Интегрирование иррациональных функций

@obsession · Регистрация: 11.03.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Помогите, пожалуйста, вычислить интеграл

@Igor · 13.03.2012, 10:24

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{dx}{\sqrt[3]{{(x+1)}^{2}{(x-1)}^{4}}}=\int \frac{dx}{\sqrt[3]{{(x+1)}^{2}{(x-1)}^{2}{(x-1)}^{2}}}=\int \frac{dx}{\sqrt[3]{{({x}^{2}-1)}^{2}{(x-1)}^{2}}}=\int \frac{dx}{\sqrt[3]{{[{x}^{2}(x-1)-(x-1)]}^{2}}}=[x-1=t,\ x=t+1,\ dx=dt]=\int \frac{dt}{\sqrt[3]{{{[(t+1)}^{2}t-t]}^{2}}}=<br /> =\int \frac{dt}{\sqrt[3]{{({t}^{3}+2{t}^{2})}^{2}}}=\int \frac{dt}{\sqrt[3]{{[{t}^{3}(1+\frac{2}{t})]}^{2}}}=\int \frac{dt}{{t}^{2}\sqrt[3]{{(1+2\frac{1}{t})}^{2}}}=\int \frac{d(-\frac{1}{t})}{\sqrt[3]{{(1+2\frac{1}{t})}^{2}}}=-\int \frac{dz}{\sqrt[3]{{(1+2z)}^{2}}}=-\int {(1+2z)}^{-\frac{2}{3}}dz=<br /> =-\frac{3}{2}{(1+2z)}^{\frac{1}{3}}+C=-\frac{3}{2}{(1+\frac{2}{t})}^{\frac{1}{3}}+C=-\frac{3}{2}\sqrt[3]{1+\frac{2}{x-1}}+C$

Не по теме:

Рациональнее не смог.

@obsession · 13.03.2012, 12:33 **[ТС]**

Откуда почти в конце перед корнем появляется -3/2? у меня получается просто -3, а в ответе так как написано выше... Мы же прибавляем к степени -2/3 единицу и делим на получившуюся степень, т.е. -2/3+1=1/3, а не 2/3. Откуда 2?

@Igor · 13.03.2012, 12:45

obsession, Вы продифференцируйте и поймете в чем у Вас ошибка.

@obsession · 13.03.2012, 12:50 **[ТС]**

я поняла) если взять и принять выражение 1+2z за новую переменную, то при извлечении производной, остается 2))

@Igor · 13.03.2012, 12:52

obsession,

vetvet · 13.03.2012, 15:06

Примерно то же, что сделал Igor с помощью подстановки Чебышева:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^4}}=(x+1)^{-\frac{2}{3}}((x+1)-2)^{-\frac{4}{3}}$
Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m=-\frac{2}{3},n=1,p=-\frac{4}{3}$ и имеем случай 3.
Подстановка:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-\frac{2}{x+1}=z^3$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(x+1)^{-2}dx=3z^2dz\Rightarrow (x+1)^{-2}dx=\frac{3}{2}z^2dz$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\left((x+1)^{-\frac{2}{3}}((x+1)-2)^{-\frac{4}{3}}\right)dx=\int\left((x+1)^{-\frac{2}{3}}\cdot(x+1)^{-\frac{4}{3}}\left(1-\frac{2}{x+1}\right)^{-\frac{4}{3}}\right)dx=\int\left((x+1)^{-2}\left(1-\frac{2}{x+1}\right)^{-\frac{4}{3}}\right)dx=$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\int\frac{3}{2}z^2\cdot(z^3)^{-\frac{4}{3}}dz=\frac{3}{2}\int z^2\cdot z^{-4}dz=\frac{3}{2}\int z^{-2}dz=\frac{3}{2}\left(-z^{-1}\right)+C=-\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt[3]{1-\frac{2}{x+1}}}+C=$

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=-\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}+C$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Как дизайн сайта влияет на конверсию: 7 решений, которые реально повышают заявки Neotwalker 08.03.2026 Многие до сих пор воспринимают дизайн сайта как “красивую оболочку”. На практике всё иначе: дизайн напрямую влияет на то, оставит человек заявку или уйдёт через несколько секунд. Даже если у вас. . .	Модульная разработка через nuget packages DevAlt 07.03.2026 Сложившийся в . Net-среде способ разработки чаще всего предполагает монорепозиторий в котором находятся все исходники. При создании нового решения, мы просто добавляем нужные проекты и имеем. . .	Модульный подход на примере F# DevAlt 06.03.2026 В блоге дяди Боба наткнулся на такое определение: В этой книге («Подход, основанный на вариантах использования») Ивар утверждает, что архитектура программного обеспечения — это структуры,. . .	Управление камерой с помощью скрипта OrbitControls.js на Three.js: Вращение, зум и панорамирование 8Observer8 05.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере работает на Desktop и мобильных браузерах. Итоговый код: orbit-controls-threejs-js. zip. Сканируйте QR-код на мобильном. Вращайте камеру одним пальцем,. . .
SDL3 для Web (WebAssembly): Синхронизация спрайтов SDL3 и тел Box2D 8Observer8 04.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-sync-physics-sprites-sdl3-c. zip На первой гифке отладочные линии отключены, а на второй включены:. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Идентификация объектов на Box2D v3 - использование userData и событий коллизий 8Observer8 02.03.2026 Содержание блога Финальная демка в браузере. Итоговый код: finish-collision-events-sdl3-c. zip Сканируйте QR-код на мобильном и вы увидите, что появится джойстик для управления главным героем. . . .	Реалии Hrethgir 01.03.2026 Нет, я не закончил до сих пор симулятор. Эта задача сложнее. Не получилось уйти в плавсостав, но оно и к лучшему, возможно. Точнее получалось - но сварщиком в палубную команду, а это значит, в моём. . .	Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .

