Проверить, можно ли полностью закрыть квадрат кругами (математическая часть)

@Perchi · Регистрация: 12.10.2021

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

В эту тему перенесена математическая часть темы
Проверить, можно ли полностью закрыть квадрат кругами

У вас есть 4 круга радиусом R и квадрат со стороной А.
Проверить, можно ли полностью закрыть квадрат этими кругами, размещая круги в любом положении над квадратом.
Если закрыть квадрат 4-ми кругами возможно, найти минимальное количество кругов, которые для этого потребуются.

@wizard41 · 20.10.2021, 10:53

Сообщение от QuakerRUS

Не понял, чего не хватит

А, не, я что-то не про то ляпнул )

Добавлено через 4 минуты
На счет 4-х кругов, кстати... Минимальный радиус может быть меньше, чем у меня. Я что-то забыл...

Добавлено через 2 минуты
Соотношение 1,33 получится.
Переписывал по памяти, видать забыл что-то.

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от wizard41

как раз если их расположить на его сторонах

Это для всех случаев, кроме 4-х кругов, получается. Для них надо вывести другое уравнение.

@QuakerRUS · 20.10.2021, 10:54

Сообщение от wizard41

Соотношение 1,33 получится.

В моем случае $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a / r = \sqrt{2}$

@wizard41 · 20.10.2021, 11:01

Сообщение от QuakerRUS

В моем случае

~1,428 как ни крути

Добавлено через 1 минуту
Для 4 кругов как раз хорошо срабатывает ваша теория...

@QuakerRUS · 20.10.2021, 11:09

wizard41, и все же у меня вызывает сомнение ваш вариант с тремя кругами. Даже, если я не буду привязываться к тому, что левый верхний круг не должен захватывать правый нижний угол, так как нижний круг это делает, все равно построив игнорируемый голубой треугольник, сверху я получаю два прямоугольных треугольника, которые не уменьшают диаметр кругов.

@wizard41 · 20.10.2021, 11:11

Возьмем квадрат со стороной 100.
100 * 1,428 = 70,028 (радиус круга)
Название: Untitled Diagram.png
Просмотров: 94

Размер: 3.7 Кб

Ну прям почти в тютельку

@wizard41 · 20.10.2021, 11:14

Сообщение от QuakerRUS

и все же у меня вызывает сомнение ваш вариант с тремя кругами

нижний круг у вас эллипс )
Достаточно взять круг с диаметром = стороне квадрата, увеличить его на 2, тогда получившиеся круги полностью перекроют квадрат. Но верхние два прямоугольника вы не впишите в них. Это будут минимальные радиусы для 3-х кругов.
Я проверял графически, ошибки быть не может )

@QuakerRUS · 20.10.2021, 11:21

Сообщение от wizard41

нижний круг у вас эллипс )

В паинте рисовал от руки. То, что получился немного эллипс, не должно влиять на результат.

Сообщение от wizard41

Я проверял графически, ошибки быть не может )

Если найдется время, набросаю в формах приложение как-нибудь)

@wizard41 · 20.10.2021, 11:22

Смотрите:

Проверить, можно ли полностью закрыть квадрат кругами (математическая часть)

При R = A / 2 мы никак не закроем квадрат.
Увеличим R на 1 и вуаля!

@wizard41 · 20.10.2021, 11:34

Именно случай с 3-мя кругами меня особо заинтересовал. От него и отталкивался для всех остальных, но для случая с 4 кругами подход нужно немного изменить.

Добавлено через 10 минут

Сообщение от QuakerRUS

набросаю в формах приложение как-нибудь)

А оно надо?

ТС вон похоже вообще забил на это дело )

@QuakerRUS · 20.10.2021, 11:35

Сообщение от wizard41

А оно надо? ТС вон похоже вообще забил на это дело )

Ну интересно же, кто "правее", вы или я.

@wizard41 · 20.10.2021, 11:36

Сообщение от QuakerRUS

Ну интересно же, кто "правее", вы или я.

Хм, не вопрос ))
Только зачем заморачиваться с формами?

@QuakerRUS · 20.10.2021, 11:36

Сообщение от wizard41

Только зачем заморачиваться с формами?

Для наглядности. Чтобы ни у кого вопросов не осталось.

@wizard41 · 20.10.2021, 11:46

Сообщение от QuakerRUS

Для наглядности

Ну ну

Добавлено через 8 минут
QuakerRUS, я в смысле не опровергаю вашу теорию, просто мы идем немного разными путями. Если результаты у нас сойдутся, хотя бы с точностью до сотых, тогда можно выводить новую теорему о трех кругах и квадрате

@QuakerRUS · 20.10.2021, 11:48

Сообщение от wizard41

я в смысле не опровергаю вашу теорию, просто мы идем немного разными путями. Если результаты у нас сойдутся, хотя бы с точностью до сотых, тогда можно выводить новую теорему о трех кругах и квадрате

Я сравнивал свои результаты для трех кругов с вашими, и они не сошлись.

