Нахождение первообраной тригонометрических функций

@stanislav MM · Регистрация: 24.06.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

326. докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке.

а)F(X) = x⁵ ,f(x) = 5x⁴ ,x ϵ (- ∞ : ∞)
с данным примером всё понятно. По формуле
Х ⁿ†¹ / n + 1 + C интегрирую выражение f(x) = 5x⁴ и получаю х⁵. В МАТКАДе продеференцировал и проинтегрировал эти выражения. Всё получается.
Мне не понятен следующий пример.

330. докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке.

б) F(x) = cos(2x) / 2 f(x) = -sin(x) х ϵ R

в) F(x) = sin(3x) f(x) = 3 • cos(3x) х ϵ R

в этих двух примерах маткад и учебник солидарны.
В следующем примере результаты разные.

а) F(x) = sin² x, f(x) = sin 2x х ϵ R

ни по формуле ,ни по МАТКАДу не сходится.

Если проинтегрировать sin 2x по МАТКАДу, то получаю - cos 2x / 2.

маткад не пририсовывает к результату интегрирования произвольную константу.

sin² x является первообразной к sin 2x,

но и

- cos 2x / 2 тоже является первообразной к sin 2x.

Первообразные от одной и той же функции могут отличатся друг от друга разве что на некоторую постоянную. В нашем случае

- cos 2x / 2 = -(1 - 2∙sin² x) / 2 = sin² x - (1/2)

отличается от sin² x на постоянную -(1/2).

Вопрос:
Можно ли с уверенностью пользоваться маткадом при определении производной и первообразной тригонометрической функции?
По каким формулам в ручном режиме определить первообрвзную, например

f(x) = sin(2x)

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)=\frac{1}{2\, \cdot \, \cos \, ^2\; \frac{x}{2}}$

@Thinker · 12.08.2012, 19:14

А не легче искать производную функции F(x), чем первообразную функции f(x)?! Такие примерчики легче ручками подсчитать, чем доверять компьютерным программам, ведь дело не с дискретными функциями имеете.

@stanislav MM · 12.08.2012, 19:59 **[ТС]**

Начинаю с простых примеров.
Как находить первообразную sin(2x) . Есть такая формула или надо преобразовывать в 2 sin(x) cos(x) ?
Есть и посложнее
346.
Г) найдите общий вид первообразной.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\frac{2}{\cos \, ^2\; \left(3x+1 \right)}\: -\: 3\cdot \sin \: \left(4-x \right)\, +\, 2x$

@Ellipsoid · 12.08.2012, 20:53

Сообщение от stanislav MM

Как находить первообразную sin(2x) . Есть такая формула или надо преобразовывать в 2 sin(x) cos(x) ?

Если $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int f(x) dx=F(x)+C$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int f(ax+b) dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C$ . В данном случае: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \sin 2x dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$ . Другой способ: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \sin 2x dx=\int 2 \sin x \cos x dx= 2 \int \sin x d(\sin x)=2\frac{ \sin^2 x}{2}+C=\sin^2 x+C$ .

Добавлено через 4 минуты
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \left( \frac{2}{\cos^2 (3x+1)}-3 \sin (4-x)+2x \right)dx=2 \cdot\frac{1}{3}tg (3x+1)-3 \cdot \frac{1}{-1}(-\cos (4-x))+2\frac{x^2}{2}+C$

@Harut702 · 13.08.2012, 00:58

Сообщение от Ellipsoid

Как находить первообразную sin(2x) . Есть такая формула или надо преобразовывать в 2 sin(x) cos(x) ?

(-1/2 cos 2x)'=sin 2x

@Vovan150519 · 13.08.2012, 14:08

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int sin(2x)dx=\frac{1}{2}*\int sin(2x)d(2x)=-\frac{1}{2}cos(2x)$

@stanislav MM · 14.08.2012, 08:42 **[ТС]**

Нахождение первообразной – это действие обратное нахождению производной. Обозначается вертикальной чертой.
Интегрирование – это нахождение разности верхнего и нижнего предела первообразной. Обозначается знаком интеграла.
Вопрос:
Нахождение первообразной для тригонометрических функций и их интегрирование это одно и тоже или это разные вещи?

@Vovan150519 · 14.08.2012, 11:09

Сообщение от stanislav MM

Нахождение первообразной для тригонометрических функций и их интегрирование это одно и тоже или это разные вещи?

Первообразная функция данной функции f(x) – такая функция F(x), производная которой на данном промежутке равна f(x).
Отыскание первообразной функции – операция, обратная дифференцированию, ее называют также интегрированием. Эта операция неоднозначна – для данной интегрируемой функции f(x) существует бесконечно много первообразных, но каждые две из них отличаются на константу.
Совокупность всех первообразных функций называется неопределенным интегралом от f(x). Обычно ее записывают в виде F(x) = Ф(х) + С, где Ф(х) – какая-нибудь первообразная (все равно какая), а С – произвольная постоянная величина.
Обычно первообразную отыскивают по правилам интегрирования с помощью таблицы основных интегралов [ Цитата с http://school-collection.edu.r... 0170/view/]
А также у википедии http://ru.wikipedia.org/wiki/%... 0%B0%D1%8F
Ну и google https://www.google.com.ua/webh... =535&ion=1

Добавлено через 8 минут

Сообщение от stanislav MM

Нахождение первообразной для тригонометрических функций и их интегрирование это одно и тоже или это разные вещи?

