Дифференциал сложной функции

Допустим y = f(x) функция от аргумента x, а x в свою очередь фукция от t, x = g(t). Допустим далее что x = g(t) дифференцируема в точке , а y дифференецируема в точке . Тогда по определению с одной стороны дифференциал y в точке будет а используя результат инвариантности дифференциала по отношению к аргументу имеем так же . Получается ? Но ведь этого не может быть, ведь dx лишь линейная часть приращения . В какой части я ошибся?

0

На самом деле: - произвольное приращение (первичной переменной - параметра), а вот - действительно линейная часть приращения функции

1

В том, что вы приравняли правые части двух выражений, неявно полагая, что dy - величина, зависящая только от точки x₀ и от вида функции f. На самом деле она линейно зависит от приращения, которое может быть любое.

1

Спасибо за ответы. Это пожалуй и есть момент который я не совсем понимаю, но конкретно, что не понимаю - объяснить затрудняюсь. Правильно ли будет сказать что и два эквивалентных определения дифференциала y, только в первом случае оно зависит от производной и любого приращения x, а во втором от производной и от dx, где dx уже не любая величина и она сама зависит от и произвольного приращения t? Но если даже так, у меня есть еще один вопрос, касающийся второго дифференциала. Если брать , то так как dx не произвольная придется использовать формулу дифференцирования умножения двух функций и получится правильный результат. А если брать то что нам мешает считать произвольное приращение x константой и просто вывести ее из дифференциала?

0

Сообщение от iNarek94 то так как dx не произвольная придется использовать формулу дифференцирования умножения двух функций и получится правильный результат

Придётся.

Сообщение от iNarek94 что нам мешает считать произвольное приращение x константой и просто вывести ее из дифференциала?

Ничего не мешает.
Формула второго дифференциала одна и та же:

Отличия ваших случаев в том, что если dx - приращение, не зависящее от t, то это дифференциал от константы, то есть 0, и второго слагаемого не будет. А если x=g(t), то второе слагаемое будет. При выражении d²y через t получается:

То, что в последнем выражении в больших скобках, равно , и всё законно, если убрать промежуточную переменную х и рассматривать y как функцию сразу от t:

1

Может, в этой теме найдёте что-нибудь интересное:
Дифференциалы высших порядков

1

@jogano,
Правильно ли я понимаю, что в лучае сложной функции и это разные обозначения, ибо первое дифференциал y по x, а второе дифференциал y по t ()? Если рассматривать дифференциал y по t, то второй дифференциал имеет вид, который Вы получили, так как и и функции от t, однако меня интересует и второй дифференциал по x. Правильно ли будет в этом случае написать , т.е. рассмотрет дифференциал сложной функции по её первой переменной, и считать приращение произвольным?

@helter, Спасибо! Я как-раз до того как Вы написали наткнулся на определение дифференциала оператора как (дальше вероятно напишу чепуху, ибо я некоторые моменты не понял) канонический базис множества линейных операторов , только тут не совсем понятно что имеется ввиду. Вот в Вашем ответе я понял определение производной Фреше, и то что вторая поизводная есть квадратичная форма тоже понял. Но причем тут канонический базис? Это ведь базис из Жордановых цепей, так? Но ведь для его конструирования надо иметь оператор, для которого и строится этот базис. А тут просто написано "канонический базис линейных операторов".

0

Насчёт канонического базиса я тоже в недоумении. Даже в каком смысле канонический — непонятно. Производная в точке — это линейный оператор , а дифференциал — выражение , которое можно рассматривать как функцию от x_0 и h.

Кстати, выражение «функция y = f(x)» — это тоже какая-то мантра, которая, мне кажется, характерна для школы и «высшей математики» (комплексу математических дисциплин, преподаваемых на технических специальностях). Функция — это такое правило. Правилу можно дать имя — например, f. Если a — элемент области определения, правило f ставит ему в соответствие единственный элемент множества значений, который обозначается f(a).

Вот что получается, если переписать исходный вопрос без мантр: «Допустим, f и g ― функции, F = f∘g ― их композиция, и что все они дифференцируемы. Тогда дифференциал f в точке a = g(b) ― это выражение f'(a)h, а дифференциал F в точке b ― это выражение F'(b)k = f'(a)g'(b)k, где, кстати говоря, выражение g'(b)k является дифференциалом функции g.»

1

@helter,

Хорошо, в таком случае второй дифференциал f в точке a = g(b) будет ? Что в переводе на мантру то же самое ?

А второй дифференциал функции F будет (используя правило дифференцирования композиции функций) ? (я для удобства через назначил линейный оператор - первую производную f в точке a).