@wizard41 · 20.10.2021, 11:52

Сообщение от QuakerRUS

и они не сошлись.

Значит кто-то ошибается... Что-то ускользает из поля видимости, все может быть.

Добавлено через 31 секунду
Но мои выкладки подтверждаются графически...

@escoult · 20.10.2021, 17:27

Сообщение от QuakerRUS

Ну интересно же, кто "правее", вы или я

Надо доказать, что круги перекроют весь квадрат и радиус окружности при одном способе будет меньше чем при другом.
Квадрат полностью перекрывается кругом, если все его вершины лежат внутри круга. То есть, радиус круга больше, чем радиус описанной около квадрата окружности. Соотв. если, квадрат поделен на несколько частей (по условию до 4-х) и каждая из частей перекрывается одним кругом, перекрывается и весь квадрат.

С одним кругом все просто - радиус описанной окружности.
С четырьмя, все также - квадрат делится на 4 квадрата.
Остались 2 и 3.

На 2 части можно поделить квадрат по разному.
1. Разделить квадрат на 2 треугольника. Получим два прямоугольных треугольника с одним и тем же радиусом описанной окружности, равному половине диагонали квадрата. Вариант неподходящий, поскольку по сути получаем первый случай, где один круг перекрывает весь квадрат.

2. Разделить квадрат на два равных прямоугольника.
Диаметр описанной окружности равен диагонали прямоугольника. В данном случае диагонали прямоугольников равны, и равны они $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2}$

3. Разделить квадрат на два неравных прямоугольника. Теперь диагональ меньшего становится меньше чем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2}$ , а диагональ большего, соответственно больше. Круги у нас одинаковые, следовательно придется использовать круг с радиусом большей диагонали. В предыдущем же случае она была меньше. Следовательно, равные диагонали дают наименьший радиус.

На 3 части также можно поделить по разному.
1. Можно "разрезать" квадрат вдоль одной из сторон и получить 3 равных прямоугольника. Диагональ каждого равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{a^2 + (\frac{a}{3})^2}$ . Из предыдущего случая уже знаем, что равные диагонали дают наименьший радиус.

2. Можно "отпилить" одну часть вдоль, а две другие получить разрезом остатка поперек на две равные части, опять опираясь на предыдуший случай. Вариантов распила будет множество. Какой из них даст наименьший радиус? Для выяснения потребуется определить какая из диагоналей прямоугольников будет большей. Обозначим ширину первого прямоугольника за Х. Получим следующее равенство (пишу без корней):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^2 + x^2 = (a-x)^2 + (\frac{a}{2})^2$
Раскроем квадрат разности, проведем преобразования, в результате получим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a=8x$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{a}{8}$

То, есть, при $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\frac{a}{8}$ , диагонали прямоугольников будут равны. Если он будет меньше или больше, то одна из диагоналей станет больше, и следовательно увеличит радиус окружности.

Осталось выяснить, какой из способов (первый или второй) дает меньшую диагональ.
В первом случае диагональ была $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{a^2 + (\frac{a}{3})^2}$
Во втором она будет $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt{a^2 + (\frac{a}{8})^2}$

Уберем корни и найдем разность:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a^2 + (\frac{a}{3})^2-a^2 + (\frac{a}{8})^2=\frac{a^2}{9}-\frac{a^2}{64}>0$

Разность больше нуля, следовательно второй способ дает меньший радиус.

@wizard41 · 20.10.2021, 17:36

escoult, сильно не вдаваясь, да, как один из вариантов. Но можно сказать - это один из "длинных" путей.

Добавлено через 4 минуты
Я прикинул примерно еще вариант для 1,2 и 4-х кругов, основанный почти на том, что вы привели. Но вот с тремя пока проблемка... Там один круг охватывает два угла, а остальный по одному - там пропорция не срабатывает, а другую пока не придумал. Но это надо не в голове крутить а на бумаге, если дойдут руки, то...

@escoult · 20.10.2021, 17:36

Сообщение от wizard41

можно сказать - это один из "длинных" путей.

Не короткий, но доказывает какой способ оптимальнее. Случай с 3-мя, самый заковыристый.

@wizard41 · 20.10.2021, 17:37

Вернее, для 1-го круга все понятно - его выкидываем. Для четных кругов вроде все ложится в строчку. Осталось решить проблему для трех.

