Посчитать вручную сумму ряда

@АлександрКом · Регистрация: 21.10.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Ребят, как посчитать вручную(именно так) сумму вот такого бесконечного ряда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=2}^{\propto }i*(i+1)*\frac{{5}^{i-1}}{{6}^{i+1}}$

240Volt · 26.11.2013, 22:14

Сообщение от АлександрКом

Ребят, как посчитать

Ребенок (?), это просто:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum\limits_{i = 2}^\infty {i(i + 1){x^{i - 1}}} = {\left( {\sum\limits_{i = 0}^\infty {{x^{i + 1}}} - {x^2}} \right)^{\prime \prime }}$

@Dukaz · 26.11.2013, 22:14

А почему вы обратились в раздел "алгебра"?

Вручную, это, наверное, просто посчитать

вынесите за ряд 1/6^2, то есть чтобы в самом ряду было (5/6)^(i-1). Теперь вы имеет степенной ряд. Дальше, допустим, что мы имеем ряд i*(i+1)*x^i. Найдите его радиус сходимости(5/6 туда, конечно, входит). Затем почленно проинтегрируйте. У вас сократится множитель i. Затем проинтегрируйте ещё раз и у вас сократится множитель i+1. Теперь, получившийся ряд(он должен идти от i=0 теперь) можно легко посчитать по формуле 1/(1-x). Получившееся выражение два раза продифференцируйте и подставьте вместо х 5/6

@Ellipsoid · 26.11.2013, 22:15

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n=\sum_{k=1}^n k(k+1) \frac{5^{k-1}}{6^{k+1}} \\ S_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1} k(k+1) \frac{5^{k-1}}{6^{k+1}}=\sum_{k=1}^{n}(k+1)(k+2)\frac{5^k}{6^{k+2}}=\frac{5}{6}S_n+2 \sum_{k=1}^n (k+1)\frac{5^k}{6^{k+2}} \\ S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=S_n+(n+1)(n+2) \frac{5^n}{6^{n+2}}$

@Dukaz · 26.11.2013, 22:21

Elipsoid, чего вы добились своими преобразованиями?

Вы же просто переписали все члены ряда до n под один символ "сумма ряда н членов", а оставшийся последний остался точно таким же, как и был)

@Ellipsoid · 26.11.2013, 22:32

Сообщение от Dukaz

Elipsoid, чего вы добились своими преобразованиями?

Вы же просто переписали все члены ряда до n под один символ "сумма ряда н членов", а оставшийся последний остался точно таким же, как и был)

С последним рядом можно проделать аналогичные преобразования, найти $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n$ и перейти к пределу.
А что такое вручную, честно говоря, не знаю.

@АлександрКом · 26.11.2013, 22:46 **[ТС]**

Просто считал на компьютере, получил ответ 215/18, теперь нужно тоже самое получить ручками

@Dukaz · 26.11.2013, 23:25

Ошибся немного в рассуждениях, там сумма, когда считаем по формуле будет от 3, а не от 0. Тогда ответ это продифференцированное два раза выражение 1/6^2 * x^3/(1-x)^2, где вместо х подставить 5/6

@АлександрКом · 27.11.2013, 00:09 **[ТС]**

Сообщение от Dukaz

1/6^2 * x^3/(1-x)^2

А как получить это выражение?

@Dukaz · 27.11.2013, 00:18

Вынесите за ряд 1/6^2. Замените 5/6 переменной, проинтегрируйте ряд почленно два раза. У вас получится ряд x^i от 3 до бесконечности или x^i+3 от 0. Формулу для такого ряда ведь знаете? Сумма такого ряда равна 1/(1-х), если i идёт от нуля. В вашем случае просто вынесите из ряда ещё раз, уже х^3 и получите нужный ряд, который можно сложить по формуле.

