Проверить, можно ли полностью закрыть квадрат кругами (математическая часть)

У вас есть 4 круга радиусом R и квадрат со стороной А.
Проверить, можно ли полностью закрыть квадрат этими кругами, размещая круги в любом положении над квадратом.
Если закрыть квадрат 4-ми кругами возможно, найти минимальное количество кругов, которые для этого потребуются.

0

Сообщение от escoult

По сути вы пришли к тем же выводам, что и я.

0

Сообщение от QuakerRUS По сути вы пришли к тем же выводам, что и я.

Да, совершенно верно.

0

Для 4-х кругов есть два случая:
1. минимальный радиус одного круга из 4-х будет составлять корень из половины диагонали квадрата - это случай, когда один круг охватывает одну вершину (пересекает ее).
2. когда диаметр круга = стороне квадрата ровно.
Теперь внимание: если радиус круга увеличить на х целых ноль десятых, то квадрат влезет уже в три таких круга.

Минимальный радиус двух кругов, которые вместят в себя квадрат, соответствует тому, когда два эти круги пересекутся между собой в двух точках, причем эти точки будут лежать на противоположных сторонах квадрата.

А вот для трех кругов - один из них точно охватит две вершины, что означает что его диаметр > А, а остальные два круга сверху на стороне квадрата не пересекаются, а снизу между первым кругом, как раз на стороне квадрата.

Добавлено через 9 минут
Суть моих изысканий сводилась к поиску минимального радиуса для N-окружностей, которые схавают квадрат. Из разницы этих минимальных радиусов мы поймем сколько кругов применять, учитывая, что их кол-во ограничивается 4-мя.
Я сегодня уж было начал прикидывать это все дело на координатной плоскости, приняв одну из вершин квадрата за начало отсчета. Но.. рабочий день подошел к концу и я поехал домой

Добавлено через 14 минут

Сообщение от QuakerRUS То, что получился немного эллипс, не должно влиять на результат.

На результат конечно не влияет, но визуально кажется, что верхние два круга вписывают в себя два прямоугольника, что точно не соответствует истине. Т.е. вписать их конечно можно, но откроются отрезки квадрата...

0

Сообщение от wizard41 На результат конечно не влияет, но визуально кажется, что верхние два круга вписывают в себя два прямоугольника, что точно не соответствует истине.

Как раз в моем случае они точно вписывают прямоугольники. И этот вариант мне кажется оптимальным.

0

Ну и квадрат в правой части нижнего прямоугольника для меня все еще не ясен. В смысле от куда он и зачем.

Добавлено через 42 секунды

Сообщение от QuakerRUS Как раз в моем случае они точно вписывают прямоугольники

При условии что круги одинаковые? Это как так?

0

Сообщение от wizard41 Ну и квадрат в правой части нижнего прямоугольника для меня все еще не ясен. В смысле от куда он и зачем.

Фиолетовой линией я просто показал ширину прямоугольника (k), которую высчитывал.

Добавлено через 21 секунду

Сообщение от wizard41 При условии что круги одинаковые? Это как так?

Верхние прямоугольники шире и короче нижнего.

0

Сообщение от QuakerRUS Верхние прямоугольники шире и короче нижнего.

Так и верхние круги у вас меньше нижнего (визуально). Вы попробуйте построить то же самое, только с правильной геометрией )

0

Сообщение от wizard41 Так и верхние круги у вас меньше нижнего (визуально).

Это потому что я художник криворукий и снизу эллипс получился. На моем рисунке есть две зеленых линии. Они равны по длине и от этого условия пляшет весь расчет.

Сообщение от wizard41 Вы попробуйте построить то же самое, только с правильной геометрией )

Для этого я и планирую набросать приложение в формах)

0

QuakerRUS, завтра специально Corel Draw поставлю на работе на комп. Я вам покажу кузьки.. как это выглядит

Добавлено через 1 минуту
Примерно проверял вот тут, но точность малая, всего до сотых и линии с палец толщиной. Хрень.

Добавлено через 3 минуты

Сообщение от QuakerRUS Это потому что я художник криворукий и снизу эллипс получился

художества тут не при чем, и так ясно, что равные круги не впишут верхние прямоугольники так, как показано у вас. А если впишут, то вы не закроете квадрат.

