Метод наименьших квадратов

@АльбинаНН · Регистрация: 06.01.2013

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

По данной таблице значений х и у найти методом наименьших квадратов три различные приближающие зависимости (линейную, квадратичную и y=ax^b), построить их графики и сравнить качество полученных результатов.
xi 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75
yi 0,03 0,26 0,82 2,1 4 6,6 10,8

Не могу понять, как делать((

@Mysterious Light · 07.01.2013, 14:45

Сначала нужно составить функционал, который нужно минимизировать.

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\sum_i \left( f(x_i)-y_i \right)^2$

Для линейной интерполяции f(x)=ax+b, поэтому

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S=\sum_i \left(ax_i+b-y_i\right)^2$

Его экстремумы (впрочем, как внутренние экстремумы любой дифференцируемой функции) удовлетворяют соотношениям

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{\partial S}{\partial a}=\sum_i 2 x_i (ax_i+b-y_i)=0, \\ \frac{\partial S}{\partial b}=\sum_i 2 (ax_i+b-y_i)=0$

Поскольку все xi,yi мы знаем, получается система на (a,b), которую можно разрешить:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_i (ax_i+b-y_i)=0 \;\Rightarrow\; N b = \sum_i y_i-a x_i \;\Rightarrow\; b=\bar y-a\bar x,\textrm{ where }\bar x=\frac1N\sum_i x_i\\ \sum_i x_i (ax_i+b-y_i)=\sum_i x_i (ax_i-y_i+\bar y-a\bar x)=0 \;\Rightarrow\; \left(\sum_i (x_i^2)-\sum_i x_i \bar x\right)a=\sum_i x_i y_i - \sum_i x_i \bar y$

Последнее равенство разделим на N с обеих сторон и приведём к компактному виду:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a = \frac {\bar{xy}-\bar x \bar y} {\bar{x^2}-\bar x^2}$

Напомню:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar {x}=\frac1N\sum_i x_i\\ \bar {y}=\frac1N\sum_i y_i\\ \bar {xy}=\frac1N\sum_i x_iy_i\\ \bar {x^2}=\frac1N\sum_i x_i^2$

Во вложении показан график исходной зависимости и линейной интерполяции по МНК, построенный в Wolfram Mathematica. Код вполне читаем, если учесть, что Mean возвращает среднее, а (x.y) — скалярное произведение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_i x_iy_i$ .

Попробуйте сделать две другие интерполяции (квадратичную ax^2+bx+c и показательную ax^b) собственноручно. Путь тот же. Сделайте это и отпишитесь о результате.

Не по теме:

квадратные скобочки не ставятся :cry:

Code
1
[LATEX]S=\sum_i \left[ f(x_i)-y_i \right]^2[/LATEX]

@VSI · 07.01.2013, 15:08

Сообщение от АльбинаНН

По данной таблице значений х и у найти методом наименьших квадратов три различные приближающие зависимости (линейную, квадратичную и y=ax^b), построить их графики и сравнить качество полученных результатов.
xi 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75
yi 0,03 0,26 0,82 2,1 4 6,6 10,8

Не могу понять, как делать((

Вот так это можно сделать в программе Mathcad...

@АльбинаНН · 07.01.2013, 18:00 **[ТС]**

А N что такое?

@Mysterious Light · 07.01.2013, 18:09

Число точек N (7 в Вашем примере)

@Эника · 07.01.2013, 18:09

А если данное задание надо реализовать не в мадкаде, а в Excel, это вообще возможно?

@АльбинаНН · 07.01.2013, 18:26 **[ТС]**

А что такое N?

Добавлено через 16 минут
Поскольку все xi,yi мы знаем, получается система на (a,b), которую можно разрешить:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_i (ax_i+b-y_i)=0 \;\Rightarrow\; N b = \sum_i y_i-a x_i \;\Rightarrow\; b=\bar y-a\bar x,\textrm{ where }\bar x=\frac1N\sum_i x_i\\ \sum_i x_i (ax_i+b-y_i)=\sum_i x_i (ax_i-y_i+\bar y-a\bar x)=0 \;\Rightarrow\; \left(\sum_i (x_i^2)-\sum_i x_i \bar x\right)a=\sum_i x_i y_i - \sum_i x_i \bar y$

Каким образом b выносится за знак суммы?

@Mysterious Light · 07.01.2013, 18:35

N — это количество известных точек.

Сообщение от АльбинаНН

Каким образом b выносится за знак суммы?

Более подробно этот шаг можно описать так:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_{i=1}^N ax_i+b-y_i = a\sum_{i=1}^N x_i + b \sum_{i=1}^N 1 - \sum_{i=1}^N y_i = a (N \bar x) + b N - N \bar y$
Первый переход сделан по линейности суммы, а именно ax1+ax2+ax3=a(x1+x2+x3) и (X1+Y1)+(X2+Y2)+(X3+Y3)=(X1+X2+X3)+(Y1+Y 2+Y3). Второй шаг есть переобозначение двух сумм и замечание о том, что сумма единицы N раз равно N.

Эника, реализовать в Экселе можно, но зачем этот изврат? Если Вас это всё-таки интересует, обращайтесь в ЛС (личное сообщение) ко мне, поговорим отдельно, более детально.

@АльбинаНН · 07.01.2013, 19:33 **[ТС]**

А для квадратичной функции если решать систему уравнений, то удобнее использовать матрицы? Мы просто не изучали такую возможность нахождения коэффициентов. Или есть способ проще?

@Том Ардер · 07.01.2013, 19:37

Эника, в Excel есть функция Correl (среди статистических), посмотрите в Help.

