Найти касательные плоскости к поверхности, которые параллельны данной плоскости

@gr132 · Регистрация: 31.10.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

2) Найти те касательные плоскости к поверхности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4x^2+6y^2+4z^2+4xz-8y-4z+3=0$ , которые параллельны плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x+2y+z=0$ .

@jogano · 28.08.2017, 14:02

Для поверхности F(x;y;z)=0 нормальный вектор к ней в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\left(x_0;y_0;z_0 \right)$ имеет вид
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(\frac{\partial F}{\partial x}; \frac{\partial F}{\partial y};\frac{\partial F}{\partial z}\right)}_A$
1) Находите частные производные в неизвестной точка касания А, получаете вектор с линейными выражениями через координаты точки А, которые не известны пока. Дальше,
2) нормальный вектор искомой плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(1;2;1 \right)}$ должен быть не просто равен вышенаписанному нормальному вектору поверхности, а параллелен ему, т.е. у этих двух векторов должны быть пропорциональные координаты. Получаете систему:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\frac{\partial F}{\partial y}_A=2\frac{\partial F}{\partial x}_A \\ \frac{\partial F}{\partial z}_A=\frac{\partial F}{\partial x}_A \end{cases}$
3) Выражаете из этой системы координаты y₀ и z₀ через х₀ - искомые координаты через одну. И эта точка должна лежать на данной поверхности, т.е. эти координаты должны удовлетворять уравнение вашей поверхности.
4) Подставляете эти три координаты, выраженные через х₀, в уравнение поверхности, упрощаете и сводите к квадратному уравнению $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?12x_0^2+8x_0+1=0 \: \Rightarrow \: x_0 \in \left{-\frac{1}{2};-\frac{1}{6} \right}$
5) Подставляете поочерёдно полученные значения х₀ в выражения, найденные в пункте 3), получаете две искомые точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{3};\frac{1}{2}\right); \: \left(-\frac{1}{6}; 1;\frac{5}{6}\right)$
6) Для проверки подставьте каждую найденную тройку в выражение из пункта 1) для частной производной, получите соответственно векторы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(-2;-4;-2\right)}; \: \bar{\left(2;4;2\right)}$ , которые параллельны нормальному вектору данной плоскости, как и должно быть по условию.

@Nacuott · 28.08.2017, 21:37

Точки га эллипсоиде, через которые проводятся касательные плоскости можно найти проще:
- найти векторное произведение градиента и нормального вектора заданной плоскости,
затем решить систему из трех уравнений, одно из которых, уравнение заданного эллипсоида.
Решив систему получим две точки на эллипсоиде, через которые легко провести касательные плоскости.

@Nacuott · 29.08.2017, 10:52

С применением векторного произведения делается так. см.картинку.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .	Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .	Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .

@gr132 0 / 0 / 1 Регистрация: 31.10.2016 Сообщений: 45

	Найти касательные плоскости к поверхности, которые параллельны данной плоскости 28.08.2017, 12:31. Показов 6891. Ответов 3 Метки нет (Все метки) 2) Найти те касательные плоскости к поверхности $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4x^2+6y^2+4z^2+4xz-8y-4z+3=0$ , которые параллельны плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x+2y+z=0$ . 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	28.08.2017, 14:02
	Для поверхности F(x;y;z)=0 нормальный вектор к ней в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\left(x_0;y_0;z_0 \right)$ имеет вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(\frac{\partial F}{\partial x}; \frac{\partial F}{\partial y};\frac{\partial F}{\partial z}\right)}_A$ 1) Находите частные производные в неизвестной точка касания А, получаете вектор с линейными выражениями через координаты точки А, которые не известны пока. Дальше, 2) нормальный вектор искомой плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(1;2;1 \right)}$ должен быть не просто равен вышенаписанному нормальному вектору поверхности, а параллелен ему, т.е. у этих двух векторов должны быть пропорциональные координаты. Получаете систему: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}\frac{\partial F}{\partial y}_A=2\frac{\partial F}{\partial x}_A \\ \frac{\partial F}{\partial z}_A=\frac{\partial F}{\partial x}_A \end{cases}$ 3) Выражаете из этой системы координаты y₀ и z₀ через х₀ - искомые координаты через одну. И эта точка должна лежать на данной поверхности, т.е. эти координаты должны удовлетворять уравнение вашей поверхности. 4) Подставляете эти три координаты, выраженные через х₀, в уравнение поверхности, упрощаете и сводите к квадратному уравнению $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?12x_0^2+8x_0+1=0 \: \Rightarrow \: x_0 \in \left{-\frac{1}{2};-\frac{1}{6} \right}$ 5) Подставляете поочерёдно полученные значения х₀ в выражения, найденные в пункте 3), получаете две искомые точки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\frac{1}{2}; \frac{1}{3};\frac{1}{2}\right); \: \left(-\frac{1}{6}; 1;\frac{5}{6}\right)$ 6) Для проверки подставьте каждую найденную тройку в выражение из пункта 1) для частной производной, получите соответственно векторы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(-2;-4;-2\right)}; \: \bar{\left(2;4;2\right)}$ , которые параллельны нормальному вектору данной плоскости, как и должно быть по условию. 2

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	28.08.2017, 21:37
	Точки га эллипсоиде, через которые проводятся касательные плоскости можно найти проще: - найти векторное произведение градиента и нормального вектора заданной плоскости, затем решить систему из трех уравнений, одно из которых, уравнение заданного эллипсоида. Решив систему получим две точки на эллипсоиде, через которые легко провести касательные плоскости. 1

@Nacuott 1833 / 1027 / 192 Регистрация: 24.02.2013 Сообщений: 3,084 Записей в блоге: 12
	29.08.2017, 10:52
	С применением векторного произведения делается так. см.картинку. Миниатюры 2