Чему равна длина гирлянды по высоте и диаметру ёлки?

@Toxa33rus · Регистрация: 16.04.2009

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Всем большой математический привет!
Есть ёлка высотой 12 м и диаметр основания 6 м. Условно идеальный конус.
Если намотать гирлянду по спирали с шагом (по высоте) 13 см, то какая нужна длина?

Я пока решил не как спиралью, а как бы слоями:
Нижний слой имеет длину 18 м (6 * пи).
Второй 17,6 (5,87 * пи)
и т.д. до 47 слоя.
В сумме получил 424 м.

Хотелось бы понять получил ли я хотя бы примерно правильный ответ. Потому что онлайн калькуляторы выдают 1024 м.
Даже если я слои считаю не как горизонтальные, а как гипотенузу с катетом 13 см, то ответ меняется незначительно.

iifat · 21.11.2025, 18:34

Звучит здраво, хотя высчитывать не пытался. Возможно, где-то вы просто обсчитались.

Сообщение от Toxa33rus

до 47 слоя

Например, вот это как-то подозрительно. 12 метров поделить на 13 сантиметров — под сотню таки будет. Почему 47?

@Toxa33rus · 21.11.2025, 19:22 **[ТС]**

Сообщение от iifat

12 метров поделить на 13 сантиметров

Блин, я нечаянно диаметр делил, а не высоту)

Добавлено через 30 минут
Пересчитал.
При шаге 13 см, будет 93 слоя и 840 м.

iifat · 21.11.2025, 20:35

Ну, уже не так уж и отличается. Если ещё и вспомнить, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ таки достаточно сильно отличается от трёх, то разница и ещё сократится.

@palva · 21.11.2025, 22:52

Сообщение от Toxa33rus

Потому что онлайн калькуляторы выдают 1024 м.

У вас что, было уравнение кривой? По-моему, условие задачи настолько неопределенно, что по нему нельзя получить уравнение. Гирлянду с шагом еще можно как-то намотать, но если пустить по этой гирлянде хотя бы небольшие волны вверх-вниз по образующей и синхронизировать эти волны между соседними витками, то длина гирлянды увеличится, а условиям задачи такая гирлянда удовлетворять будет. То есть любая образующая конуса будет пересекать гирлянду в точках, высота которых идёт с шагом 13 см. Ваш ответ будет также одним из возможных решений, только к нему надо добавить длину образующей. Просто у вас гирлянда проходит почти полностью один слой, а потом при определенном угле перескакивает на слой выше. Чтобы строго удовлетворить условию задачи, можно сделать такой перескок не мгновенно, а синхронно с другими витками в некотором очень узком диапазоне углов.

Ну вот, приблизительно нарисовал.
https://www.cyberforum.ru/atta... 1763756666

@Toxa33rus · 22.11.2025, 10:38 **[ТС]**

Сообщение от iifat

Если ещё и вспомнить, что таки достаточно сильно отличается от трёх, то разница и ещё сократится.

При честном пи будет всего-то 879, вместо 840 м.

Сообщение от palva

У вас что, было уравнение кривой?

Уравнения не было, но я представляю себе что проекция вида сверху это что-то типа спирали, т.е. подъем витка происходит равномерно, а не резко в каком-то месте.

Если взять горизонтальные витки, сложить их в горизонтальную линию, то заметим, что не учитывается подъем вверх и по сути это катет, а нужно взять гипотенузу, где второй катет = 12 м.
Но как оказалось, это добавляет всего жалкие 10 см (к 800 метрам!).

Для получения честного уравнения прямой, можно конкретизировать задачу. Есть конус высотой 12 м и диаметром основания 6 м. От основания под углом ∝ мы проводим по поверхности конуса такую линию, у которой следующий виток окажется выше предыдущего на 13 см.
Возможно решение упрощается, если взять развертку конуса, так мы уходим от 3-х измерений и перейдем на плоскость.

Чему равна длина гирлянды по высоте и диаметру ёлки?

Кстати, я делю 12 м на 13 см, а судя по развертке, нужно 12,37 делить на 13 (гипотенузу). Получается 897 м (для горизонтальных линий).

@palva · 22.11.2025, 11:58

Сообщение от Toxa33rus

Уравнения не было,

Тогда непонятно, что и в какие онлайн калькуляторы вы вводили.

