Как найти рациональные корни полинома?

@Alexandri · Регистрация: 15.10.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Ломаю голову уже пару дней, не могу понять теорему к решению этой задачи.
Найти все рациональные корни полинома n-й степени с целыми коэффициентами f(x)=2*x^2+7*x^3-12*x^2-38*x+21.

Теорема. Для того чтобы несократимая дробь p/q была корнем уравнения an (q!=0) xn + an-1 xn-1 + ... + a0 = 0 с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число р было делителем свободного члена а0, а число q – делителем старшего коэффициента an (причем q¹0 и an¹0).
Если уравнение имеет целые коэффициенты, а старший коэффициент равен единице (т.е. аn=1), то рациональными корнями этого уравнения могут быть только целые числа, которые являются делителями свободного члена а0.
сам код программы я понимаю, пример предоставлен в задании, но с теоремой до конца разобраться не могу(

@doctor_lecter · 15.10.2012, 09:54

a₀ - свободный коэффициент. Его делители: p₀=1, p₁, p₂, ... , p_k=a₀
a_n - коэффициент при степени n. Его делители: q₀=1, q₁, q₂, ... , q_m=a_n
Корни искать среди чисел: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm \frac{{p}_{i}}{{q}_{j}}, i\in [0, k], j\in [0, m]$
Но так можно найти только корни среди рациональных чисел, если есть действительные корни, так их найти не получится.

@Alexandri · 15.10.2012, 09:58 **[ТС]**

Примитивный вопрос, но все же, если действительные корни есть, то как найти?

@doctor_lecter · 15.10.2012, 10:02

Самый тупой способ - найти корень на интервале [a, b] проверить все значения x с шагом dx, и сравнить |y(x)| < eps

silent_1991 · 15.10.2012, 10:05

doctor_lecter, зачем? Теорема же не просто так дана. Надо найти все делители старшего и младшего коэффициентов и попробовать каждую из комбинаций числитель/знаменатель на то, является ли она корнем.

@doctor_lecter · 15.10.2012, 10:18

silent_1991, это подходит только для рациональных корней, для действительных этот способ не работает. Пример x^2+2x-2. тут корни -1+-sqrt(3), среди чисел +-1, +-2 корней нет.

silent_1991 · 15.10.2012, 10:41

Не по теме:

doctor_lecter, да, не заметил, что вопрос про действительные...

Байт · 15.10.2012, 10:47

Не понял о чем разговор

Сообщение от Alexandri

Найти все рациональные корни

Alexandri, а по поводу теоремы обращайтесь в подфорум "Математика - Алгебра"

silent_1991 · 15.10.2012, 10:50

Байт,

Сообщение от Alexandri

Примитивный вопрос, но все же, если действительные корни есть, то как найти?

Либо ТС опечатался, либо дополнительно интересуется про действительные.

Байт · 15.10.2012, 11:04

Сообщение от silent_1991

дополнительно интересуется про действительные.

Но это уже совсем другой вопрос, другая тема.
Впрочем, если и впрямь интересно, то в данном случае я бы посоветовал воспользоваться формулой Кардано. Для степени 4 тоже есть формула. А вот дальше, как показал тов.Галуа, общего решения в квадратурах нету. Но можно применить способ, предложенный в посте #4 doctor_lecter для приблизительного нахождения корней. Впрочем, ни одна из существующих ЭВМ точного значения иррационального корня вычислить не в состоянии ни по какой формуле, и в ближайшем будущем появление таких ЭВМ не предвидится

@Alexandri · 15.10.2012, 11:39 **[ТС]**

спасибо, учту на будущее куда обращаться)
и за помощь тоже спасибо)
разобралась)

