Телесный угол при вершине пирамиды - Геометрия - Страница 2

@kalabrod · 22.11.2015, 17:35

Если я правильно понял, перпендикуляры и диагональ основания лежат в плоскости основания. С диагональю все ясно корень(2^2+2^2), а вот как найти длину перпендикуляров (они очевидно равны между собой)?

@palva · 22.11.2015, 18:08

Сообщение от kalabrod

лежат в плоскости основания

Нет. В плоскости соответствующих боковых граней. Длина находится через площадь боковой грани. Они равны площади деленной на боковую сторону умножить на 2.

@kalabrod · 22.11.2015, 18:36

Совсем приуныл

Не понимаю без рисунка, что это за угол..(

@Nacuott · 22.11.2015, 18:46

kalabrod, кто ТС, что Вы встряли в чужую тему?

@kalabrod · 22.11.2015, 20:49

palva, объясните, пожалуйста поподробнее откуда куда опустить перпендикуляры на моем рисунке? И правильно ли я себе представляю отсекаемую поверхность?

@palva · 22.11.2015, 22:50

Из точек A и C на прямую QB. Эти перпендикуляры равны.

Добавлено через 37 секунд
Правильно представляете.

@kalabrod · 23.11.2015, 09:38

Таак, хорошо. Получил угол чуть больше 90 градусов (пирамида достаточно острая), если быть точным 90,46 градусов (1,58 радиан). Как теперь преобразовать его в телесный угол?

@palva · 23.11.2015, 11:17

В градусы неверно перевели, да и незачем было переводить. Теперь складываете эти 4 угла (умножаете на 4) вычитаете 2 пи, получаете сферический избыток. Это и есть величина угла (в стерадианах). Формально вы должны избыток умножить на квадрат радиуса, чтобы получить площадь, потом площадь снова разделить на квадрат радиуса, чтобы найти угол.

Добавлено через 3 минуты
1.5809*4-3.1416=3.182

@kalabrod · 23.11.2015, 11:26

Сообщение от palva

В градусы неверно перевели

Переводил в экселе 1,578875158 радиан * 180/пи. Так вычитать все же пи или 2пи?
Если 2 пи, то получается 0,032315324 стерадиан. Похоже на правду..
Угол 1,578875158 получился в случае неправильной пирамиды с основанием 11х12 мм и высотой 329мм

@palva · 23.11.2015, 11:31

Угол между гранями arccos(-1/99)=1.5809
Вычитать сумму углов плоского многоугольника с таким же числом вершин, то есть 2 пи.

@kalabrod · 23.11.2015, 11:34

Спасибо огромное, вроде разобрался.

@palva · 23.11.2015, 16:35

Только сейчас сообразил, что сначала у вас в основании пирамиды был квадрат, а потом прямоугольник. Для второго случая мой совет был неправильным. Если вы опустите перпендикуляры из противоположных вершин основания, они не упадут на одну и ту же точку бокового ребра. Основания перпендикуляров будут близки, поскольку прямоугольник почти квадрат (11х12 мм). Так что ответ будет почти что правильным. Но предъявлять такое решение преподавателю нельзя. Наверно быстрее всего найти угол между гранями можно по теореме косинусов для сферического треугольника. Для ее применения требуется знать углы между ребрами (три угла) этими углами измеряются три стороны сферического треугольника. Ну а если элементарными методами, то надо сделать те же дополнительные построения который делает Погорелов при доказательстве теоремы косинусов для трехгранного угла (у него это так называется) в своей книжке Элементарная геометрия. Или в интернете поискать.

@kalabrod · 23.11.2015, 20:53

Сообщение от palva

они не упадут на одну и ту же точку

Да, я упустил этот момент.. Задача усложнилась, надо дальше разбираться

Сообщение от palva

требуется знать углы между ребрами (три угла)

Поясните, пожалуйста, что это за углы (на моем рисунке)?

@palva · 23.11.2015, 21:05

Углы AQB BQC CQA. Дуги этих углов образуют на сфере треугольник. То есть в треугольнике все стороны известны, надо определить угол треугольника.

Добавлено через 1 минуту
Это и будет угол между гранями возле ребра QA.

@kalabrod · 23.11.2015, 21:30

Сообщение от palva

в треугольнике все стороны известны

не для меня)
Стороны сферического треугольника - это дуги, верно?
Теоремы косинусов для сферического треугольника со сторонами a, b, c и углами A, B, C имеют следующий вид:
cos c= cos a cos b + sin a sin b cos C,
cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a.
В теореме cos a, например, - это косинус дуги? это как вообще?

