Решение системы нелинейных уравнений с 5 неизвестными

@PoMa_HaB · Регистрация: 09.01.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Люди помогайте

Кто как может естественно))
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}-19=0 \\ {x}_{1}+2{x}_{2}{x}_{3}-11=0 \\ 2{x}_{4}{x}_{1}+{x}_{5}+0.2{{x}_{1}}^{3}+0.4{{x}_{2}}^{2}{x}_{1}+2.3{x}_{1}+0.2{x}_{2}{x}_{3}+0.9=0\\ 4{x}_{4}{x}_{2}+2{x}_{5}{x}_{3}+0.8{{x}_{2}}^{3}+0.4{x}_{1}^{2}{x}_{2}+0.4{x}_{3}^{2}{x}_{2}-3.6{x}_{2}+1.8{x}_{3}+0.2{x}_{1}{x}_{3}=0\\2{x}_{5}{x}_{2}+0.4{{x}_{2}}^{2}{x}_{3}+1.8{x}_{2}+0.2{x}_{1}{x}_{2}=0 \\$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{5}$ я нашёл.... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{5}=-2 \\$ не знаю что делать дальше?? Дай те хоть точное решение, или найдите ещё один корень
Или решите(или сделайте первую итерацию, остальное сам сделаю) с помощью приближенного метода(знаю методы простой итерации, Зейделя, Ньютона и т.д. но там дела обстоят с обратными матрицами)
P.S. я знаю что делать, но просто подскажите или подтолкните

@cmath · 27.01.2014, 11:03

Сообщение от PoMa_HaB

но там дела обстоят с обратными матрицами

Там дела обстоят с линейными системами и нелинейными уравнениями (не являющимися частью какой-либо системы). Тут надо смотреть метод простой итерации/Ньютона для систем. У Самарского или Калиткина, думаю, можете подсмотреть.

@Jot007 · 27.01.2014, 22:06

Не представляю, как можно было найти решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{5}=-2$ .
Для метода простых итераций предлагаю преобразовать систему к виду: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{i}=F(\vec{x})$ .
Например из первого уравнения выразить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{2}$ , из второго $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}$ , из третьего $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{5}$ , из четвертого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{4}$ и из последнего $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{3}$ . Подставляя первое произвольное приближенное решение, получаем следующую итерацию. Потом повторяем процесс. Но нелинейная система может иметь несколько решений. Надо проверить потом с другим начальным приближением. И еще здесь есть особенность в первом уравнении, связанная с квадратом числа.
Не знаю, помог ли хоть чем

@TrushkovVV · 28.01.2014, 23:23

Mathematica дала ответ
{{x4 -> -18.1, x5 -> -11.9, x3 -> -5.64288, x1 -> 0.,
x2 -> -9.74679}, {x4 -> -18.1, x5 -> -11.9, x3 -> 5.64288, x1 -> 0.,
x2 -> 9.74679}}

@Том Ардер · 29.01.2014, 00:29

Вот два решения (Mathematica, 7.0). Самое странное, что действительно х₅ = -2
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}\{x[1]\to 0.,x[2]\to -3.08221,x[3]\to -1.78444,x[4]\to -1.,x[5]\to -2.\}\\ \{x[1]\to 0.,x[2]\to 3.08221,x[3]\to 1.78444,x[4]\to -1.,x[5]\to -2.\} \end{matrix}\right.$

@PoMa_HaB · 30.01.2014, 05:45 **[ТС]**

Спасибо конечно всем =) Через 3 часа после создания этой темы, я сам решил эту систему )) Том Ардер, вы правы...... Ответ именно такой

Сообщение от Jot007

Не представляю, как можно было найти решение х5 = -2.