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int$ (тригонометрическая функця)= первообразная от тригонометрической функции + С(константа).

@stanislav MM · 14.08.2012, 12:35 **[ТС]**

330. найти первообразную
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\frac{1}{2\, \cos \, ^2\; \frac{x}{2}}$

По этой формуле нужно искать первообразную?

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \cos \, ^2\,c \: \cdot \: x\,dx=\frac{\cos ^n-1\; c\, \cdot \, x\, \sin\; c\, \cdot x}{n\, \cdot \, c} +\frac{n-1}{n}\int \cos ^n-2\: cx\; dx$

Вместо cos ⁿ ⁻ ¹ и cos ⁿ ⁻ ² получается cos ⁿ - 1 и cos ⁿ - 2. Не знаю как поставить в степень выражение полностью, ставиться только первый знак.

@Vovan150519 · 14.08.2012, 14:12

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x$ - ето табличний интеграл
http://www.math.com.ua/mathdir/tabl_integ.html - и ето еще не весь список в инете есть и другие

@stanislav MM · 14.08.2012, 16:31 **[ТС]**

337.
Для функции f найдите первообразную F, принимающая заданное значение в указанной точке.

г) f(x) = sin(x) , F( -π ) = - 1

F(x) = - cos(x) + С

F(- π ) = - cos ( - π ) + С

Косинус функция чётная, поэтому

- cos ( - π ) = - cos ( π )

- cos ( π ) + С = -1

С = cos( π ) – 1

cos( π ) = - 1

С = - 1 – 1 = - 2

Ответ F( -π ) = - cos ( - π ) – 2

Ответ в книге: - cos ( x ) – 2

Насколько верно решение?

@Vovan150519 · 14.08.2012, 18:20

Значение в точке дано для того щоби знайти С. После того как С найдено правильное решение записиваетса F(x)=-cos(x)-2

На щет можно ли доверять MathCad скажу так: доверять можно но нужно проверять.
Первообразние от простих функций он находит верно а со сложними есть нюанси.

@alena5656 · 04.03.2014, 08:14

Определите функцию f (x) = sin x + sin 2x

@jogano · 04.03.2014, 10:27

Техническое отступление (вы спрашивали на первой странице):
Чтобы записать несколько символов в нижнем или верхнем индексах, нужно взять их в фигурные скобки {}:
Написав так x_n-1, редактор выводит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n-1$ , а записав так x_{n-1}, редактов выводит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_{n-1}$ . Если эти несколько символов нужно заключить в круглые скобки (), то круглые пишутся внутри фигурных: x^{(n-1)} - выводит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^{(n-1)}$

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
PhpStorm 2025.3: WSL Terminal всегда стартует в ~ and_y87 14.12.2025 PhpStorm 2025. 3: WSL Terminal всегда стартует в ~ (home), игнорируя директорию проекта Симптом: После обновления до PhpStorm 2025. 3 встроенный терминал WSL открывается в домашней директории. . .	Access VikBal 11.12.2025 Помогите пожалуйста !! Как объединить 2 одинаковые БД Access с разными данными.	Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .
Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .

@stanislav MM 2 / 2 / 0 Регистрация: 24.06.2012 Сообщений: 131

	Нахождение первообраной тригонометрических функций 12.08.2012, 19:10. Показов 8780. Ответов 13 Метки нет (Все метки) 326. докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке. а)F(X) = x⁵ ,f(x) = 5x⁴ ,x ϵ (- ∞ : ∞) с данным примером всё понятно. По формуле Х ⁿ†¹ / n + 1 + C интегрирую выражение f(x) = 5x⁴ и получаю х⁵. В МАТКАДе продеференцировал и проинтегрировал эти выражения. Всё получается. Мне не понятен следующий пример. 330. докажите, что функция F есть первообразная для функции f на указанном промежутке. б) F(x) = cos(2x) / 2 f(x) = -sin(x) х ϵ R в) F(x) = sin(3x) f(x) = 3 • cos(3x) х ϵ R в этих двух примерах маткад и учебник солидарны. В следующем примере результаты разные. а) F(x) = sin² x, f(x) = sin 2x х ϵ R ни по формуле ,ни по МАТКАДу не сходится. Если проинтегрировать sin 2x по МАТКАДу, то получаю - cos 2x / 2. маткад не пририсовывает к результату интегрирования произвольную константу. sin² x является первообразной к sin 2x, но и - cos 2x / 2 тоже является первообразной к sin 2x. Первообразные от одной и той же функции могут отличатся друг от друга разве что на некоторую постоянную. В нашем случае - cos 2x / 2 = -(1 - 2∙sin² x) / 2 = sin² x - (1/2) отличается от sin² x на постоянную -(1/2). Вопрос: Можно ли с уверенностью пользоваться маткадом при определении производной и первообразной тригонометрической функции? По каким формулам в ручном режиме определить первообрвзную, например f(x) = sin(2x) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(x)=\frac{1}{2\, \cdot \, \cos \, ^2\; \frac{x}{2}}$ 0

