Доказать комбинаторное тождество

@annussaa · Регистрация: 01.11.2014

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

доказать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{C}^{1}_{n} + {6C}^{2}_{n} + {6C}^{3}_{n} = {n}^{3}$ .

Байт · 13.05.2015, 21:46

annussaa, было бы любопытно посмотреть на ваши соображения.

@annussaa · 13.05.2015, 21:54 **[ТС]**

Байт, разложила по формуле:

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{n!}{1!(n-1)!} + \frac{6*n!}{2!(n-2)!} + \frac{6*n!}{3!(n-3)!} = {n}^{3}$

числа сокращаются, но, как понимаю, всё нужно привести к общему знаменателю (если в том направлении думаю). тут немного сложновато.

Байт · 13.05.2015, 22:02

n + 3n(n-1) + n(n-1)(n-2) = ...
Помните о формуле "убийце факториалов" (factorial-killer) n! = n*(n-1)!

@splen · 15.05.2015, 00:24

Комбинаторное тождество можно доказывать также с помощью комбинаторных рассуждений.
Пусть имеется 3 набора карточек 3-х разных цветов по n карточек в каждом наборе,
причём карточки каждого набора пронумерованы числами от 1 до n, а N - количество
способов выбрать из них 3 карточки разных цветов. Поскольку карточку каждого цвета
можно выбрать одним из n способов, существует всего n³ способов выбрать все 3 карточки.
Значит, N = n³. С другой стороны, количество способов выбрать 3 карточки равно сумме
N₁+N₂+N₃, где N₁ - количество способов, при которых все 3 выбранные карточки имеют
одинаковые номера, N₂ - количество способов, при которых номера ровно 2-х из них
совпадают, а N₃ - количество способов выбрать 3 карточки разных номеров. Тогда N₁ равно
числу способов выбрать один номер из n, т.е. N₁ = C_n¹, N₂ равно произведению числа
способов выбрать 2 различных номера из n на число способов распределить их между 3-мя
цветами, равное числу размещений из 3-х по 2, т.е. N₂ = C_n² * 3!/1!, а N₃ равно произведению
числа способов выбрать 3 различных номера из n на число способов распределить их между
3-мя цветами, равное числу перестановок из 3-х, т.е. N₃ = C_n³ * 3!.
Отсюда следует доказываемое равенство.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Сумматор с применением элементов трёх состояний. Hrethgir 26.03.2026 Тут. https:/ / fips. ru/ EGD/ ab3c85c8-836d-4866-871b-c2f0c5d77fbc Первый документ красиво выглядит, но без схемы. Это конечно не даёт никаких плюсов автору, но тем не менее. . . всё может быть. . .	Автозаполнение реквизитов при создании документа Maks 26.03.2026 Программный код из решения ниже размещается в модуле объекта документа, в процедуре "ПриСозданииНаСервере". Алгоритм проверки заполнения реализован для исключения перезаписи значения реквизита,. . .	Команды "Заполнить" и "Очистить" на форме документа Maks 26.03.2026 1. Команда формы "ЗаполнитьЗапчасти". На примере нетипового документа "ЗаявкаНаРемонтСпецтехники" разработанного в конфигурации КА2. В качестве источника данных выбран регистр накопления, в. . .	Кому нужен AOT? DevAlt 26.03.2026 Решил сделать простой ланчер Написал заготовку: dotnet new console --aot -o UrlHandler var items = args. Split(":"); var tag = items; var id = items; var executable = args;. . .
Отправка уведомления на почту при изменении наименования справочника Maks 24.03.2026 Программная отправка письма электронной почты на примере изменения наименования типового справочника "Склады" в конфигурации БП3. Перед реализацией необходимо выполнить настройку системной учетной. . .	модель ЗдравоСохранения 5. Меньше увольнений- больше дохода! anaschu 24.03.2026 Теперь система здравосохранения уменьшает количество увольнений. 9TO2GP2bpX4 a42b81fb172ffc12ca589c7898261ccb/ https:/ / rutube. ru/ video/ a42b81fb172ffc12ca589c7898261ccb/ Слева синяя линия -. . .	Midnight Chicago Blues kumehtar 24.03.2026 Такой Midnight Chicago Blues, знаешь?. . Когда вечерние улицы становятся ночными, а ты не можешь уснуть. Ты идёшь в любимый старый бар, и бармен наливает тебе виски. Ты смотришь на пролетающие. . .	SDL3 для Desktop (MinGW): Вывод текста со шрифтом TTF с помощью библиотеки SDL3_ttf на Си и C++ 8Observer8 24.03.2026 Содержание блога Финальные проекты на Си и на C++: finish-text-sdl3-c. zip finish-text-sdl3-cpp. zip

@annussaa 2 / 2 / 1 Регистрация: 01.11.2014 Сообщений: 39

	Доказать комбинаторное тождество 13.05.2015, 19:33. Показов 6107. Ответов 4 Метки нет (Все метки) доказать, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{C}^{1}_{n} + {6C}^{2}_{n} + {6C}^{3}_{n} = {n}^{3}$ . 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	13.05.2015, 21:46
	annussaa, было бы любопытно посмотреть на ваши соображения. 0

@annussaa 2 / 2 / 1 Регистрация: 01.11.2014 Сообщений: 39
	13.05.2015, 21:54 [ТС]
	Байт, разложила по формуле: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\frac{n!}{1!(n-1)!} + \frac{6n!}{2!(n-2)!} + \frac{6n!}{3!(n-3)!} = {n}^{3}$ числа сокращаются, но, как понимаю, всё нужно привести к общему знаменателю (если в том направлении думаю). тут немного сложновато. 0

Байт Диссидент 27714 / 17332 / 3810 Регистрация: 24.12.2010 Сообщений: 38,978
	13.05.2015, 22:02
	n + 3n(n-1) + n(n-1)(n-2) = ... Помните о формуле "убийце факториалов" (factorial-killer) n! = n*(n-1)! 0

@splen 1728 / 1020 / 181 Регистрация: 03.06.2012 Сообщений: 1,220
	15.05.2015, 00:24
	Комбинаторное тождество можно доказывать также с помощью комбинаторных рассуждений. Пусть имеется 3 набора карточек 3-х разных цветов по n карточек в каждом наборе, причём карточки каждого набора пронумерованы числами от 1 до n, а N - количество способов выбрать из них 3 карточки разных цветов. Поскольку карточку каждого цвета можно выбрать одним из n способов, существует всего n³ способов выбрать все 3 карточки. Значит, N = n³. С другой стороны, количество способов выбрать 3 карточки равно сумме N₁+N₂+N₃, где N₁ - количество способов, при которых все 3 выбранные карточки имеют одинаковые номера, N₂ - количество способов, при которых номера ровно 2-х из них совпадают, а N₃ - количество способов выбрать 3 карточки разных номеров. Тогда N₁ равно числу способов выбрать один номер из n, т.е. N₁ = C_n¹, N₂ равно произведению числа способов выбрать 2 различных номера из n на число способов распределить их между 3-мя цветами, равное числу размещений из 3-х по 2, т.е. N₂ = C_n² * 3!/1!, а N₃ равно произведению числа способов выбрать 3 различных номера из n на число способов распределить их между 3-мя цветами, равное числу перестановок из 3-х, т.е. N₃ = C_n³ * 3!. Отсюда следует доказываемое равенство. 1