Координаты центра описанной окружности

@gehh · Регистрация: 01.04.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Задан треугольник координатами своих вершин.
и вокруг треугольника описана окружность. (смотрите рисунок)
Требуется определить координаты центра этой окружности.
Решение:
Уравнение окружности имеет вид:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 $
где a и b - искомые координаты центра окружности
R - радиус окружности (но он нам не потребуется)
Координаты вершин треугольника принадлежат этой окружности
обозначим их как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x_1 , y_1 , x_2 , y_2 , x_3 , y_3$
подставляя эти координаты в уравнение окружности, получим
систему уравнений
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \left. {\begin{array} {(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 = R^2 } \\ {(x_2 - a)^2 + (y_2 - b)^2 = R^2 } \\ {(x_3 - a)^2 + (y_3 - b)^2 = R^2 } \\ \end{array}} \right\} $
Решим эту систему:
вычитая из первого уравнения второе и из первого третье получим:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \left. {\begin{array} {2(x_1 - x_2 )a + 2(y_1 - y_2 )b = (x_1^2 - x_2^2 ) + (y_1^2 - y_2^2 )} \\ {2(x_1 - x_3 )a + 2(y_1 - y_3 )b = (x_1^2 - x_3^2 ) + (y_1^2 - y_3^2 )} \\ \end{array}} \right\} $
Итак мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
она решается элементарными методами, для сокращения записи
введем следующие обозначения
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \begin{array}{l} x_{12} = x_1 - x_2 \\ x_{23} = x_2 - x_3 \\ x_{31} = x_3 - x_1 \\ y_{12} = y_1 - y_2 \\ y_{23} = y_2 - y_3 \\ y_{31} = y_3 - y_1 \\ z_1 = x_1^2 + y_1^2 \\ z_2 = x_2^2 + y_2^2 \\ z_3 = x_3^2 + y_3^2 \\ \end{array} $
теперь система выглядит совсем просто
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \left. {\begin{array} {2x_{12} a + 2y_{12} b = z_1 - z_2 } \\ {2x_{31} a + 2y_{31} b = z_3 - z_1 } \\ \end{array}} \right\} $
решая ее, получим координаты центра окружности
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \left. \begin{array}{l} a = - \frac{{z_x }}{{2z}} \\ b = \frac{{z_y }}{{2z}} \\ \end{array} \right\} $
где
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \begin{array}{l} z_x = y_{12} z_3 + y_{23} z_1 + y_{31} z_2 \\ z_y = x_{12} z_3 + x_{23} z_1 + x_{31} z_2 \\ z = x_{12} y_{31} - y_{12} x_{31} \\ \end{array} $
Успехов вам всем!

@kabenyuk · 27.05.2014, 18:32

Что-то сложновато. Известно, что уравнение окружности при известных координатах вершин записывается следующей красивой формулой (для продвинутых школьников).
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \begin{vmatrix}x^2+y^2 & x & y &1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 &y_1 &1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 &y_2 &1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 &y_3 &1 \end{vmatrix}. $

@gehh · 28.05.2014, 14:47 **[ТС]**

Спасибо вам за формулу. Я такой не знал.
Если приравнять этот детерминант нулю, то точно
будет окружность, проходящая через три заданные точки.
С другой стороны эта формула должна дать точно такой же
ответ, что и мой. Однако ещё раз вам Большое Спасибо!!

@tarasso · 28.05.2014, 15:38

Интересно, можно эту формулу модифицировать, если треугольник задан в пространстве координатами своих вершин, т.е.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}_{1}(x1;y1;z1)\\{A}_{2}(x2;y2;z2)\\{A}_{3}(x3;y3;z3)$

@gehh · 28.05.2014, 15:55 **[ТС]**

Вы задали очень хороший вопрос. Я правда над этим не
задумывался. Но после вашего вопроса подумал. Что если
взять уравнение Сферы, подставить в неё координаты
заданных точек и получить систему из трёх линейных
уравнений с тремя неизвестными. Третье уравнение дадут
заданные точки (это уравнение плоскости в которой лежит треугольник).
В общем все должно решаться. Тут принципиально сложного ничего нет.
Есть несколько громоздкие выкладки, но главное не ошибиться и все
получится.
Попробуйте. Удачи вам!