@Mysterious Light · 07.01.2013, 19:50

Для квадратичной функции система уравнений примерно такая:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} a \bar {x^2}+b \bar{x}+c=\bar y,\\ a\bar{x^3}+b\bar{x^2}+c\bar{x}=\bar {xy}, \\ a\bar{x^4}+b\bar{x^3}+c\bar{x^2}=\bar {x^2y} \end{cases}$

Систему можно решить через матрицы, а можно аккуратно выразить c из первого уравнения, подставить во второе, оттуда выразить b, подставить в первое и получить уравнение на a, что эквивалентно методу Гаусса.

@АльбинаНН · 07.01.2013, 19:57 **[ТС]**

А возможно такое, что коэффициенты a и b в квадратичной зависимости равны 0. или же у меня ошибка в решении?

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от Mysterious Light

Для квадратичной функции система уравнений примерно такая:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} a \bar {x^2}+b \bar{x}+c=\bar y,\\ a\bar{x^3}+b\bar{x^2}+c\bar{x}=\bar {xy}, \\ a\bar{x^4}+b\bar{x^3}+c\bar{x^2}=\bar {x^2y} \end{cases}$

Систему можно решить через матрицы, а можно аккуратно выразить c из первого уравнения, подставить во второе, оттуда выразить b, подставить в первое и получить уравнение на a, что эквивалентно методу Гаусса.

А почему в первом уравнении просто c, а не c*n?

@Эника · 07.01.2013, 20:25

Спасибо! Уже сама справилась)))

@АльбинаНН · 08.01.2013, 15:04 **[ТС]**

А может кто подсказать литературу для степенной функции? а то я не могу составить систему уравнений(( Не помню как считаются производные..

Добавлено через 18 часов 36 минут
Mysterious Light, спасибо. Все сделала))

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

@АльбинаНН 0 / 0 / 0 Регистрация: 06.01.2013 Сообщений: 7

	Метод наименьших квадратов 07.01.2013, 13:23. Показов 14104. Ответов 13 Метки нет (Все метки) По данной таблице значений х и у найти методом наименьших квадратов три различные приближающие зависимости (линейную, квадратичную и y=ax^b), построить их графики и сравнить качество полученных результатов. xi 0,25 0,50 0,75 1,00 1,25 1,50 1,75 yi 0,03 0,26 0,82 2,1 4 6,6 10,8 Не могу понять, как делать(( 0

@АльбинаНН 0 / 0 / 0 Регистрация: 06.01.2013 Сообщений: 7
	07.01.2013, 18:00 [ТС]
	А N что такое? 0

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4313 / 2105 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,204 Записей в блоге: 24
	07.01.2013, 18:09
	Число точек N (7 в Вашем примере) 1

@Эника 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.12.2012 Сообщений: 6
	07.01.2013, 18:09
	А если данное задание надо реализовать не в мадкаде, а в Excel, это вообще возможно? 0

@АльбинаНН 0 / 0 / 0 Регистрация: 06.01.2013 Сообщений: 7
	07.01.2013, 18:26 [ТС]
	А что такое N? Добавлено через 16 минут Поскольку все xi,yi мы знаем, получается система на (a,b), которую можно разрешить: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\sum_i (ax_i+b-y_i)=0 \;\Rightarrow\; N b = \sum_i y_i-a x_i \;\Rightarrow\; b=\bar y-a\bar x,\textrm{ where }\bar x=\frac1N\sum_i x_i\\<br /> \sum_i x_i (ax_i+b-y_i)=\sum_i x_i (ax_i-y_i+\bar y-a\bar x)=0 \;\Rightarrow\; \left(\sum_i (x_i^2)-\sum_i x_i \bar x\right)a=\sum_i x_i y_i - \sum_i x_i \bar y$ Каким образом b выносится за знак суммы? 0

@АльбинаНН 0 / 0 / 0 Регистрация: 06.01.2013 Сообщений: 7
	07.01.2013, 19:33 [ТС]
	А для квадратичной функции если решать систему уравнений, то удобнее использовать матрицы? Мы просто не изучали такую возможность нахождения коэффициентов. Или есть способ проще? 0

@Том Ардер $Эксперт по математике/физике$ 4218 / 3418 / 396 Регистрация: 15.06.2009 Сообщений: 5,818
	07.01.2013, 19:37
	Эника, в Excel есть функция Correl (среди статистических), посмотрите в Help. 1

@Mysterious Light $Эксперт по математике/физике$ 4313 / 2105 / 431 Регистрация: 19.07.2009 Сообщений: 3,204 Записей в блоге: 24
	07.01.2013, 19:50
	Для квадратичной функции система уравнений примерно такая: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}<br /> a \bar {x^2}+b \bar{x}+c=\bar y,\\<br /> a\bar{x^3}+b\bar{x^2}+c\bar{x}=\bar {xy}, \\<br /> a\bar{x^4}+b\bar{x^3}+c\bar{x^2}=\bar {x^2y}<br /> \end{cases}$ Систему можно решить через матрицы, а можно аккуратно выразить c из первого уравнения, подставить во второе, оттуда выразить b, подставить в первое и получить уравнение на a, что эквивалентно методу Гаусса. 1

@Эника 0 / 0 / 0 Регистрация: 11.12.2012 Сообщений: 6
	07.01.2013, 20:25
	Спасибо! Уже сама справилась))) 0

@АльбинаНН 0 / 0 / 0 Регистрация: 06.01.2013 Сообщений: 7
	08.01.2013, 15:04 [ТС]
	А может кто подсказать литературу для степенной функции? а то я не могу составить систему уравнений(( Не помню как считаются производные.. Добавлено через 18 часов 36 минут Mysterious Light, спасибо. Все сделала)) 0

Метод наименьших квадратов

Решение