@obsession 1 / 1 / 1 Регистрация: 11.03.2012 Сообщений: 55

	Интегрирование иррациональных функций 13.03.2012, 08:05. Показов 3709. Ответов 6 Метки нет (Все метки) Помогите, пожалуйста, вычислить интеграл Изображения 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	13.03.2012, 10:24
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{dx}{\sqrt[3]{{(x+1)}^{2}{(x-1)}^{4}}}=\int \frac{dx}{\sqrt[3]{{(x+1)}^{2}{(x-1)}^{2}{(x-1)}^{2}}}=\int \frac{dx}{\sqrt[3]{{({x}^{2}-1)}^{2}{(x-1)}^{2}}}=\int \frac{dx}{\sqrt[3]{{[{x}^{2}(x-1)-(x-1)]}^{2}}}=[x-1=t,\ x=t+1,\ dx=dt]=\int \frac{dt}{\sqrt[3]{{{[(t+1)}^{2}t-t]}^{2}}}=<br /> =\int \frac{dt}{\sqrt[3]{{({t}^{3}+2{t}^{2})}^{2}}}=\int \frac{dt}{\sqrt[3]{{[{t}^{3}(1+\frac{2}{t})]}^{2}}}=\int \frac{dt}{{t}^{2}\sqrt[3]{{(1+2\frac{1}{t})}^{2}}}=\int \frac{d(-\frac{1}{t})}{\sqrt[3]{{(1+2\frac{1}{t})}^{2}}}=-\int \frac{dz}{\sqrt[3]{{(1+2z)}^{2}}}=-\int {(1+2z)}^{-\frac{2}{3}}dz=<br /> =-\frac{3}{2}{(1+2z)}^{\frac{1}{3}}+C=-\frac{3}{2}{(1+\frac{2}{t})}^{\frac{1}{3}}+C=-\frac{3}{2}\sqrt[3]{1+\frac{2}{x-1}}+C$ Не по теме: Рациональнее не смог. 2

@obsession 1 / 1 / 1 Регистрация: 11.03.2012 Сообщений: 55
	13.03.2012, 12:33 [ТС]
	Откуда почти в конце перед корнем появляется -3/2? у меня получается просто -3, а в ответе так как написано выше... Мы же прибавляем к степени -2/3 единицу и делим на получившуюся степень, т.е. -2/3+1=1/3, а не 2/3. Откуда 2? 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	13.03.2012, 12:45
	obsession, Вы продифференцируйте и поймете в чем у Вас ошибка. 0

@obsession 1 / 1 / 1 Регистрация: 11.03.2012 Сообщений: 55
	13.03.2012, 12:50 [ТС]
	я поняла) если взять и принять выражение 1+2z за новую переменную, то при извлечении производной, остается 2)) 0

@Igor 4654 / 3406 / 361 Регистрация: 11.11.2010 Сообщений: 6,205 Записей в блоге: 2
	13.03.2012, 12:52
	obsession, 1

vetvet Змеюка одышечная 9864 / 4595 / 178 Регистрация: 04.01.2011 Сообщений: 8,574
	13.03.2012, 15:06
	Примерно то же, что сделал Igor с помощью подстановки Чебышева: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{\sqrt[3]{(x+1)^2(x-1)^4}}=(x+1)^{-\frac{2}{3}}((x+1)-2)^{-\frac{4}{3}}$ Тогда $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?m=-\frac{2}{3},n=1,p=-\frac{4}{3}$ и имеем случай 3. Подстановка: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?1-\frac{2}{x+1}=z^3$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?2(x+1)^{-2}dx=3z^2dz\Rightarrow (x+1)^{-2}dx=\frac{3}{2}z^2dz$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int\left((x+1)^{-\frac{2}{3}}((x+1)-2)^{-\frac{4}{3}}\right)dx=\int\left((x+1)^{-\frac{2}{3}}\cdot(x+1)^{-\frac{4}{3}}\left(1-\frac{2}{x+1}\right)^{-\frac{4}{3}}\right)dx=\int\left((x+1)^{-2}\left(1-\frac{2}{x+1}\right)^{-\frac{4}{3}}\right)dx=$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=\int\frac{3}{2}z^2\cdot(z^3)^{-\frac{4}{3}}dz=\frac{3}{2}\int z^2\cdot z^{-4}dz=\frac{3}{2}\int z^{-2}dz=\frac{3}{2}\left(-z^{-1}\right)+C=-\frac{3}{2}\frac{1}{\sqrt[3]{1-\frac{2}{x+1}}}+C=$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?=-\frac{3}{2}\sqrt[3]{\frac{x+1}{x-1}}+C$ 1