Провести касательные плоскости к эллипсоиду

@sunjan · Регистрация: 02.04.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Разбираю такую задачу:Провести касательные плоскости к эллипсоиду $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4{x}^{2}+16{y}^{2}+8{z}^{2}=1$ параллельно плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-2y+2z+17=0$ ; вычислить расстояние между найденными плоскостями.
В решении написано:Ищем касательную плоскости в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-2y+2z+D=0$ .Выражаем х и подставляем в уравнение эллипсоида,получаем такое выражение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?32{y}^{2}-32yz+24{z}^{2}-16yD+16zD+4{D}^{2}-1=0$ .Дальше обозначают: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?32{y}^{2}=A; -32yz=B;24{z}^{2}=C;-16yD=D;16zD=E;4{D}^{2}-1=F$ .Считают три определителя $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\begin{vmatrix} A& B\\ B& C\end{vmatrix}=512$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\begin{vmatrix} B& D\\ C& E\end{vmatrix}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\begin{vmatrix} D& A\\ E& B\end{vmatrix}$ .Я не понимаю откуда они берутся,объясните пожалуйста.

Добавлено через 6 минут
вот этот сайт http://a-geometry.narod.ru/dec... 6/1167.jpg

@palva · 14.06.2014, 10:45

Мне тоже непонятно, откровенно говоря. Но зачем вам это? Решите задачу теми способами, которые предлагает Клетеник в начале главы. Сожмите пространство по двум направлениям, проведите касательную плоскость к шару и преобразуйте пространство обратно.

@palva · 07.06.2020, 10:04

sunjan, Заглянул по ссылке. Вы очень неправильно оттуда переписали. Нужно А = 32, B = -16 и т. д. Тогда все становится понятным.
Логика здесь такая: объединяя уравнение поверхности и уравнение плоскости вы получаете систему уравнений, которая определяет пространственную кривую, по которой пересекаются поверхность и плоскость. Для касания это пересечение должно представлять из себя точку. Исключая из системы x, вы получаете уравнение проекции этой кривой на плоскость Oyz. Это тоже должна быть точка, из этого условия вы должны определить D. Дальше в решении применяется общая теория кривых второго порядка, которая излагается во многих учебниках, и которую вы скорее всего не проходили. Использовать ее для решения задачи вам, наверно, не позволят. Без этой теории продолжить решение задачи можно, но будет много писанины.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?32y^2-32yz+24z^2-16Dy+16Dz+4D^2=1;$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?32\left(y^2-2y\cdot \frac{1}{2}z+\frac{1}{4}z^2\right)-8z^2+24z^2-16Dy+16Dz+4D^2=1;$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?32\left(y-\frac{1}{2}z\right)^2+16z^2-16Dy+16Dz+4D^2=1;$ Обозначаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=y-\frac{1}{2}z.$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?32u^2+16z^2-16uD+8Dz+4D^2=1;$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?32\left(u^2-2u\cdot \frac{1}{4}D+\frac{1}{16}D^2\right)-2D^2+16\left(z^2+2z\cdot\frac{1}{4}D+\frac{1}{16}D^2\right)-D^2+4D^2=1;$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?32\left(u-\frac{1}{4}D\right)^2+16\left(z+\frac{1}{4}D\right)^2=1-D^2.$ Для того, чтобы плоскость пересекалась с эллипсоидом по одной точке, то есть была касательной, нужно, чтобы это уравнение определяло единственную точку на плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Oyz,$ а это бывает, когда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-D^2=0$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D=\pm1.$ . В итоге в ответе будут две плоскости
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-2y+2z+1=0$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-2y+2z-1=0.$

@kabenyuk · 08.06.2020, 15:34

palva, этой теме 6 лет. ТС уже закончил учебу и трудится где-нибудь. Хотя быть может пригодится новым поколениям студентов.

@palva · 08.06.2020, 15:54

Не по теме:

Сообщение от kabenyuk

ТС уже закончил учебу и трудится где-нибудь

А может и в армии уже отслужил. :) Конечно же, для новых поколений. А то поиск по форуму часто приводит к темам, которые идейно начаты, но окончательное решение не выложено. Чем больше будет законченных полезных веток, тем лучше.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11680&d=1772460536 Одним из. . .	Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка библиотек: SDL3, Box2D, FreeType, SDL3_ttf, SDL3_mixer и SDL3_image из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .

@sunjan 12 / 7 / 7 Регистрация: 02.04.2014 Сообщений: 342

	Провести касательные плоскости к эллипсоиду 13.06.2014, 05:43. Показов 3613. Ответов 4 Метки нет (Все метки) Разбираю такую задачу:Провести касательные плоскости к эллипсоиду $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4{x}^{2}+16{y}^{2}+8{z}^{2}=1$ параллельно плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-2y+2z+17=0$ ; вычислить расстояние между найденными плоскостями. В решении написано:Ищем касательную плоскости в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-2y+2z+D=0$ .Выражаем х и подставляем в уравнение эллипсоида,получаем такое выражение: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?32{y}^{2}-32yz+24{z}^{2}-16yD+16zD+4{D}^{2}-1=0$ .Дальше обозначают: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?32{y}^{2}=A; -32yz=B;24{z}^{2}=C;-16yD=D;16zD=E;4{D}^{2}-1=F$ .Считают три определителя $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\begin{vmatrix} A& B\\ B& C\end{vmatrix}=512$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\begin{vmatrix} B& D\\ C& E\end{vmatrix}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?z=\begin{vmatrix} D& A\\ E& B\end{vmatrix}$ .Я не понимаю откуда они берутся,объясните пожалуйста. Добавлено через 6 минут вот этот сайт http://a-geometry.narod.ru/dec... 6/1167.jpg 0

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,930 Записей в блоге: 5
	14.06.2014, 10:45
	Мне тоже непонятно, откровенно говоря. Но зачем вам это? Решите задачу теми способами, которые предлагает Клетеник в начале главы. Сожмите пространство по двум направлениям, проведите касательную плоскость к шару и преобразуйте пространство обратно. 1

@palva 4278 / 2970 / 693 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,930 Записей в блоге: 5
	07.06.2020, 10:04
	sunjan, Заглянул по ссылке. Вы очень неправильно оттуда переписали. Нужно А = 32, B = -16 и т. д. Тогда все становится понятным. Логика здесь такая: объединяя уравнение поверхности и уравнение плоскости вы получаете систему уравнений, которая определяет пространственную кривую, по которой пересекаются поверхность и плоскость. Для касания это пересечение должно представлять из себя точку. Исключая из системы x, вы получаете уравнение проекции этой кривой на плоскость Oyz. Это тоже должна быть точка, из этого условия вы должны определить D. Дальше в решении применяется общая теория кривых второго порядка, которая излагается во многих учебниках, и которую вы скорее всего не проходили. Использовать ее для решения задачи вам, наверно, не позволят. Без этой теории продолжить решение задачи можно, но будет много писанины. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?32y^2-32yz+24z^2-16Dy+16Dz+4D^2=1;$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?32\left(y^2-2y\cdot \frac{1}{2}z+\frac{1}{4}z^2\right)-8z^2+24z^2-16Dy+16Dz+4D^2=1;$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?32\left(y-\frac{1}{2}z\right)^2+16z^2-16Dy+16Dz+4D^2=1;$ Обозначаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=y-\frac{1}{2}z.$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?32u^2+16z^2-16uD+8Dz+4D^2=1;$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?32\left(u^2-2u\cdot \frac{1}{4}D+\frac{1}{16}D^2\right)-2D^2+16\left(z^2+2z\cdot\frac{1}{4}D+\frac{1}{16}D^2\right)-D^2+4D^2=1;$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?32\left(u-\frac{1}{4}D\right)^2+16\left(z+\frac{1}{4}D\right)^2=1-D^2.$ Для того, чтобы плоскость пересекалась с эллипсоидом по одной точке, то есть была касательной, нужно, чтобы это уравнение определяло единственную точку на плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?Oyz,$ а это бывает, когда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-D^2=0$ или $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?D=\pm1.$ . В итоге в ответе будут две плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-2y+2z+1=0$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x-2y+2z-1=0.$ 0

@kabenyuk $Эксперт по математике/физике$ 4182 / 3052 / 918 Регистрация: 19.11.2012 Сообщений: 6,196
	08.06.2020, 15:34
	palva, этой теме 6 лет. ТС уже закончил учебу и трудится где-нибудь. Хотя быть может пригодится новым поколениям студентов. 1