@Somebody · 28.05.2014, 17:58

Альтернативное начало: центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, отсюда 3 скалярных произведения равны нулю:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left{\left(A_2-A_1\right)\left(P-\frac{A_1+A_2}{2}\right)=0\\\left(A_3-A_2\right)\left(P-\frac{A_2+A_3}{2}\right)=0\\\left(A_3-A_1\right)\left(P-\frac{A_3+A_1}{2}\right)=0\right.\\\left{\left(A_2-A_1\right)P=\frac{A_1+A_2}{2}\\\left(A_3-A_2\right)P=\frac{A_2+A_3}{2}\\\left(A_3-A_1\right)P=\frac{A_3+A_1}{2}\right.$
И в 2D, и в 3D. Если 2-е уравнение выкинуть, получается то же, что в 1-м посте.

@gehh · 28.05.2014, 18:10 **[ТС]**

Я восхищен вами!! Я что-то подобное сначала попробовал, но
не стал ломать голову и выбрал как мне казалось самый оптимальный
вариант. Теперь я вижу, Вы очень чётко изложили суть, - Классное решение!!
Спасибо вам за АЛЬТЕРНАТИВНОЕ решение. Кто бы мог подумать!!
Удачи вам!

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .	Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .	Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .

@gehh 159 / 104 / 124 Регистрация: 01.04.2014 Сообщений: 466 Записей в блоге: 7

	Координаты центра описанной окружности 27.05.2014, 16:53. Показов 91332. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Задан треугольник координатами своих вершин. и вокруг треугольника описана окружность. (смотрите рисунок) Требуется определить координаты центра этой окружности. Решение: Уравнение окружности имеет вид: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 <br />$ где a и b - искомые координаты центра окружности R - радиус окружности (но он нам не потребуется) Координаты вершин треугольника принадлежат этой окружности обозначим их как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? x_1 , y_1 , x_2 , y_2 , x_3 , y_3$ подставляя эти координаты в уравнение окружности, получим систему уравнений $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \left. {\begin{array}<br /> {(x_1 - a)^2 + (y_1 - b)^2 = R^2 } \\<br /> {(x_2 - a)^2 + (y_2 - b)^2 = R^2 } \\<br /> {(x_3 - a)^2 + (y_3 - b)^2 = R^2 } \\<br /> \end{array}} \right\}<br />$ Решим эту систему: вычитая из первого уравнения второе и из первого третье получим: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \left. {\begin{array}<br /> {2(x_1 - x_2 )a + 2(y_1 - y_2 )b = (x_1^2 - x_2^2 ) + (y_1^2 - y_2^2 )} \\<br /> {2(x_1 - x_3 )a + 2(y_1 - y_3 )b = (x_1^2 - x_3^2 ) + (y_1^2 - y_3^2 )} \\<br /> \end{array}} \right\}<br />$ Итак мы получили систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными она решается элементарными методами, для сокращения записи введем следующие обозначения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{array}{l}<br /> x_{12} = x_1 - x_2 \\ <br /> x_{23} = x_2 - x_3 \\ <br /> x_{31} = x_3 - x_1 \\ <br /> y_{12} = y_1 - y_2 \\ <br /> y_{23} = y_2 - y_3 \\ <br /> y_{31} = y_3 - y_1 \\ <br /> z_1 = x_1^2 + y_1^2 \\ <br /> z_2 = x_2^2 + y_2^2 \\ <br /> z_3 = x_3^2 + y_3^2 \\ <br /> \end{array}<br />$ теперь система выглядит совсем просто $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \left. {\begin{array}<br /> {2x_{12} a + 2y_{12} b = z_1 - z_2 } \\<br /> {2x_{31} a + 2y_{31} b = z_3 - z_1 } \\<br /> \end{array}} \right\}<br />$ решая ее, получим координаты центра окружности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \left. \begin{array}{l}<br /> a = - \frac{{z_x }}{{2z}} \\ <br /> b = \frac{{z_y }}{{2z}} \\ <br /> \end{array} \right\}<br />$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{array}{l}<br /> z_x = y_{12} z_3 + y_{23} z_1 + y_{31} z_2 \\ <br /> z_y = x_{12} z_3 + x_{23} z_1 + x_{31} z_2 \\ <br /> z = x_{12} y_{31} - y_{12} x_{31} \\ <br /> \end{array}<br />$ Успехов вам всем! Миниатюры 2

