Вычислить предел, тригонометрические функции

@Knik · Регистрация: 23.04.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Нужно найти предел lim (n -> inf) sinsinsin...sinx, где n - количество этих гребанных синусов. Как решить такое?

@Igor · 24.04.2016, 00:07

Может лучше переформулировать?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{n+1}=\sin {x}_{n},\ {x}_{0}=x.$
Тогда нужно найти $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{}{x}_{n}.$

@jogano · 24.04.2016, 00:32

Способ численных методов:
Известен способ решения уравнений вида f(x)=0 путём представления его в виде уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \left(x \right)=x$ , причём условием сходимости метода есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left| \varphi' \left(x \right)\right|<1$ . Это означает, что беря последовательные итерации
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0\\x_1=\varphi \left(x_0 \right)\\x_2=\varphi \left(x_1 \right)\\....\\x_n=\varphi \left(x_{n-1} \right)$ , получаем в пределе корень уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\varphi \left(x \right)$ , в вашем случае уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\sin x$ , а это х=0 (единственный). Т.е. ваш предел равен 0.
Способ матанализа.
Начальное х можно взять любое. Тогда при n=1 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin x \in \left[-1;1 \right]$
1) Взято х такое, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin x >0$ . Так как этот синус есть аргументом для более внешнего синуса, то это как бы угол в радианах - от 0 до 1 радиана (т.е. острый). Для острых положительных углов известно неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin x<x$ , и получаем при взятии каждого последующего синуса число меньше аргумента и положительное (так как синус углов от 0 до 1 положительный). Получаем монотонно убывающую последовательность, ограниченную снизу числом 0. По теореме Вейерштрасса такая последовательность имеет предел. Предположим, что этот предел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0>0$ . Тогда, взяв от него очередной синус, получаем значение меньше предела, так как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin x_0<x_0$ , т.е. последовательность продолжает убывать, чего быть не может. Значит, предел 0.
2) Если начальный х такой, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin x<0$ , т.е. от -1 до 0. В этом случае есть неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin x>x$ и получаем теми же рассуждениями монотонно возрастающую последовательность, ограниченную числом 0 сверху. По той же теореме Вейерштрасса она имеет предел, и точно так же доказывается, что это 0.
Ответ 0

@Igor · 24.04.2016, 09:28

Нетрудно доказать фундаментальность последовательности.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

@Knik 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.04.2016 Сообщений: 4

	Вычислить предел, тригонометрические функции 23.04.2016, 22:51. Показов 1146. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Нужно найти предел lim (n -> inf) sinsinsin...sinx, где n - количество этих гребанных синусов. Как решить такое? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	24.04.2016, 00:07
	Может лучше переформулировать? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{n+1}=\sin {x}_{n},\ {x}_{0}=x.$ Тогда нужно найти $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{}{x}_{n}.$ 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	24.04.2016, 00:32
	Сообщение было отмечено Том Ардер как решение Решение Способ численных методов: Известен способ решения уравнений вида f(x)=0 путём представления его в виде уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi \left(x \right)=x$ , причём условием сходимости метода есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\| \varphi' \left(x \right)\right\|<1$ . Это означает, что беря последовательные итерации $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0\\x_1=\varphi \left(x_0 \right)\\x_2=\varphi \left(x_1 \right)\\....\\x_n=\varphi \left(x_{n-1} \right)$ , получаем в пределе корень уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\varphi \left(x \right)$ , в вашем случае уравнения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x=\sin x$ , а это х=0 (единственный). Т.е. ваш предел равен 0. Способ матанализа. Начальное х можно взять любое. Тогда при n=1 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin x \in \left[-1;1 \right]$ 1) Взято х такое, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin x >0$ . Так как этот синус есть аргументом для более внешнего синуса, то это как бы угол в радианах - от 0 до 1 радиана (т.е. острый). Для острых положительных углов известно неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin x<x$ , и получаем при взятии каждого последующего синуса число меньше аргумента и положительное (так как синус углов от 0 до 1 положительный). Получаем монотонно убывающую последовательность, ограниченную снизу числом 0. По теореме Вейерштрасса такая последовательность имеет предел. Предположим, что этот предел $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_0>0$ . Тогда, взяв от него очередной синус, получаем значение меньше предела, так как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin x_0<x_0$ , т.е. последовательность продолжает убывать, чего быть не может. Значит, предел 0. 2) Если начальный х такой, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin x<0$ , т.е. от -1 до 0. В этом случае есть неравенство $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sin x>x$ и получаем теми же рассуждениями монотонно возрастающую последовательность, ограниченную числом 0 сверху. По той же теореме Вейерштрасса она имеет предел, и точно так же доказывается, что это 0. Ответ 0 1

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	24.04.2016, 09:28
	Нетрудно доказать фундаментальность последовательности. 0

Вычислить предел, тригонометрические функции

Решение