Групповое свойство дробно-линейных отображений

@oobarbazanoo · Регистрация: 13.05.2015

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Подскажите, пожалуйста, как доказать групповое свойство дробно-линейных отображений.

Наличие нейтрального элемента - это принадлежность к дробно-линейным Id отображения. Тут всё ясно.

Непонятно как доказывать наличие обратного элемента и ассоциативность.

Допустим я возьму три отображения, запишу суперпозицию первого от суперпозиции второго и третьего отображений и суперпозицию суперпозиции первого и второго от третьего. Это же невероятно громоздкие вычисления. Можно как-то попроще?

@palva · 20.04.2017, 20:05

Любые отображения множества в себя ассоциативны по суперпозиции. Это обычно доказывают при рассказе о множествах и отображениях.

Обратное отображение к дробно-линейному вычисляется из системы уравнений.

@oobarbazanoo · 21.04.2017, 00:17 **[ТС]**

Сообщение от palva

Обратное отображение к дробно-линейному вычисляется из системы уравнений.

Можете расписать, пожалуйста.

@jogano · 21.04.2017, 01:08

Сообщение от oobarbazanoo

Это же невероятно громоздкие вычисления. Можно как-то попроще?

Можно, хоть 10 суперпозиций

. Достаточно творчески использовать матрицы.
Например, у вас есть дробно-линейное преобразование $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?v=\frac{2z-3}{-5z+1}$ и второе $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?w=\frac{4v+1}{3v-4}$ . Взяты действительные коэффициенты, чтобы меньше писать, но они могут быть и комплексными. Запишем эти преобразования в матричной форме: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}2 & -3\\ -5 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}z\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v\\ 1\end{pmatrix}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}4 & 1\\ 3 & -4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}w\\ 1\end{pmatrix}$
Если первая матрица А, а вторая В, то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?BA\begin{pmatrix}z\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}w\\ 1\end{pmatrix}$ . Произведение этих матриц в таком порядке равно $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}3 & -11\\ 26 & -13\end{pmatrix}$ . Значит, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?w=\frac{3z-11}{26z-13}$ . Ну будет у вас третье преобразование - домножили слева на третью матрицу. Вот и вся "невероятная громоздкость".
Точно так же ищется обратное преобразование: если
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A\begin{pmatrix}z\\ 1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}v\\ 1\end{pmatrix} \: \Rightarrow \: \begin{pmatrix}z\\ 1\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}v\\ 1\end{pmatrix}$ . Для этого нужно, чтобы det(A) не равнялось бы 0.

Добавлено через 12 минут
Кстати, когда нужно искать обратную матрицу к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}$ , то $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A^{-1}=\frac{1}{detA}\begin{pmatrix}a_{22} & -a_{12}\\ -a_{21} & a_{11}\end{pmatrix}$ и с точки зрения дробно-линейного преобразования множитель $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{1}{detA}$ можно убрать вообще - вы ищете отношение числителя к знаменателю, а не отдельно числитель и знаменатель (с точки зрения алгебры, числитель и знаменатель дроби можно умножить или разделить на любое ненулевое число без нарушения знака "=").

@oobarbazanoo · 21.04.2017, 01:08 **[ТС]**

jogano, почему во второй клетке стоит единица? Например, почему результат умножения матрицы на вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}v\\ 1\end{matrix} \right)$ , а не $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}v\\ 0\end{matrix} \right)$ ?

@jogano · 21.04.2017, 01:16

Потому что в моём примере, фактически, записано, что ОТНОШЕНИЕ 2*z-3*1 к -5*z+1*z равно v, то есть числитель равен av, а знаменатель a (a - какое-то комплексное число). Поэтому вместо вектора-столбца $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}av\\ a\end{pmatrix}$ пишем, сокращая на а, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}v\\ 1\end{pmatrix}$

Добавлено через 2 минуты
Вы, считайте, решаете систему $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}2z-3=av \\ -5z+1=a \end{cases}$ относительно а и z, где а вам не нужно потом.

