Используя эйлеровы интегралы, вычислить интеграл - Математический анализ - Страница 2

@szl · 23.03.2020, 23:05 **[ТС]**

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Ну вот смотрите, первый интеграл из 11 поста, только сразу имеем ввиду, что степень с минусом.
Мы делаем замену этой скобки

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m=\frac{a}{t}-t => dm=dt(-\frac{a}{{t}^{2}}-1)$
И если вынести минус в правой части и домножить обе части на -1, то мы сможем подставить -dm вместо

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\frac{a}{{t}^{2}}+1)dt$

Получим такой интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\int_{-\infty}^{\infty}{e}^{-{m}^{2}}dm=-\sqrt{\pi}$
И умножить еще на экспоненту в степени -2а

Добавлено через 43 секунды

Сообщение от allmass

Откуда взялся минус? У меня вышло с плюсом.

Это к этому вопросу.

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от allmass

так что у вас вышло, я так и не понял?

Да я там пропустил его, там минус перед интеграл, т.е. вот так
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\sqrt{\pi}{e}^{-2a}-\int ...$ просто опечатка была

@allmass · 23.03.2020, 23:07

По-моему, там пределы должны быть с точностью до наоборот. Если t=0 то чему равно m?

@szl · 23.03.2020, 23:10 **[ТС]**

Мне стыдно, ахаха

Понял ошибку, вы правы, спасибо большое!

@allmass · 23.03.2020, 23:26

Думал насчет первого интеграла из первого поста. Не знаю, может можно как-то проще сделать, но попробуйте для начала замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1}{x}$ .

Добавлено через 12 минут
У меня в итоге вышло $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2\pi }{\sqrt[3]{2}\sqrt{3}}$ .

@szl · 24.03.2020, 11:03 **[ТС]**

Да, с этой заменой тоже самое получилось. С ответом сошлось.
Но можно ли преобразовать интеграл к такому виду?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}{t}^{x-1}{(1-t)}^{y-1}dt=B(x,y)$

А потом посчитать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B(x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Gamma(x+\frac{1}{2})=\frac{1*3*...*(2x-1)}{{2}^{x}}\sqrt{\pi}$ или с помощью этого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{sin(\pi x)}$

Чтобы получить ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{\sqrt[6]{108}}$ . Он по идее и получается при замене $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1}{x}$ , но может есть замена, приводящая к бета-функции.

@allmass · 24.03.2020, 13:24

Сообщение от szl

Да, с этой заменой тоже самое получилось.

Можете показать что у вас вышло?

Сообщение от szl

но может есть замена, приводящая к бета-функции

Бета-функцию можно записать еще и через такой интеграл: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B(p,q)=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+q}}dx$ . Как раз такой интеграл я и получил используя замену t=1/x, правда, пришлось еще сделать пару замен.

@szl · 24.03.2020, 14:09 **[ТС]**

После замены $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1}{x}$ получил $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{1}^{\infty}\frac{dt}{(1+t){(1-t)}^{1/3}}$
Теперь пробовал замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m=\frac{1}{1-t}$ и получил $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\int_{0}^{\infty}\frac{dm}{(1+1-\frac{1}{m}){m}^{5/3}}$

@allmass · 24.03.2020, 14:26

После замены t=1/x у меня вышло $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{1}^{\infty}\frac{dt}{(1+t)\sqrt[3]{t-1}}$ . Потом я сделал замену m=t-1.

@szl · 24.03.2020, 14:44 **[ТС]**

Сообщение от allmass

Потом я сделал замену m=t-1.

Получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\infty}\frac{dm}{(2+m){m}^{1/3}}$

@allmass · 24.03.2020, 15:23

Теперь замена m=2z и выходит бета функция.

Добавлено через 29 минут
Второй способ: в исходном интеграле сделать замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1-x}{1+x}$ . Получится бета-функция но уже в виде интеграла от 0 до 1.

@szl · 24.03.2020, 15:25 **[ТС]**

Сообщение от allmass

Теперь замена m=2z и выходит бета функция.

С такой заменой все получилось, спасибо!)

Еще вторым обязательно попробую, спасибо огромное!!

@allmass · 24.03.2020, 15:27

Удачи.)

@szl · 24.03.2020, 18:21 **[ТС]**

allmass, спасибо вам, другая замена тот же ответ дала. А в задачнике дан неправильный ответ..

@Том Ардер · 24.03.2020, 18:46

Сообщение от szl

А в задачнике дан неправильный ответ

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[6]{108}=\sqrt[3]{2}\sqrt{3}$

@szl · 24.03.2020, 18:47 **[ТС]**

Том Ардер, у нас еще 2 в числителе есть. Это я расписывал так)

@Том Ардер · 24.03.2020, 19:04

Правильный ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2\pi }{\sqrt[3]{2}\sqrt{3}}$

@szl · 24.03.2020, 19:07 **[ТС]**

Том Ардер, да))

