Используя эйлеровы интегралы, вычислить интеграл - Математический анализ - Страница 2

@szl · 23.03.2020, 23:05 **[ТС]**

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Ну вот смотрите, первый интеграл из 11 поста, только сразу имеем ввиду, что степень с минусом.
Мы делаем замену этой скобки

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m=\frac{a}{t}-t => dm=dt(-\frac{a}{{t}^{2}}-1)$
И если вынести минус в правой части и домножить обе части на -1, то мы сможем подставить -dm вместо

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?(\frac{a}{{t}^{2}}+1)dt$

Получим такой интеграл $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\int_{-\infty}^{\infty}{e}^{-{m}^{2}}dm=-\sqrt{\pi}$
И умножить еще на экспоненту в степени -2а

Добавлено через 43 секунды

Сообщение от allmass

Откуда взялся минус? У меня вышло с плюсом.

Это к этому вопросу.

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от allmass

так что у вас вышло, я так и не понял?

Да я там пропустил его, там минус перед интеграл, т.е. вот так
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\sqrt{\pi}{e}^{-2a}-\int ...$ просто опечатка была

@allmass · 23.03.2020, 23:07

По-моему, там пределы должны быть с точностью до наоборот. Если t=0 то чему равно m?

@szl · 23.03.2020, 23:10 **[ТС]**

Мне стыдно, ахаха

Понял ошибку, вы правы, спасибо большое!

@allmass · 23.03.2020, 23:26

Думал насчет первого интеграла из первого поста. Не знаю, может можно как-то проще сделать, но попробуйте для начала замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1}{x}$ .

Добавлено через 12 минут
У меня в итоге вышло $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2\pi }{\sqrt[3]{2}\sqrt{3}}$ .

@szl · 24.03.2020, 11:03 **[ТС]**

Да, с этой заменой тоже самое получилось. С ответом сошлось.
Но можно ли преобразовать интеграл к такому виду?
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}{t}^{x-1}{(1-t)}^{y-1}dt=B(x,y)$

А потом посчитать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B(x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Gamma(x+\frac{1}{2})=\frac{1*3*...*(2x-1)}{{2}^{x}}\sqrt{\pi}$ или с помощью этого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{sin(\pi x)}$

Чтобы получить ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{\sqrt[6]{108}}$ . Он по идее и получается при замене $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1}{x}$ , но может есть замена, приводящая к бета-функции.

@allmass · 24.03.2020, 13:24

Сообщение от szl

Да, с этой заменой тоже самое получилось.

Можете показать что у вас вышло?

Сообщение от szl

но может есть замена, приводящая к бета-функции

Бета-функцию можно записать еще и через такой интеграл: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B(p,q)=\int_{0}^{\infty}\frac{x^{p-1}}{(1+x)^{p+q}}dx$ . Как раз такой интеграл я и получил используя замену t=1/x, правда, пришлось еще сделать пару замен.

@szl · 24.03.2020, 14:09 **[ТС]**

После замены $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1}{x}$ получил $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{1}^{\infty}\frac{dt}{(1+t){(1-t)}^{1/3}}$
Теперь пробовал замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m=\frac{1}{1-t}$ и получил $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\int_{0}^{\infty}\frac{dm}{(1+1-\frac{1}{m}){m}^{5/3}}$

@allmass · 24.03.2020, 14:26

После замены t=1/x у меня вышло $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{1}^{\infty}\frac{dt}{(1+t)\sqrt[3]{t-1}}$ . Потом я сделал замену m=t-1.

@szl · 24.03.2020, 14:44 **[ТС]**

Сообщение от allmass

Потом я сделал замену m=t-1.

Получается $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{\infty}\frac{dm}{(2+m){m}^{1/3}}$

@allmass · 24.03.2020, 15:23

Теперь замена m=2z и выходит бета функция.

Добавлено через 29 минут
Второй способ: в исходном интеграле сделать замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1-x}{1+x}$ . Получится бета-функция но уже в виде интеграла от 0 до 1.

@szl · 24.03.2020, 15:25 **[ТС]**

Сообщение от allmass

Теперь замена m=2z и выходит бета функция.

С такой заменой все получилось, спасибо!)

Еще вторым обязательно попробую, спасибо огромное!!

@allmass · 24.03.2020, 15:27

Удачи.)

@szl · 24.03.2020, 18:21 **[ТС]**

allmass, спасибо вам, другая замена тот же ответ дала. А в задачнике дан неправильный ответ..

@Том Ардер · 24.03.2020, 18:46

Сообщение от szl

А в задачнике дан неправильный ответ

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sqrt[6]{108}=\sqrt[3]{2}\sqrt{3}$

@szl · 24.03.2020, 18:47 **[ТС]**

Том Ардер, у нас еще 2 в числителе есть. Это я расписывал так)

@Том Ардер · 24.03.2020, 19:04

Правильный ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2\pi }{\sqrt[3]{2}\sqrt{3}}$

@szl · 24.03.2020, 19:07 **[ТС]**

Том Ардер, да))