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Новый ноутбук volvo 07.12.2025 Всем привет. По скидке в "черную пятницу" взял себе новый ноутбук Lenovo ThinkBook 16 G7 на Амазоне: Ryzen 5 7533HS 64 Gb DDR5 1Tb NVMe 16" Full HD Display Win11 Pro	Музыка, написанная Искусственным Интеллектом volvo 04.12.2025 Всем привет. Некоторое время назад меня заинтересовало, что уже умеет ИИ в плане написания музыки для песен, и, собственно, исполнения этих самых песен. Стихов у нас много, уже вышли 4 книги, еще 3. . .	От async/await к виртуальным потокам в Python IndentationError 23.11.2025 Армин Ронахер поставил под сомнение async/ await. Создатель Flask заявляет: цветные функции - провал, виртуальные потоки - решение. Не threading-динозавры, а новое поколение лёгких потоков. Откат?. . .	Поиск "дружественных имён" СОМ портов Argus19 22.11.2025 Поиск "дружественных имён" СОМ портов На странице: https:/ / norseev. ru/ 2018/ 01/ 04/ comportlist_windows/ нашёл схожую тему. Там приведён код на С++, который показывает только имена СОМ портов, типа,. . .	Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Programma_Boinc 20.11.2025 Сколько Государство потратило денег на меня, обеспечивая инсулином. Вот решила сделать интересный приблизительный подсчет, сколько государство потратило на меня денег на покупку инсулинов. . . .
Ломающие изменения в C#.NStar Alpha Etyuhibosecyu 20.11.2025 Уже можно не только тестировать, но и пользоваться C#. NStar - писать оконные приложения, содержащие надписи, кнопки, текстовые поля и даже изображения, например, моя игра "Три в ряд" написана на этом. . .	Мысли в слух kumehtar 18.11.2025 Кстати, совсем недавно имел разговор на тему медитаций с людьми. И обнаружил, что они вообще не понимают что такое медитация и зачем она нужна. Самые базовые вещи. Для них это - когда просто люди. . .	Создание Single Page Application на фреймах krapotkin 16.11.2025 Статья исключительно для начинающих. Подходы оригинальностью не блещут. В век Веб все очень привыкли к дизайну Single-Page-Application . Быстренько разберем подход "на фреймах". Мы делаем одну. . .	Фото: Daniel Greenwood kumehtar 13.11.2025	Расскажи мне о Мире, бродяга kumehtar 12.11.2025 — Расскажи мне о Мире, бродяга, Ты же видел моря и метели. Как сменялись короны и стяги, Как эпохи стрелою летели. - Этот мир — это крылья и горы, Снег и пламя, любовь и тревоги, И бескрайние. . .

@Alexandri 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.10.2012 Сообщений: 46

	Как найти рациональные корни полинома? 15.10.2012, 09:35. Показов 5038. Ответов 10 Метки нет (Все метки) Ломаю голову уже пару дней, не могу понять теорему к решению этой задачи. Найти все рациональные корни полинома n-й степени с целыми коэффициентами f(x)=2x^2+7x^3-12x^2-38x+21. Теорема. Для того чтобы несократимая дробь p/q была корнем уравнения an (q!=0) xn + an-1 xn-1 + ... + a0 = 0 с целыми коэффициентами, необходимо, чтобы число р было делителем свободного члена а0, а число q – делителем старшего коэффициента an (причем q¹0 и an¹0). Если уравнение имеет целые коэффициенты, а старший коэффициент равен единице (т.е. аn=1), то рациональными корнями этого уравнения могут быть только целые числа, которые являются делителями свободного члена а0. сам код программы я понимаю, пример предоставлен в задании, но с теоремой до конца разобраться не могу( 0

@doctor_lecter 284 / 157 / 30 Регистрация: 22.09.2012 Сообщений: 283
	15.10.2012, 09:54
	a₀ - свободный коэффициент. Его делители: p₀=1, p₁, p₂, ... , p_k=a₀ a_n - коэффициент при степени n. Его делители: q₀=1, q₁, q₂, ... , q_m=a_n Корни искать среди чисел: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pm \frac{{p}_{i}}{{q}_{j}}, i\in [0, k], j\in [0, m]$ Но так можно найти только корни среди рациональных чисел, если есть действительные корни, так их найти не получится. 0

@Alexandri 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.10.2012 Сообщений: 46
	15.10.2012, 09:58 [ТС]
	Примитивный вопрос, но все же, если действительные корни есть, то как найти? 0

@doctor_lecter 284 / 157 / 30 Регистрация: 22.09.2012 Сообщений: 283
	15.10.2012, 10:02
	Самый тупой способ - найти корень на интервале [a, b] проверить все значения x с шагом dx, и сравнить \|y(x)\| < eps 0

silent_1991 5058 / 3118 / 271 Регистрация: 11.11.2009 Сообщений: 7,044
	15.10.2012, 10:05
	doctor_lecter, зачем? Теорема же не просто так дана. Надо найти все делители старшего и младшего коэффициентов и попробовать каждую из комбинаций числитель/знаменатель на то, является ли она корнем. 0

@doctor_lecter 284 / 157 / 30 Регистрация: 22.09.2012 Сообщений: 283
	15.10.2012, 10:18
	silent_1991, это подходит только для рациональных корней, для действительных этот способ не работает. Пример x^2+2x-2. тут корни -1+-sqrt(3), среди чисел +-1, +-2 корней нет. 1

silent_1991
	15.10.2012, 10:41
	Не по теме: doctor_lecter, да, не заметил, что вопрос про действительные... 0

@Alexandri 0 / 0 / 0 Регистрация: 15.10.2012 Сообщений: 46
	15.10.2012, 11:39 [ТС]
	спасибо, учту на будущее куда обращаться) и за помощь тоже спасибо) разобралась) 0