Приведите к каноническому виду уравнения следующих квадрик

@kiviisfruit96 · Регистрация: 10.09.2017

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Доброго времени суток. Дали задание:
1)В евклидовом векторном пространстве Е^2 приведите к каноническому виду уравнения следующих квадрик, определите их вид.
2)Запишите формулы преобразования координат, при переходе к реперу, в котором уравнение квадрики имеет канонический вид.
3)Укажите координаты нового начала и новых координатных векторов
Уравнение квадрики:
5*x1^2+5*x2^2-2*x1*x2-4*x1+20*x2+20=0

1ая часть задания выполнена. С помощью ортогональных преобразований приведена квадратичная форма к каноническому виду, которая имеет вид fi = 6*y1^2+4*y^2
Не получаются 2 и 3 части. Не могу найти подходящей теории или каких-либо подобных примеров. Жду каких-либо подсказок/решений. Заранее спасибо

@kabenyuk · 07.11.2018, 13:11

Сообщение от kiviisfruit96

1ая часть задания выполнена.

Если это так, то оставшаяся часть - это перенос начала координат для уничтожения линейных частей ну и выписать ответ. Если вы укажите каким ортогональным преобразованием вы привели квадратичную часть, то молниеносно выпишем все остальное.

@kiviisfruit96 · 07.11.2018, 13:28 **[ТС]**

Сообщение от kabenyuk

Если это так

Хм)
В данном уравнении рассмотрим квадратичную форму: 5*x1^2+5*x2^2-2*x1*x2, которую приведем к каноническому виду.
Составим характеристическое уравнение:
|5-лямбда -1 |
|-1 5-лямбда| =0
Решив его, получим лямбда1 = 6, лямбда2 = 4
И подставим в квадратичную форму fi = лябмда1*y1^2+лямбда2*y2^2

Сообщение от kiviisfruit96

fi = 6*y1^2+4*y^2

@kabenyuk · 07.11.2018, 13:37

Сообщение от kiviisfruit96

Хм)

Значит не так. Вы не нашли ортогональной замены, а лишь предсказали канонический вид.

Но не беда. Раз вас так учили, ищите собственные векторы, отвечающие 4 и 6, а там будет видно.

@Том Ардер · 07.11.2018, 13:43

Сообщение от kiviisfruit96

|5-лямбда -1 |
|-1 5-лямбда| =0

Формулы не словами рассказывают.
Рекомендации по созданию темы
Редактор формул

@kiviisfruit96 · 07.11.2018, 14:09 **[ТС]**

Сообщение от kabenyuk

собственные векторы

1-ый собственный вектор при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda = 6$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$
2-ой собственный вектор при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lambda = 4$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\frac{1}{\sqrt{2}}; \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

@jogano · 07.11.2018, 15:23

kiviisfruit96, если ортогональное преобразование понимать как поворот старого базиса на некий угол, то собственные векторы (векторы нового базиса, в котором квадратичная форма имеет каногический вид) должны идти наоборот - это поворот старого базиса на угол 45 градусов против часовой стрелки, при котором
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(1;0 \right)} \to \bar{\left(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}\\\bar{\left(0;1 \right)} \to \bar{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}$
А что с новым началом координат: нашли точку (0;-2)?

Добавлено через 3 минуты
Тогда и каноническое уравнение будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4y_1^2+6y_2^2=0$ . Сократить на 2 ещё можно...

@kiviisfruit96 · 07.11.2018, 17:49 **[ТС]**

Сообщение от jogano

нашли точку (0;-2)?

как это получить?

@jogano · 07.11.2018, 18:34

А вы не вывели разве формулу? Или только сам алгоритм нахождения ортогонального преобразования прочитали, не вникая?
У вас есть квадратичная форма $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}A\bar{x}^T+\bar{b}\bar{x}^T+c=0$ , где матрица А симметричная (т.е. А=А^T), в вашему случае
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\begin{pmatrix}5 & -1\\ -1 & 5\end{pmatrix}, \: \bar{b}\left(-4;20 \right), \: c=20$
Нужно определить новое начало координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x_0}$ такое, чтобы при отсчёте новых координат от него, а не от (0;0) второе слагаемое квадратичной формы было равно 0, т.е. чтобы от квадратичной формы осталось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{y}A\bar{y}^T+c_1=0\\$
Для этого делаете замену переменных (параллельный перенос): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{y}=\bar{x}-\bar{x_0}$ , то есть когда по старым координатам вы оказываетесь в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x_0}$ , новые координаты этой точки должны равняться по 0, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{y}=\bar{x_0}-\bar{x_0}=\bar{0}$ .
Выражаете старые переменные через новые и подставляете в вашу квадратичную форму, раскрываете скобки и приравниваете к 0 сумму слагаемых, в которых содержится множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{y}$ один раз (не два), откуда можно найти неизвестный новый центр, который равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x_0}^T=-\frac{1}{2}A^{-1}\bar{b}^T$
А зная его, ищется новый свободный член с₁, который в вашем случае оказывается равным 0.