Мат фак рулит))

Можно я по другому задам вопрос?
Как решить именно эту систему приближенными методами.... И как выбрать первое приближение. Указывать на ссылки в книги - почти бесполезно, так как в них примеров решения "ТАКИХ" сложных систем нет... Да и в них нужно находить обратную матрицу.... А мне ещё для этого метода программу составлять... А там уже нахождение n-ой обратной матрицы - дело не из легких (чужие программы не беру, делаю все сам =) )...
P.S. Я сделал программу для нахождения обратной матрицы n-го размера

@Том Ардер · 30.01.2014, 17:16

Если записать исходную систему в виде
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{\vec{x}}\text{:={\vec{F}}(\vec{x})}$

где вектор-функции вектор-аргумента выбраны так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{{F}_{1}}[\text{\vec{x}}]\text{:=}\frac{-1}{2.3+0.2{x}_{1}^2+0.4{x}_{2}^2}(2{x}_{4}{x}_{1}+{x}_{5}+{x}_{1}+0.2{x}_{2}{x}_{3}+0.9)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{{F}_{2}}[\text{\vec{x}]\text{:=}\sqrt{\frac{19-{x}_{1}^2}{2}}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{F}_{3}[\text{\vec{x}}]\text{:=}\frac{11-{x}_{1}}{2{x}_{2}}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{{F}_{4}[\text{\vec{x}}]\text{:=}\frac{-1}{4{x}_{2}}\left(2{x}_{5}{x}_{3}+0.8{x}_{2}^3+0.4{x}_{1}^2{x}_{2}+0.4{x}_{3}^2{x}_{2}-3.6{x}_{2}+1.8{x}_{3}+0.2{x}_{1}{x}_{3}\right)$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{{F}_{5}}[\text{\vec{x}}]\text{:=}\frac{-1}{2}(0.4{x}_{2}{x}_{3}+1.8+0.2{x}_{1})$

то, начав с вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{\vec{x}}\text{:=\{1,1,1,1,1\}$ ,
после 10 итераций получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{\vec{x}}\text{:=\{-0.0000198338,3.08221,1.78441,-1.00008,-1.99986\}}$

И никаких обратных матриц не нужно.

@Jot007 · 30.01.2014, 21:58

Мне кажется, что это не лучшее представление функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{F}$ . Слишком много "сложных" знаменателей.

@Том Ардер · 30.01.2014, 23:33

Сообщение от Jot007

Мне кажется, что это не лучшее представление функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{F}$ . Слишком много "сложных" знаменателей.

Вы можете предложить своё, более простое, и, главное, обеспечивающее сходимость итераций.

Добавлено через 51 минуту
Система решается точно.
2-е и 5-е уравнения дают x₅ = -2.
Затем 2-е и 3-е уравнения дают x₁ = 0, тогда из первых двух получим x₂, x₃.
Наконец, из 4-го уравнения получаем x₄ = -1.

@monochromer · 03.02.2014, 19:16

Все говорите про обратную матрицу, но ведь ее явно можно и не вычислять.
В методе Ньютона:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\overrightarrow{x}}^{k+1} = {\overrightarrow{x}}^{k} - \nabla{\b{F}^{-1}({\overrightarrow{x}}^{k}))} \b{F}({\overrightarrow{x}}^{k})$

можно записать:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?- \nabla{\b{F}^{-1}({\overrightarrow{x}}^{k}))} \b{F}({\overrightarrow{x}}^{k})= \overrightarrow{p}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\nabla{\b{F}({\overrightarrow{x}}^{k})} {\overrightarrow{p}} = - \b{F}({\overrightarrow{x}}^{k})$

и решать СЛАУ относительно поправки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\overrightarrow{p}}$ .

Следующее приближение вычислять как

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\overrightarrow{x}}^{k+1} = {\overrightarrow{x}}^{k} + {\overrightarrow{p}}$

@PoMa_HaB · 08.02.2014, 13:09 **[ТС]**

Сообщение от monochromer

Все говорите про обратную матрицу, но ведь ее явно можно и не вычислять.
В методе Ньютона:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\overrightarrow{x}}^{k+1} = {\overrightarrow{x}}^{k} - \nabla{\b{F}^{-1}({\overrightarrow{x}}^{k}))} \b{F}({\overrightarrow{x}}^{k})$

можно записать:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?- \nabla{\b{F}^{-1}({\overrightarrow{x}}^{k}))} \b{F}({\overrightarrow{x}}^{k})= \overrightarrow{p}$
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\nabla{\b{F}({\overrightarrow{x}}^{k})} {\overrightarrow{p}} = - \b{F}({\overrightarrow{x}}^{k})$

и решать СЛАУ относительно поправки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\overrightarrow{p}}$ .

