Посчитать сумму ряда

@oobarbazanoo · Регистрация: 13.05.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, пожалуйста, как посчитать сумму данного ряда:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{{z}^{2n+1}}{2n+1}, \quad |z| < 1$

Уверен, что в данном задании необходимо брать производную от суммы геометрической прогрессии, но не выходит подогнать выражение для подсчёта суммы ряда.

@mathmichel · 17.04.2017, 13:16

Производную надо брать не от суммы членов геометрической прогрессии, а от Вашей суммы, тогда все знаменатели сократятся и получится сумма членов геометрической прогрессии. Дальше, чтобы вернуться к исходной сумме, полученную сумму членов геометрической прогрессии надо проинтегрировать...

@oobarbazanoo · 17.04.2017, 14:55 **[ТС]**

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{{z}^{2n+1}}{2n+1}\right)'=\sum_{n=0}^{\infty}{z}^{2n} \\\sum_{n=0}^{\infty}{z}^{2n} = \frac{1}{1-{z}^{2}} \\\int \frac{1}{1-{z}^{2}} dz = \frac{1}{2}ln\left(\frac{1+z}{1-z} \right) \\\int \left(\sum_{n=0}^{\infty}{z}^{2n} \right)dz = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{{z}^{2n+1}}{2n+1} \\\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{z}^{2n+1}}{2n+1} = \frac{1}{2}ln\left(\frac{1+z}{1-z} \right)$
Верно?

Добавлено через 1 минуту
mathidiot, ну в ответах в книге вроде так.

@mathmichel · 17.04.2017, 15:05

Да, все правильно.

@Symon · 17.04.2017, 15:22

Сообщение от oobarbazanoo

вроде так.

В ваших рассуждениях есть пробел. Когда берете неопределенный интеграл, должна появиться неопределенная константа, которая дальнейшем определяется из начальных условий.
Здесь вам случайно повезло: эта константа оказалась равной нулю. Но это нужно было установить.

Байт · 17.04.2017, 15:28

oobarbazanoo, Вообще-то к первообразной еще надо прибавлять константу С
Но ее нетрудно найти, посмотрев на сумму ряда при z = 0 и на первообразную (в общем виде) при том же значении z.

Добавлено через 53 секунды

Не по теме:

Symon, буквально в один голос!:)

@oobarbazanoo · 17.04.2017, 20:04 **[ТС]**

Symon, Байт, я понимаю, что при нахождении неопределённого интеграла должна появиться константа. Но мне не ясно что с ней делать в общем случае. Не могли бы вы расписать на данном примере как узнать что константа ноль или ещё лучше привести пример, когда она не ноль.

@Symon · 17.04.2017, 23:10

Сообщение от oobarbazanoo

как узнать что константа ноль

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Обработчик клика мыши в браузере ПК и касания экрана в браузере на мобильном устройстве 8Observer8 02.02.2026 Содержание блога Для начала пошагово создадим рабочий пример для подготовки к экспериментам в браузере ПК и в браузере мобильного устройства. Потом напишем обработчик клика мыши и обработчик. . .	Философия технологии iceja 01.02.2026 На мой взгляд у человека в технических проектах остается роль генерального директора. Все остальное нейронки делают уже лучше человека. Они не могут нести предпринимательские риски, не могут. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Вывод текста со шрифтом TTF с помощью SDL3_ttf 8Observer8 01.02.2026 Содержание блога В этой пошаговой инструкции создадим с нуля веб-приложение, которое выводит текст в окне браузера. Запустим на Android на локальном сервере. Загрузим Release на бесплатный. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка C/C++ проекта из консоли 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Если вы откроете примеры для начинающих на официальном репозитории SDL3 в папке: examples, то вы увидите, что все примеры используют следующие четыре обязательные функции, а. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Установка Emscripten SDK (emsdk) и CMake для сборки C и C++ приложений в Wasm 8Observer8 30.01.2026 Содержание блога Для того чтобы скачать Emscripten SDK (emsdk) необходимо сначало скачать и уставить Git: Install for Windows. Следуйте стандартной процедуре установки Git через установщик. . . .	SDL3 для Android: Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 29.01.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами. Версия v3 была полностью переписана на Си, в. . .	Инструменты COM: Сохранение данный из VARIANT в файл и загрузка из файла в VARIANT bedvit 28.01.2026 Сохранение базовых типов COM и массивов (одномерных или двухмерных) любой вложенности (деревья) в файл, с возможностью выбора алгоритмов сжатия и шифрования. Часть библиотеки BedvitCOM Использованы. . .	SDL3 для Android: Загрузка PNG с альфа-каналом с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 28.01.2026 Содержание блога SDL3 имеет собственные средства для загрузки и отображения PNG-файлов с альфа-каналом и базовой работы с ними. В этой инструкции используется функция SDL_LoadPNG(), которая. . .

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835

	Посчитать сумму ряда 17.04.2017, 13:09. Показов 1082. Ответов 7 Метки нет (Все метки) Подскажите, пожалуйста, как посчитать сумму данного ряда: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{{z}^{2n+1}}{2n+1}, \quad \|z\| < 1$ Уверен, что в данном задании необходимо брать производную от суммы геометрической прогрессии, но не выходит подогнать выражение для подсчёта суммы ряда. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11068 / 7369 / 3989 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,807
	17.04.2017, 13:16
	Производную надо брать не от суммы членов геометрической прогрессии, а от Вашей суммы, тогда все знаменатели сократятся и получится сумма членов геометрической прогрессии. Дальше, чтобы вернуться к исходной сумме, полученную сумму членов геометрической прогрессии надо проинтегрировать... 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	17.04.2017, 14:55 [ТС]
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left( \sum_{n=0}^{\infty}\frac{{z}^{2n+1}}{2n+1}\right)'=\sum_{n=0}^{\infty}{z}^{2n} \\\sum_{n=0}^{\infty}{z}^{2n} = \frac{1}{1-{z}^{2}} \\\int \frac{1}{1-{z}^{2}} dz = \frac{1}{2}ln\left(\frac{1+z}{1-z} \right) \\\int \left(\sum_{n=0}^{\infty}{z}^{2n} \right)dz = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{{z}^{2n+1}}{2n+1} \\\sum_{n=0}^{\infty}\frac{{z}^{2n+1}}{2n+1} = \frac{1}{2}ln\left(\frac{1+z}{1-z} \right)$ Верно? Добавлено через 1 минуту mathidiot, ну в ответах в книге вроде так. 0

@mathmichel $Эксперт по математике/физике$ 11068 / 7369 / 3989 Регистрация: 14.01.2014 Сообщений: 16,807
	17.04.2017, 15:05
	Да, все правильно. 1

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	17.04.2017, 15:28
	oobarbazanoo, Вообще-то к первообразной еще надо прибавлять константу С Но ее нетрудно найти, посмотрев на сумму ряда при z = 0 и на первообразную (в общем виде) при том же значении z. Добавлено через 53 секунды Не по теме: Symon, буквально в один голос!:) 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	17.04.2017, 20:04 [ТС]
	Symon, Байт, я понимаю, что при нахождении неопределённого интеграла должна появиться константа. Но мне не ясно что с ней делать в общем случае. Не могли бы вы расписать на данном примере как узнать что константа ноль или ещё лучше привести пример, когда она не ноль. 0

Посчитать сумму ряда

Решение