Доказать: если неравная тотждественному 0 функция удовлетворяет тождеству, то она бесконечно дифференцируема

@mila2012 · Регистрация: 01.10.2012

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

Доказать, что если неравная тождественному 0 функция f:R->R удовлетворяет тождеству f(x)*f(y)=f(x+y), x,y принадлежат R и дифференцируемы в т. х=0, то она бесконечно дифференцируема в любой точке х принадлежат R.
как????

@Thinker · 03.10.2012, 21:01

1. При данных условиях $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(0)\neq 0$ , так как если f(0)=0, то для любого x
f(x) = f(x+0)=f(x)f(0)=0, но f - не тождественно равна 0.

2. f(0)=1. Пусть f(x) = a (a - не ноль). Тогда
a = f(0) = f(0+0)=f(0)f(0) = a*a. Поэтому a=1.

3. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f^'(x) = f(x)f^'(0)$ для любого x:
$https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x)f(h)-f(x) - f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x)(f(h)-1)}{h}=f(x)\lim_{h\to 0}\frac{ (f(h) - f(0))}{h}=f(x)f'(0)$

4. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f^{(n)}(x) = f(x)(f^{'}(0))^n$ (аналогично)

Байт · 04.10.2012, 09:34

Сообщение от mila2012

неравная тождественному 0

Только вот непонятно, к чему это условие? Равная тождественно нулю функция прекрасно бесконечно дифференцируется. И интегрируется тоже прекрасно. И вообще, трудно придумать какое-нибудь "хорошее" свойство, которым такая функция не обладала бы... Можно сказать, что это - "самая гладкая" функция.
ЗЫ. Только вот делить на нее не слишком удобно...

@Thinker · 04.10.2012, 13:10

Сообщение от Байт

Только вот непонятно, к чему это условие?

это условие для того, чтобы показать, что f(0) не равно 0. В остальном Вы правы.

Новые блоги и статьи Все статьи Все блоги /
Конвертировать закладки radiotray-ng в m3u-плейлист damix 19.02.2026 Это можно сделать скриптом для PowerShell. Использование . \СonvertRadiotrayToM3U. ps1 <path_to_bookmarks. json> Рядом с файлом bookmarks. json появится файл bookmarks. m3u с результатом. # Check if. . .	Семь CDC на одном интерфейсе: 5 U[S]ARTов, 1 CAN и 1 SSI Eddy_Em 18.02.2026 Постепенно допиливаю свою "многоинтерфейсную плату". Выглядит вот так: https:/ / www. cyberforum. ru/ blog_attachment. php?attachmentid=11617&stc=1&d=1771445347 Основана на STM32F303RBT6. На борту пять. . .	Символьное дифференцирование igorrr37 13.02.2026 / * Программа принимает математическое выражение в виде строки и выдаёт его производную в виде строки и вычисляет значение производной при заданном х Логарифм записывается как: (x-2)log(x^2+2) -. . .	Камера Toupcam IUA500KMA Eddy_Em 12.02.2026 Т. к. у всяких "хикроботов" слишком уж мелкий пиксель, для подсмотра в ESPriF они вообще плохо годятся: уже 14 величину можно рассмотреть еле-еле лишь на экспозициях под 3 секунды (а то и больше),. . .
И ясному Солнцу zbw 12.02.2026 И ясному Солнцу, и светлой Луне. В мире покоя нет и люди не могут жить в тишине. А жить им немного лет.	«Знание-Сила» zbw 12.02.2026 «Знание-Сила» «Время-Деньги» «Деньги -Пуля»	SDL3 для Web (WebAssembly): Подключение Box2D v3, физика и отрисовка коллайдеров 8Observer8 12.02.2026 Содержание блога Box2D - это библиотека для 2D физики для анимаций и игр. С её помощью можно определять были ли коллизии между конкретными объектами и вызывать обработчики событий столкновения. . . .	SDL3 для Web (WebAssembly): Загрузка PNG с прозрачным фоном с помощью SDL_LoadPNG (без SDL3_image) 8Observer8 11.02.2026 Содержание блога Библиотека SDL3 содержит встроенные инструменты для базовой работы с изображениями - без использования библиотеки SDL3_image. Пошагово создадим проект для загрузки изображения. . .

Доказать: если неравная тотждественному 0 функция удовлетворяет тождеству, то она бесконечно дифференцируема

Решение

Решение

Решение

@mila2012 0 / 0 / 0 Регистрация: 01.10.2012 Сообщений: 20

	Доказать: если неравная тотждественному 0 функция удовлетворяет тождеству, то она бесконечно дифференцируема 03.10.2012, 20:39. Показов 1727. Ответов 3 Метки нет (Все метки) Доказать, что если неравная тождественному 0 функция f:R->R удовлетворяет тождеству f(x)*f(y)=f(x+y), x,y принадлежат R и дифференцируемы в т. х=0, то она бесконечно дифференцируема в любой точке х принадлежат R. как???? 0

@Thinker 4267 / 2241 / 203 Регистрация: 26.08.2011 Сообщений: 3,802 Записей в блоге: 5
	03.10.2012, 21:01
	Сообщение было отмечено как решение Решение 1. При данных условиях $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f(0)\neq 0$ , так как если f(0)=0, то для любого x f(x) = f(x+0)=f(x)f(0)=0, но f - не тождественно равна 0. 2. f(0)=1. Пусть f(x) = a (a - не ноль). Тогда a = f(0) = f(0+0)=f(0)f(0) = a*a. Поэтому a=1. 3. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f^'(x) = f(x)f^'(0)$ для любого x: $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to 0}\frac{f(x)f(h)-f(x) - f(x)}{h}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x)(f(h)-1)}{h}=f(x)\lim_{h\to 0}\frac{ (f(h) - f(0))}{h}=f(x)f'(0)$ 4. $https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?f^{(n)}(x) = f(x)(f^{'}(0))^n$ (аналогично) 5