@oobarbazanoo · 21.04.2017, 01:17 **[ТС]**

jogano, вы хотели сказать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} {a}_{22}& {-a}_{21}\\ {-a}_{12}& {a}_{11}\end{pmatrix}$ вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} {a}_{22}& {-a}_{12}\\ {-a}_{21}& {a}_{11}\end{pmatrix}$ ? Исхожу из правил нахождения обратной матрицы изложенных вот здесь: http://math1.ru/education/matrix/inverse0.html.

@palva · 21.04.2017, 01:18

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{az+b}{cz+d}\circ\frac{ez+f}{gz+h}=\left(a\cdot\frac{ez+f}{gz+h}+b\right):\left(c\cdot\frac{ez+f}{gz+h}+d\right)=<br /> \frac{ae\cdot z+af+bg\cdot z+bh}{ce\cdot z+cf+dg\cdot z+dh}=\frac{(ae+bg)z+af+bh}{(ce+dg)z+cf+dh}.$
То есть коэффициенты результата это элементы произведения матриц
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}a&b\\c&d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}e&f\\g&h \end{pmatrix}$
Обратная матрица даст нам обратную дробно-линейную функцию.
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix}a&b\\c&d \end{vmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a \end{pmatrix}$

@jogano · 21.04.2017, 01:25

oobarbazanoo, я написал то, что и хотел написать: "элементы главной диагонали меняются местами, а элементы вспомогательной диагонали меняют знаки". И разделить на определитель исходной матрицы. Без транспонирования.
Проверьте: по вашей ссылке в примере #2 определитель равен -103. По написанному выше обратная матрица к матрице 2-го порядка должна быть равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}8 & -7\\ -9 & -5\end{pmatrix}$ и разделить на -103 каждый элемент.

@oobarbazanoo · 21.04.2017, 01:28 **[ТС]**

palva, первое равенство уже не понятно. Эх.

Добавлено через 39 секунд
jogano, почему без транспонирования?

Добавлено через 2 минуты
jogano, указанная Вами матрица в 9 сообщении является транспонированной, если Вы брали её из моей ссылки в 7 сообщении.

@palva · 21.04.2017, 01:29

Сообщение от oobarbazanoo

первое равенство уже не понятно. Эх.

Я расписал, что такое суперпозиция отображений.

Сообщение от jogano

множитель можно убрать вообще

Да, jogano правильно написал. У меня тоже детерминант в конце можно убрать.

@oobarbazanoo · 21.04.2017, 01:31 **[ТС]**

jogano, достаточно ли будет доказать валидность использования матричной абстракции для выражения дробно-линейных отображений, а далее сказать, что умножение матриц асоциативно, а значит и суперпозиция дробно-линейных отображений асоциативна? Если да, то как доказать валидность матричной абстракции?

@palva · 21.04.2017, 01:31

oobarbazanoo, а почему вы не читаете учебник? У Шабата эти отображения рассматриаются, у Привалова. А то мы здесь выводим из головы формулы, иногда делаем ошибки, иногда упускаем подробности...

@oobarbazanoo · 21.04.2017, 01:36 **[ТС]**

palva, ура понял. В первом равенстве Вы просто подставили целое выражение вместо z!

Добавлено через 4 минуты
palva,

Не по теме:

если начинаю читать, то читаю от корки до корки, а это забирает много времени и я не могу отвлечься на подготовку к мероприятиям на которых меня оценивают (экзамены, зачёты, контрольные, коллоквиумы, самостоятельные и т.д.). Многие моменты Вы объясняете в разы быстрее чем это сделал бы учебник. Ну а халтурно я всё же читаю учебники. Под халтурно имею ввиду что рассматриваю необходимые мне куски книги не углубляясь в продвинутые сноски и не чувствуя направления книжки, то есть не знаю к чему ведёт доказательство той или иной теоремы, введение того или иного определения.

@jogano · 21.04.2017, 01:36

Сообщение от palva

а почему вы не читаете учебник?

Это вечный вопрос для большинства посетителей как минимум ветки "Математика"

. И безответный, увы.

Сообщение от oobarbazanoo

указанная Вами матрица в 9 сообщении является транспонированной, если Вы брали её из моей ссылки в 7 сообщении

Неужели? В исходной матрице справа-вверху 7, слева-внизу 9, в моей (и в их) обратной справа-вверху -7, слева-внизу -9. И где же тут транспонирование?

