Доказать, что кривая является эллипсом, найти уравнения осей и директрис, координаты центра

@D7ILeucoH · Регистрация: 29.02.2016

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Задача:
Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением 34x²+24xy+41y²-44x+58y+1=0 , является эллипсом. Найдите длины полуосей и эксцентриситет этого эллипса, координаты центра и фокусов, составьте уравнения осей и директрис.

Преобразовал уравнение к виду:
1/2 ~~x^2+~~y^2=1

Применяя:
~~x=~x+7/5
~~y=~y+1/5

~x и ~y получены переводом x и y через матрицу перехода из векторов:
f1={-4/5,3/5}
f2={3/5,4/5}

Ещё нашёл длины полуосей (получается что с=1):
a=√2
b=1

И эксцентриситет:
E=1/√2

И координаты центра эллипса:
О=(1,-1)

А как искать остальное - не могу понять... Не знаю, где и как искать, прошу помочь найти:
Координаты фокусов, уравнения осей и директрис

iifat · 09.05.2019, 20:21

Ну и с какого места проблем? Как понимаю, проблем с координатами фокусов состоит в задаче найти концов отрезка заданной длины, лежащего на оси OX симметрично относительно центра. Задача, конечно, сложна вельми... Сложнее даже, не могу не отметить, чем освоить редактор формул, как того требуют местные жестокие правила.

@D7ILeucoH · 09.05.2019, 20:39 **[ТС]**

Я поделился всем, что у меня есть. Если у кого-то возникнет идея, как найти ответ на какой-либо вопрос, он сможет взять уже готовые величины и использовать их

@allmass · 09.05.2019, 21:26

Сначала найдите все это в новой системе координат. Потом, используя уже написанное преобразование координат, несложно перейти в старую систему координат.

@D7ILeucoH · 10.05.2019, 06:21 **[ТС]**

Это всё подходит и к новой системе координат, я дальше не знаю что делать

@allmass · 10.05.2019, 08:40

Уравнения осей в новых координатах $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widetilde{\widetilde{x}}=0$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widetilde{\widetilde{y}}=0$ . Вы уже нашли как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widetilde{\widetilde{x}}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widetilde{\widetilde{y}}$ выражаются через x, y. Поставьте в эти выражения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widetilde{\widetilde{x}}=0$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widetilde{\widetilde{y}}=0$ , получите уравнения осей в старых координатах. Все остальное находится так же.

@D7ILeucoH · 11.05.2019, 06:55 **[ТС]**

Спасибо, но как перевести ~x в x?

Получаются уравнения осей:
~x=-7/5
И
~y=-1/5

@allmass · 11.05.2019, 11:01

Для этого у вас есть уже найденная матрица перехода от x, y к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widetilde{x}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widetilde{y}$ .

@D7ILeucoH · 11.05.2019, 21:17 **[ТС]**

Кажется, я понял вашу мысль.
В общем, вывел СЛАУ для перевода ~~x и ~~y в x и y, подставлял в неё уравнения ~~прямых и получал уравнения прямых в исходной системе.
Я так понимаю, координаты фокусов тоже искать нужно для нового, и их аналогично перевести к исходным?

И ещё такой вопрос: я немного беспокоюсь о том, что a,b,E были найдены по сути для нового эллипса. И по интересной случайности они совпали с величинами в заданном эллипсе. Как обоснованно найти a,b,E заданного эллипса?

@allmass · 11.05.2019, 22:10

У меня вышло: -4x+3y=-7 и 3x+4y=-1- уравнения осей. Уравнения директрис и координаты фокусов находятся так же.
a и b - это длины, поэтому они не могут измениться, вы их уже нашли. Эллипс у нас тоже не меняется, просто меняется точка зрения.

@D7ILeucoH · 12.05.2019, 16:53 **[ТС]**

Значит смысл подобных преобразований в том, что фигура, не изменяя размер, поворачивается и смещается? Как аксиому брать?

@allmass · 12.05.2019, 17:07

Сообщение от D7ILeucoH

Значит смысл подобных преобразований в том, что фигура, не изменяя размер, поворачивается и смещается?