Извините, не умею пользоваться формулами

240Volt · 27.11.2013, 00:39

Сообщение от Dukaz

Извините, не умею пользоваться формулами

Да это несложно: Редактор формул

@АлександрКом · 27.11.2013, 01:04 **[ТС]**

Сообщение от Dukaz

проинтегрируйте ряд почленно два раза

Если я проинтегрирую, то мне нужно будет и продифференцировать, чтобы изначальная сумма не изменилась, или как?
Вот так ещё понимаю, но что из этого можно сделать? Что делать с дифференцированием? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{{6}^{2}}\sum_{i=2}^{\propto }i*(i+1)*{x}^{i-1}=\frac{1}{{6}^{2}}(\sum_{i=2}^{\propto }{x}^{i+1})''$

@Dukaz · 27.11.2013, 01:37

Да-да, я же написал, что нужно два раза продифференцировать. У вас ряд теперь в правой части можно посчитать по формуле суммы геометрической прогрессии. http://ru.wikipedia.org/wiki/Г... прогрессия
Посмотрите самый последний абзац и доказательство перед ним, это очень часто применяемая формула.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=0}^{\propto } x^i=\frac{1}{1-x}<br /> \sum_{i=2}^{\propto } x^{i+1}=x^3 \sum_{i=2}^{\propto } x^{i-2}=x^3 \sum_{i=0}^{\propto } x^{i}=\frac{x^3}{1-x}$

@АлександрКом · 27.11.2013, 02:25 **[ТС]**

Dukaz, спасибо за помощь, все получилось

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Работа со звуком через SDL3_mixer 8Observer8 08.02.2026 Содержание блога Пошагово создадим проект для загрузки звукового файла и воспроизведения звука с помощью библиотеки SDL3_mixer. Звук будет воспроизводиться по клику мышки по холсту на Desktop и по. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Основы отладки веб-приложений на SDL3 по USB и Wi-Fi, запущенных в браузере мобильных устройств 8Observer8 07.02.2026 Содержание блога Браузер Chrome имеет средства для отладки мобильных веб-приложений по USB. В этой пошаговой инструкции ограничимся работой с консолью. Вывод в консоль - это часть процесса. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Обработчик клика мыши в браузере ПК и касания экрана в браузере на мобильном устройстве 8Observer8 02.02.2026 Содержание блога Для начала пошагово создадим рабочий пример для подготовки к экспериментам в браузере ПК и в браузере мобильного устройства. Потом напишем обработчик клика мыши и обработчик. . .	Философия технологии iceja 01.02.2026 На мой взгляд у человека в технических проектах остается роль генерального директора. Все остальное нейронки делают уже лучше человека. Они не могут нести предпринимательские риски, не могут. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Вывод текста со шрифтом TTF с помощью SDL3_ttf 8Observer8 01.02.2026 Содержание блога В этой пошаговой инструкции создадим с нуля веб-приложение, которое выводит текст в окне браузера. Запустим на Android на локальном сервере. Загрузим Release на бесплатный. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка C/C++ проекта из консоли 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Если вы откроете примеры для начинающих на официальном репозитории SDL3 в папке: examples, то вы увидите, что все примеры используют следующие четыре обязательные функции, а. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Установка Emscripten SDK (emsdk) и CMake для сборки C и C++ приложений в Wasm 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Для того чтобы скачать Emscripten SDK (emsdk) необходимо сначало скачать и уставить Git: Install for Windows. Следуйте стандартной процедуре установки Git через установщик. . . .	SDL3 для Android: Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 29.01.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами. Версия v3 была полностью переписана на Си, в. . .