@palva · 23.11.2015, 21:46

Вторая строчка это та же теорема косинусов, только для треугольника полярного данному. Нужно использовать первую строчку.
Исходим из cos c= cos a cos b + sin a sin b cos C
a, b, c известны, поэтому можно найти cos C.
Сами a, b, c находить не надо. Пользуясь плоской теоремой косинусов мы сначала получаем их косинус, а из него синус соответствующих углов (дуг сферического треугольника).

Сообщение от kalabrod

В теореме cos a, например, - это косинус дуги? это как вообще?

Дуга измеряется ее центральным углом, то есть это косинус угла между боковыми ребрами пирамиды.

@kalabrod · 23.11.2015, 22:20

Высчитал. У пирамиды же все ребра равны, если в основании прямоугольник?
Конечно, углы практически не отличаются (от предыдущего результата), но мне главное было понять методику. Не помню, чтобы до этого сталкивался со сферической геометрией. Спасибо большое! Уже хотя бы за отсутствие неуместного тролинга, как от "профессора" выше по теме

@palva · 23.11.2015, 22:22

Сообщение от kalabrod

У пирамиды же все ребра равны, если в основании прямоугольник?

Конечно. И все углы между боковыми гранями тоже равны.

@kalabrod · 21.12.2015, 20:52

А как решается эта задача в случае, если центр сферы (вершину телесного угла) сместить на 45градусов как на рисунке?
Предполагаю, что телесный угол тогда будет в форме сферической равнобедренной трапеции (на рисунке в прикрепленном файле) , тогда как найти этот телесный угол, описывающий исходный прямоугольник?
Некоторые свои наброски прикрепил, но очень не уверен в их корректности.

@palva · 21.12.2015, 22:45

kalabrod, вам, наверно, в соответствии с правилами стоит создать отдельную тему с этим вопросом. Тогда ее прочитает гораздо больше людей.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Свет внутри себя kumehtar 07.06.2026 Пусть это будет здесь lIs4oanZS9Y	Программа для com-порта Uhbif79 05.06.2026 Всем привет, давно хотел изучить Qt, начинал, бросал, потом снова начинал. И сейчас вот смог написать свою первую программу. До этого имел опыт программирования микроконтроллеров, писал прошивки на. . .	Транскрипция 55-минутного видео через Whisper: WhisperDesktop облажался, спас Google Colab[ anaschu 01.06.2026 Понадобилось получить текст из свежезагруженного видео на YouTube. Казалось бы, задача на пять минут. Заняла полтора часа. Делюсь опытом — может кому пригодится последовательность решений. . . .	21 мат мед. Планы на развитие модели здравоСохранения anaschu 01.06.2026 AnyLogic: план развития симуляционной модели рабочего коллектива — динамический абсентеизм, реальные данные, три сценария сравнения Продолжаю серию постов о дискретно-событийной модели рабочего. . .
20. Мат мед. Абсентеизм как отдельный тип простоя anaschu 29.05.2026 Апдейт модели: исправленные баги, абсентеизм и новые механизмы Продолжаю развивать ранее описанную модель рабочего коллектива на AnyLogic. За последние несколько дней был проведён серьёзный. . .	19. здоровье, усталость и психотип работника влияют на производительность предприятия, и наоборот, производительность на здоровье, усталось и психотип anaschu 28.05.2026 Дискретно-событийная модель рабочего коллектива на AnyLogic: здоровье, выгорание, психотипы и микростимуляция Привет, коллеги. Хочу поделиться итогами нескольких недель работы над симуляционной. . .	"Прокси" для последовательного порта Eddy_Em 28.05.2026 Эту штуку написал я достаточно давно. Но сейчас вот понадобилось настроить датчик грозы, но при этом не отключать его от "метеодемона". Соответственно, надо запустить этот "прокси": метеодемон будет. . .	Рефакторинг программы уравнивания. Massaraksh7 26.05.2026 Пример по предыдущей записи в блоге. Но, надо заметить, что, во-первых, там оптимизация не только математики, но и работы с базой данных, и с графами, а во-вторых, это ещё не всё.

