Решение уравнения x^7 = 1

@wer1 · Регистрация: 05.07.2018

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Задача
требуется решить уравнение x⁷ = 1. То есть найти все 7 корней этого уравнения.
Решение
1. очевидно, что первый корень равен 1, а остальные корни комплексные
2. из теории чисел следует, что все корни подобного уравнения расположены
на окружности радиуса 1.
3. будем искать корни на этой окружности
4. итак, полагаем, что корень имеет вид x + y*i (i - мнимая единица)
5. в прилагаемой программе задается цикл, где икс изменяется от -1 до 1
поскольку уравнение окружности x² + y² = 1, то игрек вычисляется по формуле $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y=\pm\sqrt{1-x^2}$
6. Как определить что комплексное число - корень нашего уравнения?
7. я ввел функцию f(x, y). Эта функция возводит число x + y*i в седьмую степень и вычитает 1.
и если это число - корень нашего уравнения то мы должны получить число 0. Однако все
вычисления ведутся приближенно и мы получаем некоторое комплексное число, близость
которого к 0 определяется выражением SQR(x^2 + y^2). Именно это значение и получает
функция f(x, y)
8. с первого взгляда вроде бы всё верно. НО
программа никак не может вычислить самый простой корень равный 1. Это и неудивительно
при икс по модулю близком к 1, окружность вертикально пересекает ось абсцисс. То есть
велика погрешность вычисления числа y.
9. В общем надо либо модифицировать алгоритм, либо менять его на новый.
10. Короче, надо как-то "пройти" по окружности и проверить все числа на предмет быть корнем
нашего уравнения.
11. В общем решал я решал ... что-то решил ... может кто-то предложит иной алгоритм.
буду рад любой подсказке.
12. Ну не находит программа корень равный 1. Значит что-то неверно. Или всё неверно?

QBasic/QuickBASIC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
REM          x^7 = 1  
REM  x1 = 1
REM  x2 = -0.9010 + 0.4338i
REM  x3 = -0.9010 - 0.4338i
REM  x4 = -0.2224 + 0.9749i
REM  x5 = -0.2224 - 0.9749i  
REM  x6 =  0.6235 + 0.7817i 
REM  x7 =  0.6235 - 0.7817i
REM
 
DECLARE FUNCTION f! (x!, y!)
CLS
 
FOR x = -1 TO 1 STEP .0002
   y1 = SQR(1 - x ^ 2)
   IF f(x, y1) < .001 THEN PRINT x; y1
 
   y2 = -y1
   IF f(x, y2) < .001 THEN PRINT x; y2
NEXT
END
 
FUNCTION f (x, y)
   p = x
   q = y
 
   FOR i = 1 TO 6
      p1 = p
      p = p1 * x - q * y
      q = p1 * y + q * x
   NEXT
 
   p = p - 1
   f = SQR(p ^ 2 + q ^ 2)
END FUNCTION

@wer1 · 07.11.2018, 08:33 **[ТС]**

Задача оказалась намного проще, чем я предполагал. Просто надо извлечь
корень седьмой степени из единицы и распечатать все семь решений.
Программа прилагается.

примечание
небольшое изменение программы позволит извлекать из 1 корень любой степени.

QBasic/QuickBASIC
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
REM          x^7 = 1
REM  x1 =  1 + 0 * i
REM  x2 =  0.62349 + 0.78183*i
REM  x3 = -0.22252 + 0.97492*i
REM  x4 = -0.90096 + 0.43388*i
REM  x5 = -0.90096 - 0.43388*i
REM  x6 = -0.22252 - 0.97492*i
REM  x7 =  0.62349 - 0.78183*i
REM
 
CONST pi = 3.141593
CLS
 
FOR i = 0 TO 6
   u = (2 * pi * i) / 7
   PRINT COS(u); SIN(u); "* i"
NEXT
END

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Ритм жизни kumehtar 27.02.2026 Иногда приходится жить в ритме, где дел становится всё больше, а вовлечения в происходящее — всё меньше. Плотный график не даёт вниманию закрепиться ни на одном событии. Утро начинается с быстрых,. . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Сборка SDL3 и Box2D из исходников с помощью CMake и Emscripten 8Observer8 27.02.2026 Недавно вышла версия 3. 4. 2 библиотеки SDL3. На странице официальной релиза доступны исходники, готовые DLL (для x86, x64, arm64), а также библиотеки для разработки под Android, MinGW и Visual Studio. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .
Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .	И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»