Посчитать кривизну и кручение кривой, а также вывести уравнение главной нормали и соприкасающейся плоскости

@Мориарчи · Регистрация: 11.11.2018

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Задано параметрическое уравнение кривой:
r(t)= $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{t}^{3} - ln t +2t$ , to= 1
Нужно посчитать кривизну и кручение кривой, а также вывести уравнение главной нормали и соприкасающейся плоскости.
В итоге у меня вышло следующее:
Первая производная от r, то есть скорость:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V = {3t}^{2} - \frac{1}{t} +2; V(to)= (3;-1;2), |v|= \sqrt{14}$
Производная от скорости(ускорение):
w= $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?6t;\frac{1}{{t}^{2}};0$ ; w(to)=(6;1;0)
Производная от ускорения:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=(6;-\frac{2}{{t}^{3}};0)$ ; u(to)=(6;-2;0)
P - векторное произведение векторов V и W.
P = V x W = (-2;12;9); |P|= $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sqrt{229}$
K - кривизна.
K = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{|P|}{{|v|}^{3}}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sqrt{3206}}{196}$ = 0,2888

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\kappa -$ скалярное произведение P и U, делённое на квадрат длины вектора P.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\kappa = \frac{-2*6+12*(-2)+ 0*9}{229}$ = -0,1572.
(Проверьте верность вычислений, пожалуйста!)
Уравнение соприкасающейся плоскости получилось следующим:
-2(x-1)+12(y-0)+9(z-2). (Верно ли?)
Где -2,12,9 - координаты вектора P, а 1,0,2 - координаты r(to).
Каким образом получить уравнение главной нормали?

@Мориарчи · 17.11.2019, 18:40 **[ТС]**

Upd.
Посчитал направляющий вектор для уравнения главной нормали путём векторного произведения V и P.
Получилось (-33;-31;34).
И вышло уравнение вида: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x-1}{-33}=\frac{y-0}{-31}=\frac{z-2}{34}$

@jogano · 17.11.2019, 19:01

Мориарчи, странная у вас кривая. Должен быть 3-х мерный вектор, зависящий от одного параметра $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x\left(t \right),y\left(t \right),z\left(t \right) \right)$ , а у вас что-то не понятное задано. r(t) это радиус-вектор? Но этого мало, а полярные углы где?

@Мориарчи · 17.11.2019, 19:04 **[ТС]**

Просто, я опустил(видимо зря) векторы i, j, k.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{t}^{3}i - ln tj +2tk$

@jogano · 17.11.2019, 19:30

Мориарчи, да, стремление всё упрощать приводит к непониманию... Над векторами i,j,k черты ставят или пишут векторы жирным шрифтом, но это как раз понятно.
Выкладки правильные, включая пост #2.

@Мориарчи · 17.11.2019, 19:33 **[ТС]**

Впредь буду знать, как оформлять.
За проверку - спасибо.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка библиотек: SDL3, Box2D, FreeType, SDL3_ttf, SDL3_mixer и SDL3_image из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .
Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.

@Мориарчи 2 / 2 / 0 Регистрация: 11.11.2018 Сообщений: 214

	Посчитать кривизну и кручение кривой, а также вывести уравнение главной нормали и соприкасающейся плоскости 17.11.2019, 08:15. Показов 5833. Ответов 5 Метки нет (Все метки) Задано параметрическое уравнение кривой: r(t)= $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{t}^{3} - ln t +2t$ , to= 1 Нужно посчитать кривизну и кручение кривой, а также вывести уравнение главной нормали и соприкасающейся плоскости. В итоге у меня вышло следующее: Первая производная от r, то есть скорость: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?V = {3t}^{2} - \frac{1}{t} +2; V(to)= (3;-1;2), \|v\|= \sqrt{14}$ Производная от скорости(ускорение): w= $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?6t;\frac{1}{{t}^{2}};0$ ; w(to)=(6;1;0) Производная от ускорения: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?u=(6;-\frac{2}{{t}^{3}};0)$ ; u(to)=(6;-2;0) P - векторное произведение векторов V и W. P = V x W = (-2;12;9); \|P\|= $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? \sqrt{229}$ K - кривизна. K = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\|P\|}{{\|v\|}^{3}}$ = $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\sqrt{3206}}{196}$ = 0,2888 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\kappa -$ скалярное произведение P и U, делённое на квадрат длины вектора P. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\kappa = \frac{-26+12(-2)+ 0*9}{229}$ = -0,1572. (Проверьте верность вычислений, пожалуйста!) Уравнение соприкасающейся плоскости получилось следующим: -2(x-1)+12(y-0)+9(z-2). (Верно ли?) Где -2,12,9 - координаты вектора P, а 1,0,2 - координаты r(to). Каким образом получить уравнение главной нормали? 0

@Мориарчи 2 / 2 / 0 Регистрация: 11.11.2018 Сообщений: 214
	17.11.2019, 18:40 [ТС]
	Upd. Посчитал направляющий вектор для уравнения главной нормали путём векторного произведения V и P. Получилось (-33;-31;34). И вышло уравнение вида: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{x-1}{-33}=\frac{y-0}{-31}=\frac{z-2}{34}$ 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	17.11.2019, 19:01
	Мориарчи, странная у вас кривая. Должен быть 3-х мерный вектор, зависящий от одного параметра $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x\left(t \right),y\left(t \right),z\left(t \right) \right)$ , а у вас что-то не понятное задано. r(t) это радиус-вектор? Но этого мало, а полярные углы где? 0

@Мориарчи 2 / 2 / 0 Регистрация: 11.11.2018 Сообщений: 214
	17.11.2019, 19:04 [ТС]
	Просто, я опустил(видимо зря) векторы i, j, k. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{t}^{3}i - ln tj +2tk$ 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	17.11.2019, 19:30
	Сообщение было отмечено Мориарчи как решение Решение Мориарчи, да, стремление всё упрощать приводит к непониманию... Над векторами i,j,k черты ставят или пишут векторы жирным шрифтом, но это как раз понятно. Выкладки правильные, включая пост #2. 1

@Мориарчи 2 / 2 / 0 Регистрация: 11.11.2018 Сообщений: 214
	17.11.2019, 19:33 [ТС]
	Впредь буду знать, как оформлять. За проверку - спасибо. 0

Посчитать кривизну и кручение кривой, а также вывести уравнение главной нормали и соприкасающейся плоскости

Решение