Доказать, что оператор является линейным ограниченным

@Argenta · Регистрация: 29.11.2017

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

В пространстве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C[-\pi,\pi]$ рассмотрим подпространство M функций $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(t)$ , удовлетворяющих условию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(-\pi)=x(\pi)$ Для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(t) \in M$ положим
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_n (t) = A_n x(t) = \frac{a_0}{2} +\sum_{k=1}^n a_k cos kt + b_k sin kt$
где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi x(t) cos kt dt, \quad b_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi x(t) sin kt dt$
тем самым каждой функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(t) \in M$ сопоставлена частичная сумма ее ряда Фурье

Уже известно, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? y_n (t)=A_n x(t) =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi x(\tau) \frac {sin[(2n+1)(\tau-t)/2]}{sin[(\tau-t)/2]} d\tau$
Как доказать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_n \in L(M)$ (т.е. является линейным ограниченным) и что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?||A_n||=\max_{t\in[-\pi,\pi]} \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi | \frac {sin[(2n+1)(\tau-t)/2]}{sin[(\tau-t)/2]} | d\tau$ ?

@eropegov · 02.12.2019, 02:47

Ограниченность доказывается стандартной оценкой с внесением модуля под знак интеграла и вытаскиванием оттуда величины $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\max_{t\in[-\pi,\pi]}|x(t)| = ||x||$ . А если возьмёте в качестве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ константу - получите точное значение нормы оператора.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Валидация и контроль данных табличной части документа перед записью Maks 22.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа, разработанного в КА2. Задача: контроль и валидация данных табличной части документа перед записью с учетом регламента компании. . .	Отчёт о затраченных материалах за определенный период с макетом печатной формы Maks 21.04.2026 Отчёт из решения ниже размещён в конфигурации КА2. Задача: разработка отчёта по затраченным материалам за определённый период, с возможностью вывода печатной формы отчёта с шапкой и подвалом. В. . .	Отчёт о спецтехнике находящейся в ремонте Maks 20.04.2026 Отчёт из решения ниже размещен в конфигурации КА2. Задача: отобразить спецтехнику, которая на данный момент находится в ремонте. Есть нетиповой документ "Заявка на ремонт спецтехники" который. . .	Памятка для бота и "визитка" для читателей "Semantic Universe Layer (Слой семантической вселенной)" Hrethgir 19.04.2026 Сгенерировано для краткого описания по случаю сборки и компиляции скелета серверного приложения. И пусть после этого скажут, что статьи сгенерированные AI - туфта и не интересно. И это не реклама -. . .
Запрет удаления строк ТЧ документа при определённом условии Maks 19.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "Аккумуляторы", разработанного в конфигурации КА2. У данного документа есть ТЧ, в которой в зависимости от прав доступа. . .	Модель заражения группы наркоманов alhaos 17.04.2026 Условия задачи сформулированы тут Суть: - Группа наркоманов из 10 человек. - Только один инфицирован ВИЧ. - Колются одной иглой. - Колются раз в день. - Колются последовательно через. . .	Мысли в слух. Про "навсегда". kumehtar 16.04.2026 Подумалось тут, что наверное очень глупо использовать во всяких своих установках понятие "навсегда". Это очень сильное понятие, и я только начинаю понимать край его смысла, не смотря на то что давно. . .	My Business CRM MaGz GoLd 16.04.2026 Всем привет, недавно возникла потребность создать CRM, для личных нужд. Собственно программа предоставляет из себя базу данных клиентов, в которой можно фиксировать звонки, стадии сделки, а также. . .

@Argenta 3 / 3 / 2 Регистрация: 29.11.2017 Сообщений: 126

	Доказать, что оператор является линейным ограниченным 27.11.2019, 21:15. Показов 2891. Ответов 1 Метки нет (Все метки) В пространстве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?C[-\pi,\pi]$ рассмотрим подпространство M функций $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(t)$ , удовлетворяющих условию $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(-\pi)=x(\pi)$ Для $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(t) \in M$ положим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?y_n (t) = A_n x(t) = \frac{a_0}{2} +\sum_{k=1}^n a_k cos kt + b_k sin kt$ где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?a_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi x(t) cos kt dt, \quad b_k=\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi x(t) sin kt dt$ тем самым каждой функции $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x(t) \in M$ сопоставлена частичная сумма ее ряда Фурье Уже известно, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi? y_n (t)=A_n x(t) =\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi x(\tau) \frac {sin[(2n+1)(\tau-t)/2]}{sin[(\tau-t)/2]} d\tau$ Как доказать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?A_n \in L(M)$ (т.е. является линейным ограниченным) и что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\|\|A_n\|\|=\max_{t\in[-\pi,\pi]} \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi \| \frac {sin[(2n+1)(\tau-t)/2]}{sin[(\tau-t)/2]} \| d\tau$ ? 0

@eropegov $Эксперт по математике/физике$ 505 / 465 / 100 Регистрация: 30.01.2017 Сообщений: 1,371
	02.12.2019, 02:47
	Сообщение было отмечено Argenta как решение Решение Ограниченность доказывается стандартной оценкой с внесением модуля под знак интеграла и вытаскиванием оттуда величины $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\max_{t\in[-\pi,\pi]}\|x(t)\| = \|\|x\|\|$ . А если возьмёте в качестве $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?x$ константу - получите точное значение нормы оператора. 1

Доказать, что оператор является линейным ограниченным

Решение