Найти длину конической винтовой линии

slovnosvoboda · Регистрация: 21.09.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Добрый день. Возникла необходимость найти длину конической винтовой линии. С обычной цилиндрической винтовой линией всё понятно: на развертке она является гипотенузой треугольника с двумя катетами и по теореме Пифагора элементарно можно посчитать её длину. Но конической винтовой линией на развертке является не прямая.. Каким образом посчитать её длину?

@SSC · 10.09.2019, 15:13

Смотри материалы по длине дуги спирали Архимеда.

slovnosvoboda · 10.09.2019, 15:25 **[ТС]**

Т.е. считать кривую на развертке спиралью Архимеда?

@woldemas · 10.09.2019, 17:31

Сообщение от slovnosvoboda

Каким образом посчитать её длину?

А что нельзя просто проинтегрировать дифференциал длины?

@SSC · 11.09.2019, 07:27

Сообщение от slovnosvoboda

Т.е. считать кривую на развертке спиралью Архимеда?

Да.
Развертка конуса это сектор с некоторым углом раскрытия. Один виток винтовой линии на конусе, это кусочек спирали Архимеда на развертке. Для упрощения Вы можете пристыковать следующий виток спирали на развертке к предыдущему. (То есть последовательно складывать развертки с витками по кругу). В итоге Вы будете иметь спираль Архимеда от некоторого стартового угла до некоторого конечного угла (это Ваши начальные условия по Вашей конусной спирали).
А далее просто считаете приведенный в материалах интеграл от начального до конечного угла.

Сообщение от woldemas

А что нельзя просто проинтегрировать дифференциал длины?

Конечно можно, но для этого надо составить 3D уравнение для спирали. И что в итоге преобразований для упрощения интегрирования приведет к той же спирали Архимеда (только мы об этом можем и не догадываться)

@Excalibur921 · 11.09.2019, 13:20

Сообщение от SSC

Один виток винтовой линии на конусе, это кусочек спирали Архимеда на развертке.

Это проекция витка а не он сам, потому решение сумма длин из мелких отрезков.

@SSC · 11.09.2019, 15:28

Сообщение от Excalibur921

Это проекция витка а не он сам,

Проекция витка на что?

@jogano · 11.09.2019, 15:53

slovnosvoboda, у вас задача сформулирована "на пальцах", без каких-то исходных данных. Если ваше условие не корректировать, то ответом (тоже "на пальцах"), будет, например, пост #4. Я именно так и делал.
А как надо бы формулировать задачу: Дан прямой круговой конус с радиусом основания R, выстой H, вершиной в начале координат и осью, лежащей на полуоси OZ+. Найти длину винтовой линии на боковой поверхности конуса с шагом по высоте, равным h (либо нужно задать количество витков n , вмещающихся на боковой поверхности конуса).
Вот тогда можно сделать и написать ответ для сверки. А у вас это как-то абстрактно всё...

slovnosvoboda · 16.09.2019, 11:13 **[ТС]**

Сообщение от SSC

Да.
Развертка конуса это сектор с некоторым углом раскрытия. Один виток винтовой линии на конусе, это кусочек спирали Архимеда на развертке. Для упрощения Вы можете пристыковать следующий виток спирали на развертке к предыдущему. (То есть последовательно складывать развертки с витками по кругу). В итоге Вы будете иметь спираль Архимеда от некоторого стартового угла до некоторого конечного угла (это Ваши начальные условия по Вашей конусной спирали).
А далее просто считаете приведенный в материалах интеграл от начального до конечного угла.

Для простоты рассмотрим 1 виток винтовой линии конусной спирали.
Один виток винтовой линии конусной спирали на развертке является дугой Архимедовой спирали с углом 2Pi.
Исходя из формул, указанных в Википедии длина дуги Архимедовой спирали находится по формуле:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L = \frac{a}{4\pi}*(\varphi*\sqrt{1+{\varphi}^{2}}+ln(\varphi + \sqrt{1 + {\varphi }^{2}}))$
, где:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a$ - шаг спирали,
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\varphi$ - угол дуги Архимедовой спирали (Для одного витка = 2Pi).
Правильно ли так считать? В данной формуле никак не фигурирует радиус конуса и это меня смущает..