Я не пойму, что вы хотите обсуждать.
1. Дать решение задачи. Тогда по-моему, задача, как она написана, некорректна.
2. Как конкретизировать условие, чтобы задача стала корректной. Здесь можно порассуждать.
Что значит равномерный подъем?

Введем цилиндрическую систему координат (r, фи, z). Параметрическое уравнение в этой системе какое? Ну, пусть z=t растёт равномерно с единичной скоростью. r однозначно зависит от z, поскольку гирлянда на конусе, а фи должно расти тоже равномерно, т. е. линейно, причем, когда фи увеличивается на 2пи, z должно расти на 13 см, т. е. фи=(0.13/2пи)*z. Напомню, z=t.
Теперь можно получить параметрическое уравнение кривой, преобразовать его в декартовую систему, получить дифференциал длины и проинтегрировать его от 0 до 12.

Но можно ведь равномерный подъем понимать и в другом смысле. Точка, двигающаяся по гирлянде с постоянной скоростью должна подниматься по высоте тоже с постоянной скоростью -- чем не равномерность. Здесь не обойтись без натуральной параметризации. И кривая конечно же будет другой. Другим будет и ответ.

@Toxa33rus · 22.11.2025, 12:12 **[ТС]**

Сообщение от palva

непонятно, что и в какие онлайн калькуляторы вы вводили

В Яндексе по запросу "калькулятор гирлянд". Там вводятся только высота, диаметр и шаг.

Сообщение от palva

Точка, двигающаяся по гирлянде с постоянной скоростью должна подниматься по высоте тоже с постоянной скоростью -- чем не равномерность.

Скорее всего нет. Движение точки (скорость по поверхности) не должна быть равномерной. Первый вариант был лучше.
Как я это представляю: конус зажали в токарный станок, вращение равномерное, рисуем маркером линию, смещая маркер равномерно в сторону (для соблюдения равного шага по Z). Значит точка изначально движется быстро (за счет большего диаметра), затем замедляется. Как я понимаю это первый вариант. Осталось только

Сообщение от palva

получить параметрическое уравнение кривой, преобразовать его в декартовую систему, получить дифференциал длины и проинтегрировать его от 0 до 12.

@palva · 22.11.2025, 12:27

Сообщение от Toxa33rus

В Яндексе по запросу "калькулятор гирлянд". Там вводятся только высота, диаметр и шаг.

Понятно. Это, наверно, для указания длины гирлянды при ее покупке. К новому году готовятся. Я бы на их месте делал ошибку в большую сторону, чтобы покупатель больше заплатил.

@Cyborg Drone · 22.11.2025, 12:41

Toxa33rus, palva, Найти длину конической винтовой линии

@Dushevny · 22.11.2025, 13:08

Сообщение от Toxa33rus

но я представляю себе что проекция вида сверху это что-то типа спирали,

Пришел к такому же выводу.
делим высоту на шаг - получаем количество витков. По ним считаем длину спирали - формулы в интернете есть. Далее раскручиваем эту плоскую спираль в линию - она будет одним катетом. Вторым катетом будет высота елки. Гипотенуза - длина гирлянды.

@Cyborg Drone · 22.11.2025, 13:23

Сообщение от Dushevny

раскручиваем эту плоскую спираль в линию - она будет одним катетом

В случае цилиндра - да, в случае конуса - нет.

Я дал ссылку на исчерпывающий ответ (сообщение #10). Хм... Что же делать-то? Ну ладно, вот калькулятор написал, пользуйтесь:

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
var
  R, H, dH, T, p, f, L: real;
begin
  write('R = ');
  readln(R);
  write('H = ');
  readln(H);
  write('dH = ');
  readln(dh);
  t := 2 * pi * H / dH;
  p := 1 + sqr(H / R);
  f := sqrt(sqr(T) + p);
  L := R * dH / 2 / pi / H * (T / 2 * f + p / 2 * ln((T + f) / sqrt(p)));
  writeln('L = ', L:0:12);
  readln
end.

Протокол работы программыR = 3
H = 12
dH = 0.13
L = 870.249438981920

@mihailm · 23.11.2025, 10:18

Примерно можно так посчитать
Считаем площадь поверхности елки (боковой) - $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small 9\pi \sqrt{17}$
Гирлянда вырезает ленту шириной 13 см на поверхности елки
Поэтому чтобы найти длину этой ленты надо площадь поверхности разделить на 0,13
Получится 896,754 метра или 900 метров

@Dushevny · 23.11.2025, 14:41

Сообщение от Cyborg Drone

В случае цилиндра - да, в случае конуса - нет.