@oobarbazanoo · 21.04.2017, 01:42 **[ТС]**

palva, берём 8 сообщение, говорим что умножение матриц ассоциативно, а значит суперпозиция дробно-линейных отображений асоциативна. Верно?

Добавлено через 1 минуту
jogano, понял. Мы говорили про разные матрицы. Я про матрицу алгебраических дополнений, Вы про исходную.

Добавлено через 1 минуту
jogano,

Сообщение от oobarbazanoo

берём 8 сообщение, говорим что умножение матриц ассоциативно, а значит суперпозиция дробно-линейных отображений асоциативна. Верно?

Можно так ассоциативность доказать?

Тогда для любой матрицы с не нулевым определителем существует обратная матрица, а значит для любого дробно-линейного отображения существует обратное.

И единица группы - тождественное отображение.

Можно так?

@palva · 21.04.2017, 01:55

oobarbazanoo, да, правильно. Мы же с jogano дали явное выражение для обратного преобразования.

Добавлено через 2 минуты

Сообщение от oobarbazanoo

Если да, то как доказать валидность матричной абстракции?

То что мы сделали -- это установили изоморфизм между дробно-линейными функциями и фактор группой всех обратимых матриц по подгруппе всех ненулевых скалярных матриц, то есть диагональных матриц с одинаковыми элементами на диагонали.
А если рассмотреть сферу Римана, то это группа собственных движений (вращений) этой сферы.

Добавлено через 3 минуты
ДЛП тем и интересны, что позволяют понять как устроена группа вращений сферы.

@oobarbazanoo · 21.04.2017, 01:57 **[ТС]**

palva, ответьте, пожалуйста, можно ли доказывать групповое свойство ДЛП так, как я это делаю в 16 сообщении?

@palva · 21.04.2017, 02:02

oobarbazanoo, можно.

@oobarbazanoo · 21.04.2017, 02:25 **[ТС]**

jogano, а Вы как считаете можно доказывать так, как я это сделал в 16 сообщении?

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .	Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .
Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .	PowerShell Snippets iNNOKENTIY21 11.11.2025 Модуль PowerShell 5. 1+ : Snippets. psm1 У меня модуль расположен в пользовательской папке модулей, по умолчанию: \Documents\WindowsPowerShell\Modules\Snippets\ А в самом низу файла-профиля. . .

Групповое свойство дробно-линейных отображений

Решение

Решение

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835

	Групповое свойство дробно-линейных отображений 20.04.2017, 19:36. Показов 2746. Ответов 20 Метки нет (Все метки) Подскажите, пожалуйста, как доказать групповое свойство дробно-линейных отображений. Наличие нейтрального элемента - это принадлежность к дробно-линейным Id отображения. Тут всё ясно. Непонятно как доказывать наличие обратного элемента и ассоциативность. Допустим я возьму три отображения, запишу суперпозицию первого от суперпозиции второго и третьего отображений и суперпозицию суперпозиции первого и второго от третьего. Это же невероятно громоздкие вычисления. Можно как-то попроще? 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,909 Записей в блоге: 4
	20.04.2017, 20:05
	Любые отображения множества в себя ассоциативны по суперпозиции. Это обычно доказывают при рассказе о множествах и отображениях. Обратное отображение к дробно-линейному вычисляется из системы уравнений. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	21.04.2017, 01:08 [ТС]
	jogano, почему во второй клетке стоит единица? Например, почему результат умножения матрицы на вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}v\\ 1\end{matrix} \right)$ , а не $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(\begin{matrix}v\\ 0\end{matrix} \right)$ ? 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	21.04.2017, 01:16
	Потому что в моём примере, фактически, записано, что ОТНОШЕНИЕ 2z-31 к -5z+1z равно v, то есть числитель равен av, а знаменатель a (a - какое-то комплексное число). Поэтому вместо вектора-столбца $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}av\\ a\end{pmatrix}$ пишем, сокращая на а, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}v\\ 1\end{pmatrix}$ Добавлено через 2 минуты Вы, считайте, решаете систему $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases}2z-3=av \\ -5z+1=a \end{cases}$ относительно а и z, где а вам не нужно потом. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	21.04.2017, 01:17 [ТС]
	jogano, вы хотели сказать $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} {a}_{22}& {-a}_{21}\\ {-a}_{12}& {a}_{11}\end{pmatrix}$ вместо $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix} {a}_{22}& {-a}_{12}\\ {-a}_{21}& {a}_{11}\end{pmatrix}$ ? Исхожу из правил нахождения обратной матрицы изложенных вот здесь: http://math1.ru/education/matrix/inverse0.html. 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,909 Записей в блоге: 4
	21.04.2017, 01:18
	$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{az+b}{cz+d}\circ\frac{ez+f}{gz+h}=\left(a\cdot\frac{ez+f}{gz+h}+b\right):\left(c\cdot\frac{ez+f}{gz+h}+d\right)=<br /> \frac{ae\cdot z+af+bg\cdot z+bh}{ce\cdot z+cf+dg\cdot z+dh}=\frac{(ae+bg)z+af+bh}{(ce+dg)z+cf+dh}.$ То есть коэффициенты результата это элементы произведения матриц $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}a&b\\c&d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}e&f\\g&h \end{pmatrix}$ Обратная матрица даст нам обратную дробно-линейную функцию. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{vmatrix}a&b\\c&d \end{vmatrix}^{-1}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a \end{pmatrix}$ 2