@SSC · 16.09.2019, 14:06

Сообщение от slovnosvoboda

В данной формуле никак не фигурирует радиус конуса и это меня смущает..

Меня сильно смущает откуда Вы взяли

Сообщение от slovnosvoboda

Один виток винтовой линии конусной спирали на развертке является дугой Архимедовой спирали с углом 2Pi.

Развертка прямого конуса это круговой сектор. (Попробуйте сделать развертку из листка бумаги) Сначала надо определить угол разворота сектора.

slovnosvoboda · 17.09.2019, 07:46 **[ТС]**

Сообщение от SSC

Развертка прямого конуса это круговой сектор. (Попробуйте сделать развертку из листка бумаги) Сначала надо определить угол разворота сектора.

Всё верно. Развертка конуса - сектор, на котором один виток винтовой линии представляет из себя 2 спирали. Если их соединить, то получается угол 2Pi.

Сообщение от SSC

Сначала надо определить угол разворота сектора.

Для чего?

@SSC · 17.09.2019, 10:43

Сообщение от slovnosvoboda

Для чего?

Спираль Архимеда нужна не та, которая на виде сверху, а та которая получится на развертке.
Возьмите копию сектора развертки, поверните по часовой стрелке на угол фи, и приложите к отображенному сектору.
Вы увидите строящуюся спираль Архимеда на развертке, вот ее длину (или длину необходимого Вам участка) и надо искать.
Вот при определении шага получающейся спирали Вам и потребуются параметры конуса (высота, радиус основания или угол уклона конуса), а также радиусы начала и конца спирали - по которым определиться диапазон интегрирования по углу (и уголы именно на развертке).

slovnosvoboda · 17.09.2019, 11:49 **[ТС]**

Сообщение от SSC

Спираль Архимеда нужна не та, которая на виде сверху, а та которая получится на развертке.
Возьмите копию сектора развертки, поверните по часовой стрелке на угол фи, и приложите к отображенному сектору.
Вы увидите строящуюся спираль Архимеда на развертке, вот ее длину (или длину необходимого Вам участка) и надо искать.

Да это понятно.. Я про эту же спираль и пишу, только другими словами:

Сообщение от slovnosvoboda

Развертка конуса - сектор, на котором один виток винтовой линии представляет из себя 2 спирали. Если их соединить, то получается угол 2Pi.

Сообщение от SSC

Вот при определении шага получающейся спирали Вам и потребуются параметры конуса (высота, радиус основания или угол уклона конуса), а также радиусы начала и конца спирали - по которым определиться диапазон интегрирования по углу (и уголы именно на развертке).

Если шаг спирали известен, то могу ли я использовать последнюю формулу (которая без интеграла), приведенную в википедии (Вычисление длины дуги Архимедовой спирали)? Её же кстати я и указывал чуть выше.

@SSC · 17.09.2019, 11:55

Сообщение от slovnosvoboda

могу ли я использовать последнюю формулу (которая без интеграла),

Да, можно. Только при условии, что спираль начинается в вершине конуса (фи=0).

Сообщение от slovnosvoboda

Если их соединить, то получается угол 2Pi.

Это возможно, но на Вашем рисунке (если он в масштабе) суммарный угол не 2пи

slovnosvoboda · 17.09.2019, 12:05 **[ТС]**

Сообщение от SSC

Да, можно. Только при условии, что спираль начинается в вершине конуса (фи=0).

А если не в вершине?

@jogano · 17.09.2019, 15:08

Как только студенты не выкручиваются, лишь бы самим не взять интеграл!
Вводим параметризацию по t (угол в системе координат XYZ, отсчитываемый в направлении от OX+ к OY+):
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}x=\frac{Rh}{2 \pi H}t\cos t \\ y=\frac{Rh}{2 \pi H}t\sin t \\ z= \frac{h}{2 \pi}t\end{cases}$
Взяв такой интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{T}\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2}dt$ , получаем искомую длину
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L=\frac{Rh}{2 \pi H}\left(\frac{T}{2} \sqrt{T^2+1+\frac{H^2}{R^2}}+\frac{1+\frac{H^2}{R^2}}{2} \ln \frac{T+\sqrt{T^2+1+\frac{H^2}{R^2}}}{\sqrt{1+\frac{H^2}{R^2}}} \right)$
Один оборот по винтовой линии соответствует углу T=2П, n полных оборотов - углу 2Пn.