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	12.08.2012, 19:14
	А не легче искать производную функции F(x), чем первообразную функции f(x)?! Такие примерчики легче ручками подсчитать, чем доверять компьютерным программам, ведь дело не с дискретными функциями имеете. 2

@stanislav MM 2 / 2 / 0 Регистрация: 24.06.2012 Сообщений: 131
	12.08.2012, 19:59 [ТС]
	Начинаю с простых примеров. Как находить первообразную sin(2x) . Есть такая формула или надо преобразовывать в 2 sin(x) cos(x) ? Есть и посложнее 346. Г) найдите общий вид первообразной. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\frac{2}{\cos \, ^2\; \left(3x+1 \right)}\: -\: 3\cdot \sin \: \left(4-x \right)\, +\, 2x$ 0

@Vovan150519 13 / 13 / 0 Регистрация: 18.02.2009 Сообщений: 90
	13.08.2012, 14:08
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int sin(2x)dx=\frac{1}{2}*\int sin(2x)d(2x)=-\frac{1}{2}cos(2x)$ 1

@stanislav MM 2 / 2 / 0 Регистрация: 24.06.2012 Сообщений: 131
	14.08.2012, 08:42 [ТС]
	Нахождение первообразной – это действие обратное нахождению производной. Обозначается вертикальной чертой. Интегрирование – это нахождение разности верхнего и нижнего предела первообразной. Обозначается знаком интеграла. Вопрос: Нахождение первообразной для тригонометрических функций и их интегрирование это одно и тоже или это разные вещи? 0

@stanislav MM 2 / 2 / 0 Регистрация: 24.06.2012 Сообщений: 131
	14.08.2012, 12:35 [ТС]
	330. найти первообразную $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(x)=\frac{1}{2\, \cos \, ^2\; \frac{x}{2}}$ По этой формуле нужно искать первообразную? $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \cos \, ^2\,c \: \cdot \: x\,dx=\frac{\cos ^n-1\; c\, \cdot \, x\, \sin\; c\, \cdot x}{n\, \cdot \, c} +\frac{n-1}{n}\int \cos ^n-2\: cx\; dx$ Вместо cos ⁿ ⁻ ¹ и cos ⁿ ⁻ ² получается cos ⁿ - 1 и cos ⁿ - 2. Не знаю как поставить в степень выражение полностью, ставиться только первый знак. 0

@Vovan150519 13 / 13 / 0 Регистрация: 18.02.2009 Сообщений: 90
	14.08.2012, 14:12
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\int \frac{1}{{\cos }^{2}x}dx=\tan x$ - ето табличний интеграл http://www.math.com.ua/mathdir/tabl_integ.html - и ето еще не весь список в инете есть и другие 1

@stanislav MM 2 / 2 / 0 Регистрация: 24.06.2012 Сообщений: 131
	14.08.2012, 16:31 [ТС]
	337. Для функции f найдите первообразную F, принимающая заданное значение в указанной точке. г) f(x) = sin(x) , F( -π ) = - 1 F(x) = - cos(x) + С F(- π ) = - cos ( - π ) + С Косинус функция чётная, поэтому - cos ( - π ) = - cos ( π ) - cos ( π ) + С = -1 С = cos( π ) – 1 cos( π ) = - 1 С = - 1 – 1 = - 2 Ответ F( -π ) = - cos ( - π ) – 2 Ответ в книге: - cos ( x ) – 2 Насколько верно решение? 0

@Vovan150519 13 / 13 / 0 Регистрация: 18.02.2009 Сообщений: 90
	14.08.2012, 18:20
	Значение в точке дано для того щоби знайти С. После того как С найдено правильное решение записиваетса F(x)=-cos(x)-2 На щет можно ли доверять MathCad скажу так: доверять можно но нужно проверять. Первообразние от простих функций он находит верно а со сложними есть нюанси. 1

@alena5656 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.10.2013 Сообщений: 29
	04.03.2014, 08:14
	Определите функцию f (x) = sin x + sin 2x 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	04.03.2014, 10:27
	Техническое отступление (вы спрашивали на первой странице): Чтобы записать несколько символов в нижнем или верхнем индексах, нужно взять их в фигурные скобки {}: Написав так x_n-1, редактор выводит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_n-1$ , а записав так x_{n-1}, редактов выводит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x_{n-1}$ . Если эти несколько символов нужно заключить в круглые скобки (), то круглые пишутся внутри фигурных: x^{(n-1)} - выводит $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x^{(n-1)}$ 0