И если так, то как это сопоставить с дифференцированием произведения функций к примеру в одномерном случае вещественных чисел , , ?

0

Сообщение от iNarek94 Правильно ли я понимаю, что в лучае сложной функции и это разные обозначения

Обозначают вторым образом.

Сообщение от iNarek94 однако меня интересует и второй дифференциал по x. Правильно ли будет в этом случае написать , т.е. рассмотрет дифференциал сложной функции по её первой переменной, и считать приращение произвольным?

Пишут в этом случае , не , где dx - произвольное.
Если нет t, то что , что dx суть одно и то же. Просто не пишут, если нет t.
, а , но это если есть t.
Вообще, суть ваших затруднений я не улавливаю.

0

Сообщение от iNarek94 Хорошо, в таком случае второй дифференциал f в точке a = g(b) будет https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}^{''}(a)hh? Что в переводе на мантру то же самое https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}^{''}(x){\Delta x}^{2}?

Ну да. В одномерном случае это зависящий от x коэффициент умножается на квадрат другой переменной, а в многомерном — завясящее от x билинейное отображение применяется к двум одинаковым векторам.

Сообщение от iNarek94 А второй дифференциал функции F будет (используя правило дифференцирования композиции функций)

Не, так не может быть, чтобы какая-либо производная от f вычислялась бы от производной. Все производные вычисляются в точках.

В одномерном случае формула будет

Её легко получить, дифферерцируя формулу дифференциала сложной функции и помня, что dx ― это на самом деле странное имя, данное переменным h и k, не зависящих от x, после их приравнивания.

В многомерном случае и формула остаётся по сути та же, и её вывод. Давайте посмотрим.

Во-первых, формула производной сложной функции выглядит так:
F'(t) = (f∘g)'(t) = f'(g(t)) g'(t)
где ― внимание! ― g'(x) ― это линейный оператор, и f'(g(x)) ― линейный оператор, и в правой части записано произведение линейных операторов, то есть суперпозиция операторов.

Можно применить левую и правую часть к произвольному вектору h и получить равенство дифференциалов:
F'(t)h = (f∘g)'(t)h = f'(g(t)) g'(t) h
В правой части первый пробел ― умножение (то есть суперпозиция) линейных операторов, а второй ― применение оператора к вектору. Эти пробелы ассоциативны.

Во-вторых, вторая производная ― это не совсем производная первой производной (которая является линейным оператором, действующим в пространство линейных операторов), а ассоциированный с ней билинейный оператор, который к тому же симметрический:
F''(t)(h, k) = ((F')'(t)h)k

Теперь ― насчёт дифференцирования произведения и вообще, билинейных отображений. Есть такая легко проверяемая формула:
B'(u, v)(h, k) = B(h, v) + B(u, k).
Билинейное отображение задано на парах (x, y), то есть на сумме пространств, поэтому и производную мы применяем к парам (h, k) ― элементам суммы. Комбинируя с формулой производной сложной функции, можно получить
∂_x B(φ(x), ψ(x)) h = B'(φ(x), ψ(x)) (φ'(x)h, ψ'(x)h) = B(φ'(x)h, ψ(x)) + B(φ(x), ψ'(x)h)
Легко узнать формулу Лейбница. Я здесь пользуюсь «производной по переменной». В принципе, это тоже мантра. Если непонятно, что имеется в виду, могу пояснить.

Кстати, если одна из функций ― постоянная, её производная равна 0, и получаем знакомые формулы
∂_x B(a, ψ(x)) h = B(a, ψ'(x)h)
∂_x B(φ(x), b) h = B(φ'(x)h, b)
― это насчёт «вынесения постоянного множителя за знак производной».

Нам производная билинейных отображений потребуется для повторного дифференцирования сложной функции: ведь произведение операторов и применение оператора к вектору как раз билинейны. Попробуем расписать аккуратно:

F''(t)(h, k) = ((F')'(t)h)k = (∂_t (F'(t)h))k = (∂_t (f'(g(t)) (g'(t) h)))k
(производная произведения операторов и производная сложной функции)
= ((∂_t f'(g(t)))k)(g'(t)h) + f'(g(t))((∂_t(g'(t)h))k)
= ((f')'(g(t)) g'(t) k) (g'(t) h) + f'(g(t)) (((g')'(t)h) k)
= f''(g(t))(g'(t)k, g'(t)h) + f'(g(t)) g''(t)(h, k)

Результат:
F''(t)(h, k) = f''(g(t))(g'(t)k, g'(t)h) + f'(g(t)) g''(t)(h, k)

Полная аналогия с одномерным случаем.

Это «дифференциальное исчисление для серьёзных людей» кажется громоздким, но на самом деле ничего ужасного в нём нет.

0