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4182 / 3052 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	27.05.2014, 18:32
	Что-то сложновато. Известно, что уравнение окружности при известных координатах вершин записывается следующей красивой формулой (для продвинутых школьников). $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?<br /> \begin{vmatrix}x^2+y^2 & x & y &1 \\ x_1^2+y_1^2 & x_1 &y_1 &1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 &y_2 &1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 &y_3 &1 \end{vmatrix}.<br />$ 1

@gehh 159 / 104 / 124 Регистрация: 01.04.2014 Сообщений: 466 Записей в блоге: 7
	28.05.2014, 14:47 [ТС]
	Спасибо вам за формулу. Я такой не знал. Если приравнять этот детерминант нулю, то точно будет окружность, проходящая через три заданные точки. С другой стороны эта формула должна дать точно такой же ответ, что и мой. Однако ещё раз вам Большое Спасибо!! 0

@tarasso 749 / 460 / 50 Регистрация: 13.05.2012 Сообщений: 963
	28.05.2014, 15:38
	Интересно, можно эту формулу модифицировать, если треугольник задан в пространстве координатами своих вершин, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{A}_{1}(x1;y1;z1)\\{A}_{2}(x2;y2;z2)\\{A}_{3}(x3;y3;z3)$ 1

@gehh 159 / 104 / 124 Регистрация: 01.04.2014 Сообщений: 466 Записей в блоге: 7
	28.05.2014, 15:55 [ТС]
	Вы задали очень хороший вопрос. Я правда над этим не задумывался. Но после вашего вопроса подумал. Что если взять уравнение Сферы, подставить в неё координаты заданных точек и получить систему из трёх линейных уравнений с тремя неизвестными. Третье уравнение дадут заданные точки (это уравнение плоскости в которой лежит треугольник). В общем все должно решаться. Тут принципиально сложного ничего нет. Есть несколько громоздкие выкладки, но главное не ошибиться и все получится. Попробуйте. Удачи вам! 0

@Somebody 2838 / 1647 / 254 Регистрация: 03.12.2007 Сообщений: 4,222
	28.05.2014, 17:58
	Сообщение было отмечено gehh как решение Решение Альтернативное начало: центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, отсюда 3 скалярных произведения равны нулю: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left{\left(A_2-A_1\right)\left(P-\frac{A_1+A_2}{2}\right)=0\\\left(A_3-A_2\right)\left(P-\frac{A_2+A_3}{2}\right)=0\\\left(A_3-A_1\right)\left(P-\frac{A_3+A_1}{2}\right)=0\right.\\\left{\left(A_2-A_1\right)P=\frac{A_1+A_2}{2}\\\left(A_3-A_2\right)P=\frac{A_2+A_3}{2}\\\left(A_3-A_1\right)P=\frac{A_3+A_1}{2}\right.$ И в 2D, и в 3D. Если 2-е уравнение выкинуть, получается то же, что в 1-м посте. 1

@gehh 159 / 104 / 124 Регистрация: 01.04.2014 Сообщений: 466 Записей в блоге: 7
	28.05.2014, 18:10 [ТС]
	Я восхищен вами!! Я что-то подобное сначала попробовал, но не стал ломать голову и выбрал как мне казалось самый оптимальный вариант. Теперь я вижу, Вы очень чётко изложили суть, - Классное решение!! Спасибо вам за АЛЬТЕРНАТИВНОЕ решение. Кто бы мог подумать!! Удачи вам! 0