Следующее приближение вычислять как

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\overrightarrow{x}}^{k+1} = {\overrightarrow{x}}^{k} + {\overrightarrow{p}}$

Это модифицированный метод Ньютона как я полагаю....
Ок.... Теперь всё понятно.... НО!!! Одно главное НО у меня возникает

Как взять первую итерацию то есть $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{0}$ ??
P.S. теперь у меня возникла система с 6-ю неизвестными, хотелось бы решить самому... и программу на С++ составить, поэтому и прошу нормальный чёткий алгоритм, и легкий в обращении

@monochromer · 08.02.2014, 13:20

Сообщение от PoMa_HaB

Как взять первую итерацию то есть ?

Если Вы знаете примерное положение корня, то начальное приближение нужно брать в этом же районе.
Если же нет, то обычно значение берется из справочника под ред. Фонарёва и Потолкова.

@PoMa_HaB · 09.02.2014, 17:09 **[ТС]**

Сообщение от monochromer

Если Вы знаете примерное положение корня, то начальное приближение нужно брать в этом же районе.
Если же нет, то обычно значение берется из справочника под ред. Фонарёва и Потолкова.

А можно ссыль или чуть чуть подсказку что за справочник и как им пользоваться?

@monochromer · 09.02.2014, 18:12

Сообщение от PoMa_HaB

что за справочник и как им пользоваться?

Это шутка.

@PoMa_HaB · 09.02.2014, 18:17 **[ТС]**

Сообщение от monochromer

Это шутка.

Только щас догнал, что начальное приближение брать с потолка...
Просто я знаю что метод Ньютона просто так не сходится... Только если брать в окрестности то сходится наибыстрейшим образом, если же не в окрестности, то вообще не сходится...

@Том Ардер · 09.02.2014, 18:21

Сообщение от monochromer

значение берется из справочника под ред. Фонарёва и Потолкова

Не по теме:

Есть ещё "Спра́вочник Сте́ля"

@monochromer · 09.02.2014, 18:56

PoMa_HaB,
В некоторых книгах (это уже не шутка) рекомендуют начальное приближение для метода Ньютона искать следующим образом (опять же это не панацея).

Пусть система нелинейных уравнений задана так:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{i}(\vec{x}) = 0, i = \bar{1,n}$

Тогда начальная точка ищется как решение задачи минимизации функции

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(\vec{x})=\sum_{i=1}^{n}{f}_{i}^{2}(\vec{x})$

В некоторых случаях решение уже можно принимать как корень, либо уточнять.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Мысли в слух. Про "навсегда". kumehtar 16.04.2026 Подумалось тут, что наверное очень глупо использовать во всяких своих установках понятие "навсегда". Это очень сильное понятие, и я только начинаю понимать край его смысла, не смотря на то что давно. . .	My Business CRM MaGz GoLd 16.04.2026 Всем привет, недавно возникла потребность создать CRM, для личных нужд. Собственно программа предоставляет из себя базу данных клиентов, в которой можно фиксировать звонки, стадии сделки, а также. . .	Знаешь почему 90% людей редко бывают счастливыми? kumehtar 14.04.2026 Потому что они ждут. Ждут выходных, ждут отпуска, ждут удачного момента. . . а удачный момент так и не приходит.	Фиксация колонок в отчете СКД Maks 14.04.2026 Фиксация колонок в СКД отчета типа Таблица. Задача: зафиксировать три левых колонки в отчете. Процедура ПриКомпоновкеРезультата(ДокументРезультат, ДанныеРасшифровки, СтандартнаяОбработка) / / . . .
Настройки VS Code Loafer 13.04.2026 { "cmake. configureOnOpen": false, "diffEditor. ignoreTrimWhitespace": true, "editor. guides. bracketPairs": "active", "extensions. ignoreRecommendations": true, . . .	Оптимизация кода на разграничение прав доступа к элементам формы Maks 13.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на нетиповом документе, разработанного в конфигурации КА2. Задачи, как таковой, поставлено не было, проделанное ниже исключительно моя инициатива. Было так:. . .	Контроль заполнения и очистка дат в зависимости от значения перечислений Maks 12.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "ПланированиеПерсонала", разработанного в конфигурации КА2. Задача: реализовать контроль корректности заполнения дат назначения. . .	Архитектура слоя интернета для сервера-слоя. Hrethgir 11.04.2026 В продолжение https:/ / www. cyberforum. ru/ blogs/ 223907/ 10860. html Знаешь что я подумал? Раз мы все источники пишем в голове ветки, то ничего не мешает добавить в голову такой источник, который сам. . .