@SSC · 17.09.2019, 15:10

Сообщение от slovnosvoboda

А если не в вершине?

Тогда надо определить величину начального угла фи0 для спирали Архимеда, и используя формулу из Вики определить длину спирали от вершины конуса до этой точки и вычесть из предыдущего расчета.

slovnosvoboda · 17.09.2019, 16:00 **[ТС]**

Сообщение от jogano

Вводим параметризацию по t (угол в системе координат XYZ, отсчитываемый в направлении от OX+ к OY+)

Какую литературу почитать по этой теме? Я просто в этом не силен, а хотелось бы разобраться..

Не по теме:

Сообщение от jogano

Как только студенты не выкручиваются, лишь бы самим не взять интеграл!

Был бы студентом..

@jogano · 17.09.2019, 16:13

Сообщение от slovnosvoboda

Какую литературу почитать по этой теме?

Хотя бы классику жанра - Фихтенгольц "Курс дифференциального и интегрального исчисления" том 2, глава 10 "Приложения интегрального исчисления к геометрии, механике и физике", $1 "Длина кривой", п.334 "Длина дуги пространственной кривой".

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

slovnosvoboda 9 / 9 / 5 Регистрация: 21.09.2015 Сообщений: 103

	Найти длину конической винтовой линии 10.09.2019, 15:00. Показов 12610. Ответов 18 Метки винтовая линия, коническая винтовая линия (Все метки) Добрый день. Возникла необходимость найти длину конической винтовой линии. С обычной цилиндрической винтовой линией всё понятно: на развертке она является гипотенузой треугольника с двумя катетами и по теореме Пифагора элементарно можно посчитать её длину. Но конической винтовой линией на развертке является не прямая.. Каким образом посчитать её длину? 0

@SSC $Эксперт по математике/физике$ 3390 / 1913 / 571 Регистрация: 09.04.2015 Сообщений: 5,365
	10.09.2019, 15:13
	Смотри материалы по длине дуги спирали Архимеда. 0

slovnosvoboda 9 / 9 / 5 Регистрация: 21.09.2015 Сообщений: 103
	10.09.2019, 15:25 [ТС]
	Т.е. считать кривую на развертке спиралью Архимеда? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	11.09.2019, 15:53
	slovnosvoboda, у вас задача сформулирована "на пальцах", без каких-то исходных данных. Если ваше условие не корректировать, то ответом (тоже "на пальцах"), будет, например, пост #4. Я именно так и делал. А как надо бы формулировать задачу: Дан прямой круговой конус с радиусом основания R, выстой H, вершиной в начале координат и осью, лежащей на полуоси OZ+. Найти длину винтовой линии на боковой поверхности конуса с шагом по высоте, равным h (либо нужно задать количество витков n , вмещающихся на боковой поверхности конуса). Вот тогда можно сделать и написать ответ для сверки. А у вас это как-то абстрактно всё... 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	17.09.2019, 15:08
	Как только студенты не выкручиваются, лишь бы самим не взять интеграл! Вводим параметризацию по t (угол в системе координат XYZ, отсчитываемый в направлении от OX+ к OY+): $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}x=\frac{Rh}{2 \pi H}t\cos t \\ y=\frac{Rh}{2 \pi H}t\sin t \\ z= \frac{h}{2 \pi}t\end{cases}$ Взяв такой интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{T}\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2}dt$ , получаем искомую длину $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?L=\frac{Rh}{2 \pi H}\left(\frac{T}{2} \sqrt{T^2+1+\frac{H^2}{R^2}}+\frac{1+\frac{H^2}{R^2}}{2} \ln \frac{T+\sqrt{T^2+1+\frac{H^2}{R^2}}}{\sqrt{1+\frac{H^2}{R^2}}} \right)$ Один оборот по винтовой линии соответствует углу T=2П, n полных оборотов - углу 2Пn. 2