Это почему? Какая разница, в какую фигуру "свернут" нижний катет? Хоть в кольцо, хоть в спираль, хоть в ломаную.

@Cyborg Drone · 23.11.2025, 23:06

А, ну да, вовсе не обязательно наматывать треугольник к боковой поверхности конуса. Извиняюсь, сразу Вас не понял.

Проверим для спокойствия души.

Pascal
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
var
  R, H, dH, T, f, L, k: real;
begin
  write('R = ');
  readln(R);
  write('H = ');
  readln(H);
  write('dH = ');
  readln(dh);
  k := R * dH / H / 2 / pi;
  T := H / dH * 2 * pi;
  f := sqrt(1 + sqr(T));
  L := sqrt(sqr(k / 2 * (T * f + ln(T + f))) + sqr(H));
  writeln('L = ', L:0:12);
  readln
end.

Протокол работы программыR = 3
H = 12
dH = 0.13
L = 870.081801079641

Хм... Немного отличается. А не должно. Наверное, я обсдался где-нибудь.

@Toxa33rus · 24.11.2025, 08:08 **[ТС]**

Сообщение от Cyborg Drone

Немного отличается. А не должно.

Может в одном случае 13 см смещается относительно ствола дерева (вертикальная линия), а в другом по боковой плоскости?

@Cyborg Drone · 24.11.2025, 18:05

Toxa33rus, нет.

@ViktorArs · 22.12.2025, 15:10

А это чисто ради интереса такой ~~гемморой~~ просто ради елки?
Ср.диаметр 3 м.
Длина окружности примерно 9,5 м
12*100=1200 см.
1200 см / 13 см = 92 витка (думаю даже до 90 можно округлить, ибо вряд ли есть необходимость мотать с точностью до мм, ди и не получится.)
92*9,5 = 874 м.
Сообщение написано за 1.5 минуты.

@Toxa33rus · 22.12.2025, 15:26 **[ТС]**

Сообщение от ViktorArs

А это чисто ради интереса такой гемморой просто ради елки?

Изначально да, ради ёлки, но потом спортивный интерес возник.
Задача была такая: есть реальная живая ёлка и куплены гирлянды определенной длины. Нужно было понять через какой шаг её мотать чтоб и лишнее не осталось и докупать не пришлось.
Так вот у истории есть продолжение.
Приехала вышка с рабочими. Им дали схему согласно расчетам, а они говорят: Вы офигели? Как мы повесим гирлянды через 20 см, если ветки растут через полметра?
В итоге вешали как попало и осталось 150 метров лишней гирлянды и вся эта тема оказалась не нужной.

@ViktorArs · 22.12.2025, 15:42

Сообщение от Toxa33rus

но потом спортивный интерес возник

Ясно

Первое, о чем я подумал - а ~~нахера~~ зачем?
Второе - это ровно вот это

Сообщение от Toxa33rus

Как мы повесим гирлянды через 20 см, если ветки растут через полметра?

Потому, что 12 м - это явно просто дерево у кого-то во дворе или т.п. А у реального дерева ветки так часто не растут.