@PoMa_HaB 13 / 13 / 3 Регистрация: 09.01.2013 Сообщений: 82

	Решение системы нелинейных уравнений с 5 неизвестными 27.01.2014, 05:49. Показов 3302. Ответов 16 Метки нет (Все метки) Люди помогайте Кто как может естественно)) $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{{x}_{1}}^{2}+2{{x}_{2}}^{2}-19=0 \\ {x}_{1}+2{x}_{2}{x}_{3}-11=0 \\ 2{x}_{4}{x}_{1}+{x}_{5}+0.2{{x}_{1}}^{3}+0.4{{x}_{2}}^{2}{x}_{1}+2.3{x}_{1}+0.2{x}_{2}{x}_{3}+0.9=0\\ 4{x}_{4}{x}_{2}+2{x}_{5}{x}_{3}+0.8{{x}_{2}}^{3}+0.4{x}_{1}^{2}{x}_{2}+0.4{x}_{3}^{2}{x}_{2}-3.6{x}_{2}+1.8{x}_{3}+0.2{x}_{1}{x}_{3}=0\\2{x}_{5}{x}_{2}+0.4{{x}_{2}}^{2}{x}_{3}+1.8{x}_{2}+0.2{x}_{1}{x}_{2}=0 \\$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{5}$ я нашёл.... $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{5}=-2 \\$ не знаю что делать дальше?? Дай те хоть точное решение, или найдите ещё один корень Или решите(или сделайте первую итерацию, остальное сам сделаю) с помощью приближенного метода(знаю методы простой итерации, Зейделя, Ньютона и т.д. но там дела обстоят с обратными матрицами) P.S. я знаю что делать, но просто подскажите или подтолкните 0

@Jot007 7 / 7 / 0 Регистрация: 25.01.2014 Сообщений: 14
	27.01.2014, 22:06
	Не представляю, как можно было найти решение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{5}=-2$ . Для метода простых итераций предлагаю преобразовать систему к виду: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{i}=F(\vec{x})$ . Например из первого уравнения выразить $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{2}$ , из второго $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{1}$ , из третьего $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{5}$ , из четвертого $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{4}$ и из последнего $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{x}_{3}$ . Подставляя первое произвольное приближенное решение, получаем следующую итерацию. Потом повторяем процесс. Но нелинейная система может иметь несколько решений. Надо проверить потом с другим начальным приближением. И еще здесь есть особенность в первом уравнении, связанная с квадратом числа. Не знаю, помог ли хоть чем 0

@TrushkovVV 150 / 83 / 7 Регистрация: 24.08.2012 Сообщений: 273
	28.01.2014, 23:23
	Mathematica дала ответ {{x4 -> -18.1, x5 -> -11.9, x3 -> -5.64288, x1 -> 0., x2 -> -9.74679}, {x4 -> -18.1, x5 -> -11.9, x3 -> 5.64288, x1 -> 0., x2 -> 9.74679}} 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3416 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,817
	29.01.2014, 00:29
	Вот два решения (Mathematica, 7.0). Самое странное, что действительно х₅ = -2 $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left\{\begin{matrix}\{x[1]\to 0.,x[2]\to -3.08221,x[3]\to -1.78444,x[4]\to -1.,x[5]\to -2.\}\\ \{x[1]\to 0.,x[2]\to 3.08221,x[3]\to 1.78444,x[4]\to -1.,x[5]\to -2.\} \end{matrix}\right.$ 1