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Nekobox - outbounds[0].transport: unknown transport type: raw damix 01.10.2026 Фикс ошибки Правым кликом по серверу -> отладочная информация -> edit Заменить "net": "raw", на "net": "tcp", Нажать кнопку reload.	Программный домашний кинотеатр russiannick 27.09.2026 Сподобился на программный домашний кинотеатр. В качестве ЯВУ по традиции выбрал js. В помощники взял Яндекс-Алису. Было создано три зала на разные интересы. исторические и ретро сериал Хичкок. . .	Беседа с ИИ о программистах, недопускающих к созданию и правке кода генеративные ИИ и причины этого zorxor 21.09.2026 Раньше я радовался или получал некоторые эмоции, пусть небольшие, но всё же, от самого процесса написания кода, рекомпиляции и запуска, видя постепенное развитие программы и прочее. А теперь лень. . .	Мобильное приложение ColorStep pavlinmavlin 17.09.2026 Реализовал приложение Красный, Зеленый, Синий в Unity3d + c#. Название изменил на ColorStep. Приложение прошло модерацию и теперь доступно для скачивания. Делал его сам, шаг за шагом — и вот,. . .
Запрет дублирования строк в табличной части Maks 13.09.2026 Реализация из решения ниже выполнена на нетиповом справочнике "Нормы ТО" с табличной часть "Виды ТО", разработанного в КА2, со следующими реквизитами: - ВидТО (СправочникСсылка. ВидыТО); - ВидГСМ. . .	Скрипты Tampermonkey для CyberForum, ChatGPT, Claude и пр. Jin X 06.09.2026 Скрипты Tampermonkey для CyberForum, ChatGPT, Claude и пр. Работая с форумом и нейросетями в браузере часто хочется что-то подкорректировать или добавить какого-то функционала. Ниже прикреплён. . .	Программа опроса у.з. расходомера SLS-720F Argus19 02.09.2026 Программа опроса у. з. расходомера SLS-720F Программа опрашивает один раз в минуту три ультразвуковых расходомера SLS-720F через интерфейс RS-485 по протоколу Modbus RTU. Опрашиваются регистры. . .	Hyper-V: Компьютер должен поддерживать доверенный платформенный модуль 2.0. Maks 31.08.2026 При установке Windows 11 на виртуальную машину Hyper-V 2-го поколения вылезла такая ошибка: Решение: в параметрах виртуальной машины, в разделе "Безопасность" (Security) активировать флаг. . .

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	23.03.2020, 23:07
	По-моему, там пределы должны быть с точностью до наоборот. Если t=0 то чему равно m? 0

@szl 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.10.2018 Сообщений: 54
	23.03.2020, 23:10 [ТС]
	Мне стыдно, ахаха Понял ошибку, вы правы, спасибо большое! 0

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	23.03.2020, 23:26
	Думал насчет первого интеграла из первого поста. Не знаю, может можно как-то проще сделать, но попробуйте для начала замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1}{x}$ . Добавлено через 12 минут У меня в итоге вышло $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2\pi }{\sqrt[3]{2}\sqrt{3}}$ . 0

@szl 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.10.2018 Сообщений: 54
	24.03.2020, 11:03 [ТС]
	Да, с этой заменой тоже самое получилось. С ответом сошлось. Но можно ли преобразовать интеграл к такому виду? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}{t}^{x-1}{(1-t)}^{y-1}dt=B(x,y)$ А потом посчитать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B(x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Gamma(x+\frac{1}{2})=\frac{13...*(2x-1)}{{2}^{x}}\sqrt{\pi}$ или с помощью этого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{sin(\pi x)}$ Чтобы получить ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{\sqrt[6]{108}}$ . Он по идее и получается при замене $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1}{x}$ , но может есть замена, приводящая к бета-функции. 0

@szl 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.10.2018 Сообщений: 54
	24.03.2020, 14:09 [ТС]
	После замены $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1}{x}$ получил $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{1}^{\infty}\frac{dt}{(1+t){(1-t)}^{1/3}}$ Теперь пробовал замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m=\frac{1}{1-t}$ и получил $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\int_{0}^{\infty}\frac{dm}{(1+1-\frac{1}{m}){m}^{5/3}}$ 0

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	24.03.2020, 14:26
	После замены t=1/x у меня вышло $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{1}^{\infty}\frac{dt}{(1+t)\sqrt[3]{t-1}}$ . Потом я сделал замену m=t-1. 0

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	24.03.2020, 15:23
	Теперь замена m=2z и выходит бета функция. Добавлено через 29 минут Второй способ: в исходном интеграле сделать замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1-x}{1+x}$ . Получится бета-функция но уже в виде интеграла от 0 до 1. 0

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	24.03.2020, 15:27
	Удачи.) 0

@szl 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.10.2018 Сообщений: 54
	24.03.2020, 18:21 [ТС]
	allmass, спасибо вам, другая замена тот же ответ дала. А в задачнике дан неправильный ответ.. 0

@szl 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.10.2018 Сообщений: 54
	24.03.2020, 18:47 [ТС]
	Том Ардер, у нас еще 2 в числителе есть. Это я расписывал так) 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3416 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,817
	24.03.2020, 19:04
	Правильный ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2\pi }{\sqrt[3]{2}\sqrt{3}}$ 0

Опции темы

@szl 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.10.2018 Сообщений: 54
	24.03.2020, 19:07 [ТС]
	Том Ардер, да)) 0