Да.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
SDL3 для Web (WebAssembly): Реализация движения на Box2D v3 - трение и коллизии с повёрнутыми стенами 8Observer8 20.02.2026 Содержание блога Box2D позволяет легко создать главного героя, который не проходит сквозь стены и перемещается с заданным трением о препятствия, которые можно располагать под углом, как верхнее. . .	Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

@D7ILeucoH 22 / 20 / 5 Регистрация: 29.02.2016 Сообщений: 590

	Доказать, что кривая является эллипсом, найти уравнения осей и директрис, координаты центра 09.05.2019, 20:15. Показов 2777. Ответов 11 Метки нет (Все метки) Задача: Докажите, что кривая второго порядка, заданная уравнением 34x²+24xy+41y²-44x+58y+1=0 , является эллипсом. Найдите длины полуосей и эксцентриситет этого эллипса, координаты центра и фокусов, составьте уравнения осей и директрис. Преобразовал уравнение к виду: 1/2 ~~x^2+~~y^2=1 Применяя: ~~x=~x+7/5 ~~y=~y+1/5 ~x и ~y получены переводом x и y через матрицу перехода из векторов: f1={-4/5,3/5} f2={3/5,4/5} Ещё нашёл длины полуосей (получается что с=1): a=√2 b=1 И эксцентриситет: E=1/√2 И координаты центра эллипса: О=(1,-1) А как искать остальное - не могу понять... Не знаю, где и как искать, прошу помочь найти: Координаты фокусов, уравнения осей и директрис 0

iifat 2900 / 1934 / 209 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,691
	09.05.2019, 20:21
	Ну и с какого места проблем? Как понимаю, проблем с координатами фокусов состоит в задаче найти концов отрезка заданной длины, лежащего на оси OX симметрично относительно центра. Задача, конечно, сложна вельми... Сложнее даже, не могу не отметить, чем освоить редактор формул, как того требуют местные жестокие правила. 0

@D7ILeucoH 22 / 20 / 5 Регистрация: 29.02.2016 Сообщений: 590
	09.05.2019, 20:39 [ТС]
	Я поделился всем, что у меня есть. Если у кого-то возникнет идея, как найти ответ на какой-либо вопрос, он сможет взять уже готовые величины и использовать их 0

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	09.05.2019, 21:26
	Сначала найдите все это в новой системе координат. Потом, используя уже написанное преобразование координат, несложно перейти в старую систему координат. 0

@D7ILeucoH 22 / 20 / 5 Регистрация: 29.02.2016 Сообщений: 590
	10.05.2019, 06:21 [ТС]
	Это всё подходит и к новой системе координат, я дальше не знаю что делать 0

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	10.05.2019, 08:40
	Уравнения осей в новых координатах $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widetilde{\widetilde{x}}=0$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widetilde{\widetilde{y}}=0$ . Вы уже нашли как $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widetilde{\widetilde{x}}$ и $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widetilde{\widetilde{y}}$ выражаются через x, y. Поставьте в эти выражения $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widetilde{\widetilde{x}}=0$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widetilde{\widetilde{y}}=0$ , получите уравнения осей в старых координатах. Все остальное находится так же. 1

@D7ILeucoH 22 / 20 / 5 Регистрация: 29.02.2016 Сообщений: 590
	11.05.2019, 06:55 [ТС]
	Спасибо, но как перевести ~x в x? Получаются уравнения осей: ~x=-7/5 И ~y=-1/5 0

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	11.05.2019, 11:01
	Для этого у вас есть уже найденная матрица перехода от x, y к $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widetilde{x}$ , $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\widetilde{y}$ . 0

@D7ILeucoH 22 / 20 / 5 Регистрация: 29.02.2016 Сообщений: 590
	11.05.2019, 21:17 [ТС]
	Кажется, я понял вашу мысль. В общем, вывел СЛАУ для перевода ~~x и ~~y в x и y, подставлял в неё уравнения ~~прямых и получал уравнения прямых в исходной системе. Я так понимаю, координаты фокусов тоже искать нужно для нового, и их аналогично перевести к исходным? И ещё такой вопрос: я немного беспокоюсь о том, что a,b,E были найдены по сути для нового эллипса. И по интересной случайности они совпали с величинами в заданном эллипсе. Как обоснованно найти a,b,E заданного эллипса? 0

@allmass 703 / 529 / 176 Регистрация: 09.03.2019 Сообщений: 1,404
	11.05.2019, 22:10
	У меня вышло: -4x+3y=-7 и 3x+4y=-1- уравнения осей. Уравнения директрис и координаты фокусов находятся так же. a и b - это длины, поэтому они не могут измениться, вы их уже нашли. Эллипс у нас тоже не меняется, просто меняется точка зрения. 0

@D7ILeucoH 22 / 20 / 5 Регистрация: 29.02.2016 Сообщений: 590
	12.05.2019, 16:53 [ТС]
	Значит смысл подобных преобразований в том, что фигура, не изменяя размер, поворачивается и смещается? Как аксиому брать? 0