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3416 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,817
	30.01.2014, 17:16
	Сообщение было отмечено Том Ардер как решение Решение Если записать исходную систему в виде $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{\vec{x}}\text{:={\vec{F}}(\vec{x})}$ где вектор-функции вектор-аргумента выбраны так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{{F}_{1}}[\text{\vec{x}}]\text{:=}\frac{-1}{2.3+0.2{x}_{1}^2+0.4{x}_{2}^2}(2{x}_{4}{x}_{1}+{x}_{5}+{x}_{1}+0.2{x}_{2}{x}_{3}+0.9)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{{F}_{2}}[\text{\vec{x}]\text{:=}\sqrt{\frac{19-{x}_{1}^2}{2}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{F}_{3}[\text{\vec{x}}]\text{:=}\frac{11-{x}_{1}}{2{x}_{2}}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{{F}_{4}[\text{\vec{x}}]\text{:=}\frac{-1}{4{x}_{2}}\left(2{x}_{5}{x}_{3}+0.8{x}_{2}^3+0.4{x}_{1}^2{x}_{2}+0.4{x}_{3}^2{x}_{2}-3.6{x}_{2}+1.8{x}_{3}+0.2{x}_{1}{x}_{3}\right)$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{{F}_{5}}[\text{\vec{x}}]\text{:=}\frac{-1}{2}(0.4{x}_{2}{x}_{3}+1.8+0.2{x}_{1})$ то, начав с вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{\vec{x}}\text{:=\{1,1,1,1,1\}$ , после 10 итераций получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\text{\vec{x}}\text{:=\{-0.0000198338,3.08221,1.78441,-1.00008,-1.99986\}}$ И никаких обратных матриц не нужно. 0

@Jot007 7 / 7 / 0 Регистрация: 25.01.2014 Сообщений: 14
	30.01.2014, 21:58
	Мне кажется, что это не лучшее представление функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\vec{F}$ . Слишком много "сложных" знаменателей. 0

@monochromer 419 / 381 / 163 Регистрация: 03.01.2013 Сообщений: 966
	03.02.2014, 19:16
	Все говорите про обратную матрицу, но ведь ее явно можно и не вычислять. В методе Ньютона: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\overrightarrow{x}}^{k+1} = {\overrightarrow{x}}^{k} - \nabla{\b{F}^{-1}({\overrightarrow{x}}^{k}))} \b{F}({\overrightarrow{x}}^{k})$ можно записать: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?- \nabla{\b{F}^{-1}({\overrightarrow{x}}^{k}))} \b{F}({\overrightarrow{x}}^{k})= \overrightarrow{p}$ $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\nabla{\b{F}({\overrightarrow{x}}^{k})} {\overrightarrow{p}} = - \b{F}({\overrightarrow{x}}^{k})$ и решать СЛАУ относительно поправки $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\overrightarrow{p}}$ . Следующее приближение вычислять как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{\overrightarrow{x}}^{k+1} = {\overrightarrow{x}}^{k} + {\overrightarrow{p}}$ 0

@monochromer 419 / 381 / 163 Регистрация: 03.01.2013 Сообщений: 966
	09.02.2014, 18:56
	PoMa_HaB, В некоторых книгах (это уже не шутка) рекомендуют начальное приближение для метода Ньютона искать следующим образом (опять же это не панацея). Пусть система нелинейных уравнений задана так: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{f}_{i}(\vec{x}) = 0, i = \bar{1,n}$ Тогда начальная точка ищется как решение задачи минимизации функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?F(\vec{x})=\sum_{i=1}^{n}{f}_{i}^{2}(\vec{x})$ В некоторых случаях решение уже можно принимать как корень, либо уточнять. 0