Формула Тейлора

Пусть функция f(x) n раз дифференцируема в точке x=a.
Тогда разность f(x) - P(x) = o(x-a)^n, где P(x) многочлен Тейлора степени n для функции f(x) в окрестности x=a.
Мой вопрос к вам.
Хочу для себя выяснить по какой причине(или может быть по определению) многочлен P(x) считают приближением функции f(x) в достаточно малой окрестности x=a.
1. Потому-что их разность при x->a бесконечно мала?
2. Потому-что f(x) и P(x) эквивалентны при x->a?
3. Потому-что абсолютная и относительная погрешности бесконечно малые при x->a?

0

Считаем приближением в точке с некоторой точностью если
Про разность в п.1 вы завернули... Сие не верно. Вообще не верно про бесконечно малые. Эквивалентность в точке a означает, что . Но: эквилентность только для бесконечно малых, т.е f(x)->0 при x->a и P(x)->0. А любой многочлен любой совершенно степени n, такой что , эквивалентен f(x) в a.

Сообщение от toxa_na_svyazi 3. Потому-что абсолютная и относительная погрешности бесконечно малые при x->a?

Это тоже чепуха. Откройте-ка Фихтенгольца.

2

toxa_na_svyazi, что касается сформулированных утверждений, то:
1. - верно;
2. - верно, если имелись в виду не сами f(x) и P(x), а разности f(x)-f(a) и P(x)-P(a)
(в данном случае - бесконечно малые, но определение понятия эквивалентности
в общем случае не содержит такого требования);
3. - верно (для относительной погрешности - при n>0 и f(a)≠0).

На самом деле, многочлен Тейлора порядка n обладает более ценным свойством -
он отличается от функции на величину, которая при x->a убывает быстрее, чем
"эталонная" функция (x-a)^n (которая при n>0 сама по себе убывает достаточно
быстро, причём тем быстрее, чем больше n). Это как раз и выражено равенством
f(x) - P(x) = o((x-a)^n). Соответственно, многочлен Тейлора приближает функцию
тем лучше, чем выше его порядок.

2

Сообщение от splen 1. - верно;

Возьмем многочлен , которым мы можем аппроксимировать синус. Вы хотите сказать, что при, например, , стремиться к нулю? Еще раз: многочлен фиксированной степени n (у меня в примере n=5), n не изменяется, тогда как разность может к нулю стремиться? Мы ведь аппроксимируем функцию конкретным многочленом так, чтобы разница между действительным и приближенным значениями функции была меньше заданной точности.

Сообщение от splen 3. - верно (для относительной погрешности - при n>0 и f(a)≠0).

как погрешность может быть бесконечно малой??? она может быть просто меньше заданного наперед числа, но никак не бесконечно малой. Если вернуться к моему примеру, то разве эта разница (т.е. та самая погрешность, о которой речь) стремится к нулю?

Добавлено через 19 минут
В целом же, мы можем аппроксимировать функцию многочленом Тейлора степени n по следующим причинам:
1) Если для функции существует разложение в ряд Тейлора, то функция является полной суммой этого ряда.()
2) Многочлен Тейлора является частичной суммой ряда Тейлора.
3) При возрастании n разность между многочленом и функцией стремится к нулю.
Последний пункт означает, что при некотором n разность между значением функции в некоторой точке и значением многочлена Тейлора степени n (частичной суммы) в этой же точке меньше наперед заданного положительного числа . Это и используется при вычислениях следующим образом: задают число , потом вычисляют значение первого члена ряда, прибавляют значение второго, третьего и т.д. до тех пор, пока последующий член ряда, который надо вычислить, не окажется меньше, чем . На этом вычисления останавливаются. Собственно всё.

Добавлено через 5 минут
Заметьте, погрешность при этом - конечная величина. А не бесконечно малая.

1

Спасибо большое за подробные объяснения! Свою ошибку в п.2 понял. Буду разбиратся дальше.

1