Добавлено через 57 секунд
Буду как анекдот рассказывать.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Подключение Box2D v3 к SDL3 для Android: физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 29.01.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами. Версия v3 была полностью переписана на Си, в. . .	Инструменты COM: Сохранение данный из VARIANT в файл и загрузка из файла в VARIANT bedvit 28.01.2026 Сохранение базовых типов COM и массивов (одномерных или двухмерных) любой вложенности (деревья) в файл, с возможностью выбора алгоритмов сжатия и шифрования. Часть библиотеки BedvitCOM Использованы. . .	Загрузка PNG с альфа-каналом на SDL3 для Android: с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 28.01.2026 Содержание блога SDL3 имеет собственные средства для загрузки и отображения PNG-файлов с альфа-каналом и базовой работы с ними. В этой инструкции используется функция SDL_LoadPNG(), которая. . .	Загрузка PNG с альфа-каналом на SDL3 для Android: с помощью SDL3_image 8Observer8 27.01.2026 Содержание блога SDL3_image - это библиотека для загрузки и работы с изображениями. Эта пошаговая инструкция покажет, как загрузить и вывести на экран смартфона картинку с альфа-каналом, то есть с. . .
Влияние грибов на сукцессию anaschu 26.01.2026 Бифуркационные изменения массы гриба происходят тогда, когда мы уменьшаем массу компоста в 10 раз, а скорость прироста биомассы уменьшаем в три раза. Скорость прироста биомассы может уменьшаться за. . .	Воспроизведение звукового файла с помощью SDL3_mixer при касании экрана Android 8Observer8 26.01.2026 Содержание блога SDL3_mixer - это библиотека я для воспроизведения аудио. В отличие от инструкции по добавлению текста код по проигрыванию звука уже содержится в шаблоне примера. Нужно только. . .	Установка Android SDK, NDK, JDK, CMake и т.д. 8Observer8 25.01.2026 Содержание блога Перейдите по ссылке: https:/ / developer. android. com/ studio и в самом низу страницы кликните по архиву "commandlinetools-win-xxxxxx_latest. zip" Извлеките архив и вы увидите. . .	Вывод текста со шрифтом TTF на Android с помощью библиотеки SDL3_ttf 8Observer8 25.01.2026 Содержание блога Если у вас не установлены Android SDK, NDK, JDK, и т. д. то сделайте это по следующей инструкции: Установка Android SDK, NDK, JDK, CMake и т. д. Сборка примера Скачайте. . .

Чему равна длина гирлянды по высоте и диаметру ёлки?

Решение

Решение

@Toxa33rus 3920 / 921 / 125 Регистрация: 16.04.2009 Сообщений: 1,956

	Чему равна длина гирлянды по высоте и диаметру ёлки? 21.11.2025, 17:46. Показов 1198. Ответов 22 Метки нет (Все метки) Всем большой математический привет! Есть ёлка высотой 12 м и диаметр основания 6 м. Условно идеальный конус. Если намотать гирлянду по спирали с шагом (по высоте) 13 см, то какая нужна длина? Я пока решил не как спиралью, а как бы слоями: Нижний слой имеет длину 18 м (6 * пи). Второй 17,6 (5,87 * пи) и т.д. до 47 слоя. В сумме получил 424 м. Хотелось бы понять получил ли я хотя бы примерно правильный ответ. Потому что онлайн калькуляторы выдают 1024 м. Даже если я слои считаю не как горизонтальные, а как гипотенузу с катетом 13 см, то ответ меняется незначительно. 0

iifat 2895 / 1930 / 208 Регистрация: 05.06.2011 Сообщений: 5,671
	21.11.2025, 20:35
	Ну, уже не так уж и отличается. Если ещё и вспомнить, что $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\pi$ таки достаточно сильно отличается от трёх, то разница и ещё сократится. 0

@Cyborg Drone Модератор 10416 / 5703 / 3401 Регистрация: 17.08.2012 Сообщений: 17,363
	22.11.2025, 12:41
	Сообщение было отмечено Toxa33rus как решение Решение Toxa33rus, palva, Найти длину конической винтовой линии 1

@mihailm 1717 / 1155 / 302 Регистрация: 05.10.2014 Сообщений: 5,616
	23.11.2025, 10:18
	Примерно можно так посчитать Считаем площадь поверхности елки (боковой) - $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\small 9\pi \sqrt{17}$ Гирлянда вырезает ленту шириной 13 см на поверхности елки Поэтому чтобы найти длину этой ленты надо площадь поверхности разделить на 0,13 Получится 896,754 метра или 900 метров 1

@Cyborg Drone Модератор 10416 / 5703 / 3401 Регистрация: 17.08.2012 Сообщений: 17,363
	24.11.2025, 18:05
	Toxa33rus, нет. 0

@ViktorArs 173 / 141 / 36 Регистрация: 09.01.2018 Сообщений: 1,070
	22.12.2025, 15:10
	А это чисто ради интереса такой ~~гемморой~~ просто ради елки? Ср.диаметр 3 м. Длина окружности примерно 9,5 м 12100=1200 см. 1200 см / 13 см = 92 витка (думаю даже до 90 можно округлить, ибо вряд ли есть необходимость мотать с точностью до мм, ди и не получится.) 929,5 = 874 м. Сообщение написано за 1.5 минуты. 0