@escoult · 20.10.2021, 17:55

Опечатался в последней формуле, минус там. Ну ладно, понятно, что это разность.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Запустил конкурс "тем и промптов для текстовых квестов созданных почти чисто ИИ" Adler 06.10.2026 Всем привет! За последние три-четыре дня я создал более 16 текстовых квестовых игр используя преимущественно по одному запросу к ИИ на игру. Мне так понравилось смотреть все ветки/ сцены во всех. . .	ИИ не может найти нужный язык в списке Supersumestria 05.10.2026 Я ему даю вот такое изображение и прошу найти и подчеркнуть немецкий язык. Возвращает он вот это: https:/ / i. **********/ vqBWLe2. png Нужную строчку в 3й колонке просто выдумал. . Это. . .	Новая последняя моя музыка в SUNO zorxor 05.10.2026 Здравствуйте, дорогие мои друзья! С большой радостью я хотел бы представить вам свою новую последнею музыку, которую сгенерировала мне по моей просьбе нейросеть SUNO. С уважением, zorxor. Это. . .	Программный домашний кинотеатр russiannick 27.09.2026 Сподобился на программный домашний кинотеатр. В качестве ЯВУ по традиции выбрал js. В помощники взял Яндекс-Алису. Было создано три зала на разные интересы. исторические и ретро сериал Хичкок. . .
Беседа с ИИ о программистах, недопускающих к созданию и правке кода генеративные ИИ и причины этого zorxor 21.09.2026 Раньше я радовался или получал некоторые эмоции, пусть небольшие, но всё же, от самого процесса написания кода, рекомпиляции и запуска, видя постепенное развитие программы и прочее. А теперь лень. . .	Мобильное приложение ColorStep pavlinmavlin 17.09.2026 Реализовал приложение Красный, Зеленый, Синий в Unity3d + c#. Название изменил на ColorStep. Приложение прошло модерацию и теперь доступно для скачивания. Делал его сам, шаг за шагом — и вот,. . .	Запрет дублирования строк в табличной части Maks 13.09.2026 Реализация из решения ниже выполнена на нетиповом справочнике "Нормы ТО" с табличной часть "Виды ТО", разработанного в КА2, со следующими реквизитами: - ВидТО (СправочникСсылка. ВидыТО); - ВидГСМ. . .	Скрипты Tampermonkey для CyberForum, ChatGPT, Claude и пр. Jin X 06.09.2026 Скрипты Tampermonkey для CyberForum, ChatGPT, Claude и пр. Работая с форумом и нейросетями в браузере часто хочется что-то подкорректировать или добавить какого-то функционала. Ниже прикреплён. . .

@Perchi 0 / 0 / 0 Регистрация: 12.10.2021 Сообщений: 17

	Проверить, можно ли полностью закрыть квадрат кругами (математическая часть) 16.10.2021, 21:13. Показов 7457. Ответов 102 Метки нет (Все метки) В эту тему перенесена математическая часть темы Проверить, можно ли полностью закрыть квадрат кругами У вас есть 4 круга радиусом R и квадрат со стороной А. Проверить, можно ли полностью закрыть квадрат этими кругами, размещая круги в любом положении над квадратом. Если закрыть квадрат 4-ми кругами возможно, найти минимальное количество кругов, которые для этого потребуются. 0

@QuakerRUS 1469 / 1010 / 456 Регистрация: 30.10.2017 Сообщений: 2,799
	20.10.2021, 11:09
	wizard41, и все же у меня вызывает сомнение ваш вариант с тремя кругами. Даже, если я не буду привязываться к тому, что левый верхний круг не должен захватывать правый нижний угол, так как нижний круг это делает, все равно построив игнорируемый голубой треугольник, сверху я получаю два прямоугольных треугольника, которые не уменьшают диаметр кругов. Миниатюры 0

@wizard41 3463 / 2784 / 575 Регистрация: 04.09.2018 Сообщений: 8,757 Записей в блоге: 3
	20.10.2021, 11:11
	Возьмем квадрат со стороной 100. 100 * 1,428 = 70,028 (радиус круга) Ну прям почти в тютельку 1

@wizard41 3463 / 2784 / 575 Регистрация: 04.09.2018 Сообщений: 8,757 Записей в блоге: 3
	20.10.2021, 11:22
	Смотрите: При R = A / 2 мы никак не закроем квадрат. Увеличим R на 1 и вуаля! 0

@wizard41 3463 / 2784 / 575 Регистрация: 04.09.2018 Сообщений: 8,757 Записей в блоге: 3
	20.10.2021, 17:36
	escoult, сильно не вдаваясь, да, как один из вариантов. Но можно сказать - это один из "длинных" путей. Добавлено через 4 минуты Я прикинул примерно еще вариант для 1,2 и 4-х кругов, основанный почти на том, что вы привели. Но вот с тремя пока проблемка... Там один круг охватывает два угла, а остальный по одному - там пропорция не срабатывает, а другую пока не придумал. Но это надо не в голове крутить а на бумаге, если дойдут руки, то... 0

@wizard41 3463 / 2784 / 575 Регистрация: 04.09.2018 Сообщений: 8,757 Записей в блоге: 3
	20.10.2021, 17:37
	Вернее, для 1-го круга все понятно - его выкидываем. Для четных кругов вроде все ложится в строчку. Осталось решить проблему для трех. 0

@escoult 1536 / 544 / 127 Регистрация: 09.01.2018 Сообщений: 1,768
	20.10.2021, 17:55
	Опечатался в последней формуле, минус там. Ну ладно, понятно, что это разность. 0