@kabenyuk · 07.11.2018, 18:38

Сообщение от kiviisfruit96

как это получить?

Ну и сделайте замену x=t(x'+y'), y=t(x'-y'), здесь t²=1/2. После этого избавляйтесь от линейных частей с помощью выделения полного квадрата. Ну и на первых порах не обращайте внимания на часовые стрелки - они тут как бы и не нужны. Да и про 45 градусов пожалуй тоже.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка SDL3 из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .
Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»

@kiviisfruit96 0 / 0 / 0 Регистрация: 10.09.2017 Сообщений: 7

	Приведите к каноническому виду уравнения следующих квадрик 07.11.2018, 12:55. Показов 2308. Ответов 9 Метки нет (Все метки) Доброго времени суток. Дали задание: 1)В евклидовом векторном пространстве Е^2 приведите к каноническому виду уравнения следующих квадрик, определите их вид. 2)Запишите формулы преобразования координат, при переходе к реперу, в котором уравнение квадрики имеет канонический вид. 3)Укажите координаты нового начала и новых координатных векторов Уравнение квадрики: *5x1^2+5x2^2-2x1x2-4x1+20x2+20=0* 1ая часть задания выполнена. С помощью ортогональных преобразований приведена квадратичная форма к каноническому виду, которая имеет вид fi = 6y1^2+4y^2 Не получаются 2 и 3 части. Не могу найти подходящей теории или каких-либо подобных примеров. Жду каких-либо подсказок/решений. Заранее спасибо 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	07.11.2018, 15:23
	kiviisfruit96, если ортогональное преобразование понимать как поворот старого базиса на некий угол, то собственные векторы (векторы нового базиса, в котором квадратичная форма имеет каногический вид) должны идти наоборот - это поворот старого базиса на угол 45 градусов против часовой стрелки, при котором $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(1;0 \right)} \to \bar{\left(\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}\\\bar{\left(0;1 \right)} \to \bar{\left(-\frac{1}{\sqrt{2}};\frac{1}{\sqrt{2}} \right)}$ А что с новым началом координат: нашли точку (0;-2)? Добавлено через 3 минуты Тогда и каноническое уравнение будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?4y_1^2+6y_2^2=0$ . Сократить на 2 ещё можно... 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	07.11.2018, 18:34
	А вы не вывели разве формулу? Или только сам алгоритм нахождения ортогонального преобразования прочитали, не вникая? У вас есть квадратичная форма $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x}A\bar{x}^T+\bar{b}\bar{x}^T+c=0$ , где матрица А симметричная (т.е. А=А^T), в вашему случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\begin{pmatrix}5 & -1\\ -1 & 5\end{pmatrix}, \: \bar{b}\left(-4;20 \right), \: c=20$ Нужно определить новое начало координат $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x_0}$ такое, чтобы при отсчёте новых координат от него, а не от (0;0) второе слагаемое квадратичной формы было равно 0, т.е. чтобы от квадратичной формы осталось $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{y}A\bar{y}^T+c_1=0\\$ Для этого делаете замену переменных (параллельный перенос): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{y}=\bar{x}-\bar{x_0}$ , то есть когда по старым координатам вы оказываетесь в точке $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x_0}$ , новые координаты этой точки должны равняться по 0, т.е. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{y}=\bar{x_0}-\bar{x_0}=\bar{0}$ . Выражаете старые переменные через новые и подставляете в вашу квадратичную форму, раскрываете скобки и приравниваете к 0 сумму слагаемых, в которых содержится множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{y}$ один раз (не два), откуда можно найти неизвестный новый центр, который равен $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{x_0}^T=-\frac{1}{2}A^{-1}\bar{b}^T$ А зная его, ищется новый свободный член с₁, который в вашем случае оказывается равным 0. 0