Составить параметрические уравнения плоскости

@TEPOPNCT · Регистрация: 28.04.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

2)Зная общее уравнение плоскости 2x-3y+z+1=0, составить ее параметрические уравнения.

@Ellipsoid · 28.04.2016, 22:59

Параметрические уравнение плоскости имеют вид

$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} x=x_0 +a_1u +b_1v \\ y=y_0 +a_2u +b_2v \\ z=z_0+a_3u +b_3v \end{cases}$ ,

где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M \ (x_0,y_0,z_0)$ - точка этой плоскости, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{a} \ (a_1,a_2,a_3), \ \bar{b} \ (b_1,b_2,b_3)$ - некомпланарные векторы, образующие направляющее подпространство плоскости.

@jogano · 29.04.2016, 17:00

TEPOPNCT, однозначного ответа нет - существует бесконечное число различных параметрических представлений одной и той же плоскости. Пользуясь обозначениями ув. Ellipsoid, точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_0;y_0;z_0 \right)$ - любая точка плоскости. Это во-первых.
Во-вторых, вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(a_1;a_2;a_3 \right)}, \: \bar{\left(b_1;b_2;b_3 \right)}$ - любая пара неколлинеарных между собой векторов, лежащих в плоскости. Даже если вы наложите дополнительные условия, чтобы эти два вектора были между собой перпендикулярны и были единичной длины, таких пар для данной плоскости тоже бесконечно много.
Тут основной вопрос - как найти вектор, параллельный данной плоскости. Могу предложить алгоритм.
Для нормального вектора вашей плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(A;B;C \right)}=\bar{\left(2;-3;1 \right)}$ вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(\frac{1}{A};\frac{1}{B};-\frac{2}{C} \right)}\perp \bar{\left(A;B;C \right)}$ , да и вообще любой вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(\frac{\alpha }{A};\frac{\beta }{B};\frac{\gamma }{C} \right)}\perp \bar{\left(A;B;C \right)}, \: \alpha +\beta +\gamma =0$
Домножим на АВС, чтобы не было дробей, и получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(\alpha BC;\beta AC;\gamma AB \right)}, \: \alpha +\beta +\gamma =0$ . Все эти векторы являются образующими для данной плоскости.
Например, можно взять пару $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left( 0;AC;-AB \right)},\: \bar{\left( BC;0;-AB \right)}$ .
В ваших числах это векторы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left( 0;2;6 \right)},\: \bar{\left( -3;0;6 \right)}$
Сократм на 2 и на 3 соответственно, получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left( 0;1;3 \right)},\: \bar{\left( -1;0;2 \right)}$
Любая точка плоскости, например, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_0\left(0;0;-1 \right)$ , получим уравнение
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x;y;z \right)=\left(0;0;-1 \right)+\bar{\left(0;1;3 \right)}u+\bar{\left(-1;0;2 \right)}v, \: u,v \in R$

Байт · 29.04.2016, 18:56

Сообщение от Ellipsoid

некомпланарные векторы

Описка, видимо

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Модель заражения группы наркоманов alhaos 17.04.2026 Условия задачи сформулированы тут Суть: - Группа наркоманов из 10 человек. - Только один инфицирован ВИЧ. - Колются одной иглой. - Колются раз в день. - Колются последовательно через. . .	Мысли в слух. Про "навсегда". kumehtar 16.04.2026 Подумалось тут, что наверное очень глупо использовать во всяких своих установках понятие "навсегда". Это очень сильное понятие, и я только начинаю понимать край его смысла, не смотря на то что давно. . .	My Business CRM MaGz GoLd 16.04.2026 Всем привет, недавно возникла потребность создать CRM, для личных нужд. Собственно программа предоставляет из себя базу данных клиентов, в которой можно фиксировать звонки, стадии сделки, а также. . .	Знаешь почему 90% людей редко бывают счастливыми? kumehtar 14.04.2026 Потому что они ждут. Ждут выходных, ждут отпуска, ждут удачного момента. . . а удачный момент так и не приходит.
Фиксация колонок в отчете СКД Maks 14.04.2026 Фиксация колонок в СКД отчета типа Таблица. Задача: зафиксировать три левых колонки в отчете. Процедура ПриКомпоновкеРезультата(ДокументРезультат, ДанныеРасшифровки, СтандартнаяОбработка) / / . . .	Настройки VS Code Loafer 13.04.2026 { "cmake. configureOnOpen": false, "diffEditor. ignoreTrimWhitespace": true, "editor. guides. bracketPairs": "active", "extensions. ignoreRecommendations": true, . . .	Оптимизация кода на разграничение прав доступа к элементам формы Maks 13.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на нетиповом документе, разработанного в конфигурации КА2. Задачи, как таковой, поставлено не было, проделанное ниже исключительно моя инициатива. Было так:. . .	Контроль заполнения и очистка дат в зависимости от значения перечислений Maks 12.04.2026 Алгоритм из решения ниже реализован на примере нетипового документа "ПланированиеПерсонала", разработанного в конфигурации КА2. Задача: реализовать контроль корректности заполнения дат назначения. . .