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	21.04.2017, 01:25
	oobarbazanoo, я написал то, что и хотел написать: "элементы главной диагонали меняются местами, а элементы вспомогательной диагонали меняют знаки". И разделить на определитель исходной матрицы. Без транспонирования. Проверьте: по вашей ссылке в примере #2 определитель равен -103. По написанному выше обратная матрица к матрице 2-го порядка должна быть равна $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{pmatrix}8 & -7\\ -9 & -5\end{pmatrix}$ и разделить на -103 каждый элемент. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	21.04.2017, 01:28 [ТС]
	palva, первое равенство уже не понятно. Эх. Добавлено через 39 секунд jogano, почему без транспонирования? Добавлено через 2 минуты jogano, указанная Вами матрица в 9 сообщении является транспонированной, если Вы брали её из моей ссылки в 7 сообщении. 0

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	21.04.2017, 01:31 [ТС]
	jogano, достаточно ли будет доказать валидность использования матричной абстракции для выражения дробно-линейных отображений, а далее сказать, что умножение матриц асоциативно, а значит и суперпозиция дробно-линейных отображений асоциативна? Если да, то как доказать валидность матричной абстракции? 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,909 Записей в блоге: 4
	21.04.2017, 01:31
	oobarbazanoo, а почему вы не читаете учебник? У Шабата эти отображения рассматриаются, у Привалова. А то мы здесь выводим из головы формулы, иногда делаем ошибки, иногда упускаем подробности... 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	21.04.2017, 01:36 [ТС]
	palva, ура понял. В первом равенстве Вы просто подставили целое выражение вместо z! Добавлено через 4 минуты palva, Не по теме: если начинаю читать, то читаю от корки до корки, а это забирает много времени и я не могу отвлечься на подготовку к мероприятиям на которых меня оценивают (экзамены, зачёты, контрольные, коллоквиумы, самостоятельные и т.д.). Многие моменты Вы объясняете в разы быстрее чем это сделал бы учебник. Ну а халтурно я всё же читаю учебники. Под халтурно имею ввиду что рассматриваю необходимые мне куски книги не углубляясь в продвинутые сноски и не чувствуя направления книжки, то есть не знаю к чему ведёт доказательство той или иной теоремы, введение того или иного определения. 0

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	21.04.2017, 01:57 [ТС]
	palva, ответьте, пожалуйста, можно ли доказывать групповое свойство ДЛП так, как я это делаю в 16 сообщении? 0

@palva 4272 / 2966 / 691 Регистрация: 08.06.2007 Сообщений: 9,909 Записей в блоге: 4
	21.04.2017, 02:02
	Сообщение было отмечено oobarbazanoo как решение Решение oobarbazanoo, можно. 1

@oobarbazanoo 7 / 30 / 9 Регистрация: 13.05.2015 Сообщений: 1,835
	21.04.2017, 02:25 [ТС]
	jogano, а Вы как считаете можно доказывать так, как я это сделал в 16 сообщении? 0