Добавлено через 50 секунд

Сообщение от wizard41 А если впишут, то вы не закроете квадрат.

И соответственно их размеры изменяться (прямоугольников).

0

Уважаемые коллеги, QuakerRUS и escoult,
мы условились, что круги, диаметром = А в кол-ве 4-х полностью покроют квадрат, при определенном положении, а именно, когда они расположились по сторонам квадрата.
Ранее я утверждал, что если радиус круга увеличить хотя бы на 1, то будет достаточно 3-х таких кругов, чтобы покрыть квадрат.
Я увеличил на 0.5:

Это весьма точное построение, на сколько я смог сделать конкретно сейчас.
Что мы видим: если поместить нижний круг так, чтобы хорды точно пересекали квадрат, то верхние два круга ничего не вписывают.
Зато появилась некая высота:

которую можно скомпенсировать, опустив круги вниз, ровно на эту высоту.
И даже если мы так сделаем, то верхние вершины квадрата не будут касаться кругов - т.е. мы опять не впишем ничего.
А ниже опускать нельзя - откроется сторона квадрата.
QuakerRUS - ваша теория требует дополнительных корректировок

0

Тут интересный момент: высота хорды и высота пересечения двух верхних кругов... Приглядитесь на их соотношение )

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от wizard41 Я увеличил на 0.5:

На 0.25, разумеется, имелось в виду.

0

Не попали....

Миниатюры

 

0

Я вписал верхние прямоугольники в круги:

Но для этого потребовалось сместить их еще по оси 0Х.
Мы помним, что нижний круг никуда сместить нельзя - хорды снизу уперлись в вершины квадрата.
В этом случае, в ваших вычислениях я не вижу учета площади, показанной волнистой линией...

0

Т.е. прямоугольники перекрыли ваш изначальный прямоугольник снизу на delta h высоту. Видимо, ошибка в ваших вычислениях и составляет эту дельту, поэтому наши расчеты не сошлись.

Добавлено через 2 минуты
Время позднее, буду рад продолжить дискуссию по исследованию проблемы завтра.

0

Сообщение от wizard41 В этом случае, в ваших вычислениях я не вижу учета площади, показанной волнистой линией...

Почему не видите? Там все учтено. Три прямогольника, нижний вписан в нижнюю окружность. Это тот самый прямоугольник со сторонами a и а/8.
Два верхних равны между собой и их стороны (а/2) и (а-а/8).
Оба вписаны в две верхние окружности. Все верно. И даже доказано математически.
На вашем чертеже, прямоугольник, выделенный цветом, как раз тот самый нижний прямоугольник со стороной а/8. Он вписан.

1

Сообщение от escoult Оба вписаны в две верхние окружности. Все верно. И даже доказано математически.

Хм.. Ну так то да. Верхние прямоугольники так или иначе налезут на нижний, в таком случае.
А я тут пытаюсь доказать невозможность рисунка QuakerRUS ))

0

Сообщение от wizard41 Верхние прямоугольники так или иначе налезут на нижний, в таком случае.

Нет не налезут. Посмотрите внимательно на выражения, которыми заданы их стороны. Все три прямоугольника образуют квадрат. Если точнее, мы поделили квадрат на эти три прямоугольника и описали стороны которые при этом получатся.

0

escoult, все, я понял.
1/8 стороны квадрата это минимальный прямоугольник, который может быть вписан в нижнюю окружность, тогда остальные две окружности точно вписывают оставшиеся.
Я на это не обратил внимание.

0

Сообщение от wizard41 1/8 стороны квадрата это минимальный прямоугольник, который может быть вписан в нижнюю окружность, тогда остальные две окружности точно вписывают оставшиеся.

Да, верно.

0

Все равно надо проверить )

Добавлено через 2 минуты
Да, я пошел через круги, а надо было построить прямоуг 1/8 от квадрата, и вписывать его в окружность. Тогда диаметр (радиус) ее будет минимален от возможного.

Добавлено через 2 минуты
Но и мои коэффициенты нормально отрабатывают, несмотря на точность три знака после ",". Немного подкорректировать под большую точность и...

Добавлено через 44 секунды
1 : 1 ?

0