@kalabrod 0 / 0 / 0 Регистрация: 13.02.2015 Сообщений: 40
	22.11.2015, 17:35
	Если я правильно понял, перпендикуляры и диагональ основания лежат в плоскости основания. С диагональю все ясно корень(2^2+2^2), а вот как найти длину перпендикуляров (они очевидно равны между собой)? 0

@kalabrod 0 / 0 / 0 Регистрация: 13.02.2015 Сообщений: 40
	22.11.2015, 18:36
	Совсем приуныл Не понимаю без рисунка, что это за угол..( 0

@Nacuott 1848 / 1039 / 193 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,147 Записей в блоге: 12
	22.11.2015, 18:46
	kalabrod, кто ТС, что Вы встряли в чужую тему? 0

@kalabrod 0 / 0 / 0 Регистрация: 13.02.2015 Сообщений: 40
	22.11.2015, 20:49
	palva, объясните, пожалуйста поподробнее откуда куда опустить перпендикуляры на моем рисунке? И правильно ли я себе представляю отсекаемую поверхность? Миниатюры 0

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,931 Записей в блоге: 5
	22.11.2015, 22:50
	Из точек A и C на прямую QB. Эти перпендикуляры равны. Добавлено через 37 секунд Правильно представляете. 1

@kalabrod 0 / 0 / 0 Регистрация: 13.02.2015 Сообщений: 40
	23.11.2015, 09:38
	Таак, хорошо. Получил угол чуть больше 90 градусов (пирамида достаточно острая), если быть точным 90,46 градусов (1,58 радиан). Как теперь преобразовать его в телесный угол? 0

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,931 Записей в блоге: 5
	23.11.2015, 11:17
	В градусы неверно перевели, да и незачем было переводить. Теперь складываете эти 4 угла (умножаете на 4) вычитаете 2 пи, получаете сферический избыток. Это и есть величина угла (в стерадианах). Формально вы должны избыток умножить на квадрат радиуса, чтобы получить площадь, потом площадь снова разделить на квадрат радиуса, чтобы найти угол. Добавлено через 3 минуты 1.5809*4-3.1416=3.182 1

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,931 Записей в блоге: 5
	23.11.2015, 11:31
	Угол между гранями arccos(-1/99)=1.5809 Вычитать сумму углов плоского многоугольника с таким же числом вершин, то есть 2 пи. 1

@kalabrod 0 / 0 / 0 Регистрация: 13.02.2015 Сообщений: 40
	23.11.2015, 11:34
	Спасибо огромное, вроде разобрался. 0

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,931 Записей в блоге: 5
	23.11.2015, 16:35
	Только сейчас сообразил, что сначала у вас в основании пирамиды был квадрат, а потом прямоугольник. Для второго случая мой совет был неправильным. Если вы опустите перпендикуляры из противоположных вершин основания, они не упадут на одну и ту же точку бокового ребра. Основания перпендикуляров будут близки, поскольку прямоугольник почти квадрат (11х12 мм). Так что ответ будет почти что правильным. Но предъявлять такое решение преподавателю нельзя. Наверно быстрее всего найти угол между гранями можно по теореме косинусов для сферического треугольника. Для ее применения требуется знать углы между ребрами (три угла) этими углами измеряются три стороны сферического треугольника. Ну а если элементарными методами, то надо сделать те же дополнительные построения который делает Погорелов при доказательстве теоремы косинусов для трехгранного угла (у него это так называется) в своей книжке Элементарная геометрия. Или в интернете поискать. 0

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,931 Записей в блоге: 5
	23.11.2015, 21:05
	Углы AQB BQC CQA. Дуги этих углов образуют на сфере треугольник. То есть в треугольнике все стороны известны, надо определить угол треугольника. Добавлено через 1 минуту Это и будет угол между гранями возле ребра QA. 0

@kalabrod 0 / 0 / 0 Регистрация: 13.02.2015 Сообщений: 40
	23.11.2015, 22:20
	Высчитал. У пирамиды же все ребра равны, если в основании прямоугольник? Конечно, углы практически не отличаются (от предыдущего результата), но мне главное было понять методику. Не помню, чтобы до этого сталкивался со сферической геометрией. Спасибо большое! Уже хотя бы за отсутствие неуместного тролинга, как от "профессора" выше по теме 0

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,931 Записей в блоге: 5
	21.12.2015, 22:45
	kalabrod, вам, наверно, в соответствии с правилами стоит создать отдельную тему с этим вопросом. Тогда ее прочитает гораздо больше людей. 0