@АлександрКом 1298 / 927 / 449 Регистрация: 21.10.2012 Сообщений: 2,604

	Посчитать вручную сумму ряда 26.11.2013, 21:34. Показов 1481. Ответов 13 Метки нет (Все метки) Ребят, как посчитать вручную(именно так) сумму вот такого бесконечного ряда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=2}^{\propto }i(i+1)\frac{{5}^{i-1}}{{6}^{i+1}}$ 0

@Dukaz 11 / 11 / 2 Регистрация: 01.05.2013 Сообщений: 96
	26.11.2013, 22:14
	А почему вы обратились в раздел "алгебра"? Вручную, это, наверное, просто посчитать вынесите за ряд 1/6^2, то есть чтобы в самом ряду было (5/6)^(i-1). Теперь вы имеет степенной ряд. Дальше, допустим, что мы имеем ряд i(i+1)x^i. Найдите его радиус сходимости(5/6 туда, конечно, входит). Затем почленно проинтегрируйте. У вас сократится множитель i. Затем проинтегрируйте ещё раз и у вас сократится множитель i+1. Теперь, получившийся ряд(он должен идти от i=0 теперь) можно легко посчитать по формуле 1/(1-x). Получившееся выражение два раза продифференцируйте и подставьте вместо х 5/6 1

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	26.11.2013, 22:15
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S_n=\sum_{k=1}^n k(k+1) \frac{5^{k-1}}{6^{k+1}} \\ S_{n+1}=\sum_{k=1}^{n+1} k(k+1) \frac{5^{k-1}}{6^{k+1}}=\sum_{k=1}^{n}(k+1)(k+2)\frac{5^k}{6^{k+2}}=\frac{5}{6}S_n+2 \sum_{k=1}^n (k+1)\frac{5^k}{6^{k+2}} \\ S_{n+1}=S_n+a_{n+1}=S_n+(n+1)(n+2) \frac{5^n}{6^{n+2}}$ 0

@Dukaz 11 / 11 / 2 Регистрация: 01.05.2013 Сообщений: 96
	26.11.2013, 22:21
	Elipsoid, чего вы добились своими преобразованиями? Вы же просто переписали все члены ряда до n под один символ "сумма ряда н членов", а оставшийся последний остался точно таким же, как и был) 0

@АлександрКом 1298 / 927 / 449 Регистрация: 21.10.2012 Сообщений: 2,604
	26.11.2013, 22:46 [ТС]
	Просто считал на компьютере, получил ответ 215/18, теперь нужно тоже самое получить ручками 0

@Dukaz 11 / 11 / 2 Регистрация: 01.05.2013 Сообщений: 96
	26.11.2013, 23:25
	Ошибся немного в рассуждениях, там сумма, когда считаем по формуле будет от 3, а не от 0. Тогда ответ это продифференцированное два раза выражение 1/6^2 * x^3/(1-x)^2, где вместо х подставить 5/6 0

@Dukaz 11 / 11 / 2 Регистрация: 01.05.2013 Сообщений: 96
	27.11.2013, 00:18
	Вынесите за ряд 1/6^2. Замените 5/6 переменной, проинтегрируйте ряд почленно два раза. У вас получится ряд x^i от 3 до бесконечности или x^i+3 от 0. Формулу для такого ряда ведь знаете? Сумма такого ряда равна 1/(1-х), если i идёт от нуля. В вашем случае просто вынесите из ряда ещё раз, уже х^3 и получите нужный ряд, который можно сложить по формуле. Извините, не умею пользоваться формулами 0

@Dukaz 11 / 11 / 2 Регистрация: 01.05.2013 Сообщений: 96
	27.11.2013, 01:37
	Да-да, я же написал, что нужно два раза продифференцировать. У вас ряд теперь в правой части можно посчитать по формуле суммы геометрической прогрессии. http://ru.wikipedia.org/wiki/Г... прогрессия Посмотрите самый последний абзац и доказательство перед ним, это очень часто применяемая формула. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=0}^{\propto } x^i=\frac{1}{1-x}<br /> \sum_{i=2}^{\propto } x^{i+1}=x^3 \sum_{i=2}^{\propto } x^{i-2}=x^3 \sum_{i=0}^{\propto } x^{i}=\frac{x^3}{1-x}$ 1

@АлександрКом 1298 / 927 / 449 Регистрация: 21.10.2012 Сообщений: 2,604
	27.11.2013, 02:25 [ТС]
	Dukaz, спасибо за помощь, все получилось 0