $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y'=\frac{4{e}^{4x}{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}-{e}^{4x}{(3A{x}^{2}+2Bx+C)}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{2}}=\frac{4{e}^{4x}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}}-\frac{{e}^{4x}{(3A{x}^{2}+2Bx+C)}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{2}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y''=\frac{16{e}^{4x}{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}-4{e}^{4x}{(3A{x}^{2}+2Bx+C)}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{2}}-\frac{4{e}^{4x}{(3A{x}^{2}+Bx+C)}+{e}^{4x}{(6Ax+2B)}{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{2}-2{e}^{4x}{(3A{x}^{2}+2Bx+C)}^{2}{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{4}}=$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\frac{16{e}^{4x}}{A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D}-\frac{4{e}^{4x}{(3A{x}^{2}+2Bx+C)}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{2}}-\frac{4{e}^{4x}{(3A{x}^{2}+2Bx+C)}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{4}}-\frac{{e}^{4x}{(6Ax+2B)}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{2}}+\frac{2{e}^{4x}{(3A{x}^{2}+2Bx+C)}^{2}}{{(A{x}^{3}+B{x}^{2}+Cx+D)}^{3}}$ 0

@tatiana4ka 34 / 34 / 4 Регистрация: 06.10.2010 Сообщений: 301
	06.12.2013, 23:55
	Mysterious Light, не понимаю, зачем это делать... я делала так $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=C_1 e^{4x} +C_2 xe^{4x}$ составим систему $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C'_1 e^{4x} +C'_2 xe^{4x} =0$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4C'_1 e^{4x} +4C'_2 xe^{4x} +C'_2 e^{4x} =\frac{e^{4x}}{x^3}$ решаем систему Крамером, получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C'_1 = -\frac{1}{x^2}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_1= \frac{1}{x}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C'_2 = \frac{1}{x^3}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C_2 = -\frac{1}{2x^2}$ и в итоге получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=C_1 e^{4x} + C_2 xe^{4x} + \frac{e^{4x}}{x} +\frac{xe^{4x}}{-2x^2}$ 2

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4310 / 2102 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,184 Записей в блоге: 24
	07.12.2013, 00:59
	Спасибо, Том Ардер: написал сначала ответ, потом перечитал вопрос и заменил «считая c1 и c2...» на «считая все параметры...». затем начал думать: откуда последняя формула, неужели так я забыл, как задачи решаются, что не понимаю этого? И решил больше не соваться в эту тему. 0