@TEPOPNCT 0 / 0 / 0 Регистрация: 28.04.2016 Сообщений: 3

	Составить параметрические уравнения плоскости 28.04.2016, 20:51. Показов 6625. Ответов 3 Метки нет (Все метки) 2)Зная общее уравнение плоскости 2x-3y+z+1=0, составить ее параметрические уравнения. 0

@Ellipsoid 1891 / 1472 / 173 Регистрация: 16.06.2012 Сообщений: 3,342
	28.04.2016, 22:59
	Параметрические уравнение плоскости имеют вид $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\begin{cases} x=x_0 +a_1u +b_1v \\ y=y_0 +a_2u +b_2v \\ z=z_0+a_3u +b_3v \end{cases}$ , где $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?M \ (x_0,y_0,z_0)$ - точка этой плоскости, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{a} \ (a_1,a_2,a_3), \ \bar{b} \ (b_1,b_2,b_3)$ - некомпланарные векторы, образующие направляющее подпространство плоскости. 0

@jogano $Эксперт по математике/физике$ 6360 / 4067 / 1512 Регистрация: 09.10.2009 Сообщений: 7,550 Записей в блоге: 4
	29.04.2016, 17:00
	TEPOPNCT, однозначного ответа нет - существует бесконечное число различных параметрических представлений одной и той же плоскости. Пользуясь обозначениями ув. Ellipsoid, точка $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x_0;y_0;z_0 \right)$ - любая точка плоскости. Это во-первых. Во-вторых, вектора $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(a_1;a_2;a_3 \right)}, \: \bar{\left(b_1;b_2;b_3 \right)}$ - любая пара неколлинеарных между собой векторов, лежащих в плоскости. Даже если вы наложите дополнительные условия, чтобы эти два вектора были между собой перпендикулярны и были единичной длины, таких пар для данной плоскости тоже бесконечно много. Тут основной вопрос - как найти вектор, параллельный данной плоскости. Могу предложить алгоритм. Для нормального вектора вашей плоскости $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(A;B;C \right)}=\bar{\left(2;-3;1 \right)}$ вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(\frac{1}{A};\frac{1}{B};-\frac{2}{C} \right)}\perp \bar{\left(A;B;C \right)}$ , да и вообще любой вектор $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(\frac{\alpha }{A};\frac{\beta }{B};\frac{\gamma }{C} \right)}\perp \bar{\left(A;B;C \right)}, \: \alpha +\beta +\gamma =0$ Домножим на АВС, чтобы не было дробей, и получаем $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left(\alpha BC;\beta AC;\gamma AB \right)}, \: \alpha +\beta +\gamma =0$ . Все эти векторы являются образующими для данной плоскости. Например, можно взять пару $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left( 0;AC;-AB \right)},\: \bar{\left( BC;0;-AB \right)}$ . В ваших числах это векторы $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left( 0;2;6 \right)},\: \bar{\left( -3;0;6 \right)}$ Сократм на 2 и на 3 соответственно, получим $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\bar{\left( 0;1;3 \right)},\: \bar{\left( -1;0;2 \right)}$ Любая точка плоскости, например, $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?X_0\left(0;0;-1 \right)$ , получим уравнение $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\left(x;y;z \right)=\left(0;0;-1 \right)+\bar{\left(0;1;3 \right)}u+\bar{\left(-1;0;2 \right)}v, \: u,v \in R$ 0