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Беседа с ИИ о программистах, недопускающих к созданию и правке кода генеративные ИИ и причины этого zorxor 21.09.2026 Раньше я радовался или получал некоторые эмоции, пусть небольшие, но всё же, от самого процесса написания кода, рекомпиляции и запуска, видя постепенное развитие программы и прочее. А теперь лень. . .	Мобильное приложение ColorStep pavlinmavlin 17.09.2026 Реализовал приложение Красный, Зеленый, Синий в Unity3d + c#. Название изменил на ColorStep. Приложение прошло модерацию и теперь доступно для скачивания. Делал его сам, шаг за шагом — и вот,. . .	Запрет дублирования строк в табличной части Maks 13.09.2026 Реализация из решения ниже выполнена на нетиповом справочнике "Нормы ТО" с табличной часть "Виды ТО", разработанного в КА2, со следующими реквизитами: - ВидТО (СправочникСсылка. ВидыТО); - ВидГСМ. . .	Скрипты Tampermonkey для CyberForum, ChatGPT, Claude и пр. Jin X 06.09.2026 Скрипты Tampermonkey для CyberForum, ChatGPT, Claude и пр. Работая с форумом и нейросетями в браузере часто хочется что-то подкорректировать или добавить какого-то функционала. Ниже прикреплён. . .
Программа опроса у.з. расходомера SLS-720F Argus19 02.09.2026 Программа опроса у. з. расходомера SLS-720F Программа опрашивает один раз в минуту три ультразвуковых расходомера SLS-720F через интерфейс RS-485 по протоколу Modbus RTU. Опрашиваются регистры. . .	Hyper-V: Компьютер должен поддерживать доверенный платформенный модуль 2.0. Maks 31.08.2026 При установке Windows 11 на виртуальную машину Hyper-V 2-го поколения вылезла такая ошибка: Решение: в параметрах виртуальной машины, в разделе "Безопасность" (Security) активировать флаг. . .	Архитектура биовида Стива в Майнкрафте: Зачем бонобо кубический каннибализм anaschu 30.08.2026 Кубический Вагинокапитализм в Minecraft: Математический инвариант ОДУ и рок Стивов-бонобо Главная задача разработанной «Модели Всего» — наглядно продемонстрировать наличие системной «судьбы». . .	Оттачиваю умение писать js программы. russiannick 30.08.2026 Проектом выходного дня стало написание Книги шифров Виженера. Итогом стала версия 200, синий туман. Синий туман назван так, потому что замораживает текст под собой. Нажатие синих кнопок управляют. . .

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	23.03.2020, 23:07
	По-моему, там пределы должны быть с точностью до наоборот. Если t=0 то чему равно m? 0

@szl 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.10.2018 Сообщений: 54
	23.03.2020, 23:10 [ТС]
	Мне стыдно, ахаха Понял ошибку, вы правы, спасибо большое! 0

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	23.03.2020, 23:26
	Думал насчет первого интеграла из первого поста. Не знаю, может можно как-то проще сделать, но попробуйте для начала замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1}{x}$ . Добавлено через 12 минут У меня в итоге вышло $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2\pi }{\sqrt[3]{2}\sqrt{3}}$ . 0

@szl 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.10.2018 Сообщений: 54
	24.03.2020, 11:03 [ТС]
	Да, с этой заменой тоже самое получилось. С ответом сошлось. Но можно ли преобразовать интеграл к такому виду? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{0}^{1}{t}^{x-1}{(1-t)}^{y-1}dt=B(x,y)$ А потом посчитать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?B(x,y)=\frac{\Gamma (x)\Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Gamma(x+\frac{1}{2})=\frac{13...*(2x-1)}{{2}^{x}}\sqrt{\pi}$ или с помощью этого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\frac{\pi}{sin(\pi x)}$ Чтобы получить ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\pi}{\sqrt[6]{108}}$ . Он по идее и получается при замене $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1}{x}$ , но может есть замена, приводящая к бета-функции. 0

@szl 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.10.2018 Сообщений: 54
	24.03.2020, 14:09 [ТС]
	После замены $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1}{x}$ получил $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{1}^{\infty}\frac{dt}{(1+t){(1-t)}^{1/3}}$ Теперь пробовал замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m=\frac{1}{1-t}$ и получил $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?-\int_{0}^{\infty}\frac{dm}{(1+1-\frac{1}{m}){m}^{5/3}}$ 0

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	24.03.2020, 14:26
	После замены t=1/x у меня вышло $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int_{1}^{\infty}\frac{dt}{(1+t)\sqrt[3]{t-1}}$ . Потом я сделал замену m=t-1. 0

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	24.03.2020, 15:23
	Теперь замена m=2z и выходит бета функция. Добавлено через 29 минут Второй способ: в исходном интеграле сделать замену $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?t=\frac{1-x}{1+x}$ . Получится бета-функция но уже в виде интеграла от 0 до 1. 0

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	24.03.2020, 15:27
	Удачи.) 0

@szl 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.10.2018 Сообщений: 54
	24.03.2020, 18:21 [ТС]
	allmass, спасибо вам, другая замена тот же ответ дала. А в задачнике дан неправильный ответ.. 0

@szl 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.10.2018 Сообщений: 54
	24.03.2020, 18:47 [ТС]
	Том Ардер, у нас еще 2 в числителе есть. Это я расписывал так) 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3416 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,817
	24.03.2020, 19:04
	Правильный ответ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{2\pi }{\sqrt[3]{2}\sqrt{3}}$ 0

@szl 0 / 0 / 0 Регистрация: 23.10.2018 Сообщений: 54
	24.03.2020, 19:07 [ТС]
	Том Ардер, да)) 0